線性空間線性空間的定義及性質(zhì)知識(shí)預(yù)備集合籠統(tǒng)的說

1、第一講線性空間一、 線性空間的定義及性質(zhì)知識(shí)預(yù)備集合：籠統(tǒng)的說是指一些事物（或者對(duì)象）組成的整體。集合的表示：枚舉、表達(dá)式集合的運(yùn)算：并（u）,交（n）另外，集合的“和”（+）:并不是嚴(yán)格意義上集合的運(yùn)算，因?yàn)?它限定了集合中元素須有可加性。數(shù)域：一種數(shù)集，對(duì)四則運(yùn)算封閉（除數(shù)不為零）。比如有理 數(shù)域、實(shí)數(shù)域（R）和復(fù)數(shù)域（C）。實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域是工程上較常用 的兩個(gè)數(shù)域。線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一， 也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論的 重要基礎(chǔ)。1.線性空間的定義：設(shè)V是一個(gè)非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一個(gè)數(shù)域，其元素用k,l,m等表示。如果V滿足如下8條性質(zhì)，分兩類：（I）在V中定義一

2、個(gè)“加法”運(yùn)算，即當(dāng)x, ywv時(shí)，有唯一的和 x + yWV （封閉性），且加法運(yùn)算滿足下列性質(zhì)：（1）結(jié)合律x +（y + z）=（ x + y） + z;（2）交換律x + y = y + x ;（3）零元律存在零元素O ,使x +O = x ;(4)負(fù)元律對(duì)于任一元素xwV,存在一元素ywV,使x+y=O,且稱y為x的負(fù)元素，記為( x)。則有x + (x) = O。(II)在V中定義一個(gè)“數(shù)乘”運(yùn)算，即當(dāng) xwV,kwK時(shí)，有唯一 的kxwV (封閉性)，且數(shù)乘運(yùn)算滿足下列性質(zhì)：(5)數(shù)因子分配律k(x + y) = kx + ky ；(6)分酉己律(k+l)x = kx + lx

3、;(7)結(jié)合律k(lx)=(kl)x；(8)恒等律1x = x;則稱V為數(shù)域K上的線性空間。注意以下幾點(diǎn)：1)線性空間是基于一定數(shù)域來的。 同一個(gè)集合，對(duì)于不同數(shù)域， 就可能構(gòu)成不同的線性空間，甚至對(duì)有的數(shù)域能構(gòu)成線性空間，而對(duì) 其他數(shù)域不能構(gòu)成線性空間。2)兩種運(yùn)算、八條性質(zhì)。數(shù)域 K中的運(yùn)算是具體的四則運(yùn)算， 而V中所定義的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算則是抽象的、形式的。3)除了兩種運(yùn)算和八條性質(zhì)外，還應(yīng)注意唯一性、封閉性是否 滿足。當(dāng)數(shù)域K為實(shí)數(shù)域時(shí)，V就稱為實(shí)線性空間；K為復(fù)數(shù)域，V 就稱為復(fù)線性空間。例1.設(shè)R、全體正實(shí)數(shù),其“加法”及“數(shù)乘”運(yùn)算定義為x y u xy , k x = xk證

4、明：R +是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。證明首先需要證明兩種運(yùn)算的唯一性和封閉性唯一性和封閉性唯一性顯然若 XA0,y0, kWR,貝 U 有xy = xywR+, k x = xk = R+ 封閉性得證。八條性質(zhì)(1) x 口(y 二 z)= x( yz) = ( xy)z =( xy)"(2) x3y=xy=yx=y x(3) 1 是零元素xci1 = x1 = xx£O=xt xO = xt O = 1(4) %是 x 的負(fù)兀素乂固% = *.4=1x + y = O(5) k "( x 0 y) =(xy)k = xkyk =(k ")國(guó)(k y)數(shù)因

5、子分配律(6) (k +l) °x = xk* = xkx1 = (k *x)田(i °x)分配律 k*(1 F=(xl)k =xk1 =(k1)：x結(jié)合律(8) x = x1 = x恒等律由此可證，R +是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。2.定理：線性空間具有如下性質(zhì)(1)零元素是唯一的，任一元素的負(fù)元素也是唯一的。(2)如下恒等式成立：0x = O, (-1)x = (-x)。證明(1)采用反證法：零元素是唯一的。設(shè)存在兩個(gè)零元素。1和。2 ,則由于。1和。2均為零元素，按零元律有交換律Oi O2 =。1 =。2 Oi =。2所以O(shè)i = O2即Oi和O2相同，與假設(shè)相矛盾，故只

6、有一個(gè)零元素。任一元素的負(fù)元素也是唯一的。假設(shè)VXWV ,存在兩個(gè)負(fù)元素y和z,則根據(jù)負(fù)元律有x y = O = x zy = y O = y (x z)=(y x) z = O z = z零元律結(jié)合律零元律即y和z相同，故負(fù)元素唯一。2 2)：設(shè) w = 0x ,貝！J x + w = 1x + 0x = (1 + 0)x = x ,故 w = O。恒等律:設(shè) w=(-1)x,則 x + w = 1x + (-1)x = 0x = O ,故 w=-x。3 .線性相關(guān)性線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類似。?線性組合：、1,乂2 ，xm V,C1,C2 ，Cm Kmci x

7、 1 C2 x 2cm xm - ci xii 1稱為元素組xi,x2，xm的一個(gè)線性組合。?線性表示：V中某個(gè)元素x可表示為其中某個(gè)元素組的線性組合，則稱x可由該元素組線性表示。?線性相關(guān)性：如果存在一組不全為零的數(shù)Ci，C2，Cm W K ,使得對(duì)于元素Xi,X2，Xm WV有 m“ Ci Xi = 0 i 1則稱元素組X1,X2，Xm線性相關(guān)，否則稱其線性無關(guān)。線性相關(guān)性概念是個(gè)非常重要的概念，有了線性相關(guān)性才有下面的線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)。4.線性空間的維數(shù)定義：線性空間V中最大線性無關(guān)元素組所含元素個(gè)數(shù)稱為V的維數(shù)，記為dim V。本課程只考慮有限維情況，對(duì)于無限維情況不涉及。例2

8、.全體mx n階實(shí)矩陣的集合構(gòu)成一個(gè)實(shí)線性空間（對(duì)于矩陣加法和數(shù)對(duì)矩陣的數(shù)乘運(yùn)算），求其維數(shù)。解一個(gè)直接的方法就是找一個(gè)最大線性無關(guān)組，其元素盡可能簡(jiǎn)單。令Eij為這樣的一個(gè)mXn階矩陣，其（i,j）元素為1,其余元素為J | A奪。顯然，這樣的矩陣共有 mXn個(gè)，構(gòu)成一個(gè)具有mXn個(gè)元素的 線性無關(guān)元素組 &ii,Ei2,，Em；E2i,E22,，E.；Emi,Em2,，EmJ。另一方面，還需說明元素個(gè)數(shù)最大。對(duì)于任意的A=（aj）m冷，都可由以上元素組線性表示,A= aijEij 、 ajEj -A = 0即 I i =1,2i,j,m；j =1,2，n構(gòu)成了最大線性無關(guān)元素組，所

9、以該空間的維數(shù)為mXn。二、線性空間的基與坐標(biāo)1. 基的定義：設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，Xi,X2，Xr(Cl)是屬于V的r個(gè)任意元素，如果它滿足(1) Xi,X2，Xr線性無關(guān)；(2) V中任一向量X均可由X1,X2，Xr線性表示。則稱X1,X2，Xr為V的一個(gè)基，并稱X1 , X2，Xr為該基的基元素。?基正是V中最大線性無關(guān)元素組；V的維數(shù)正是基中所含元素的 個(gè)數(shù)。?基是不唯一的，但不同的基所含元素個(gè)數(shù)相等。例3考慮全體復(fù)數(shù)所形成的集合C。如果K=C (復(fù)數(shù)域)，則該集 合對(duì)復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間，具基可取為1,空間維數(shù)為1；如果取K = R (實(shí)數(shù)域)，則該集合對(duì)復(fù)數(shù)加法及

10、實(shí)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成線性空間，具基可取為 。，才，空間維數(shù) 為2。數(shù)域K兩種運(yùn)算基Tz兒系空間類型維數(shù)復(fù)數(shù)域C(1)復(fù)數(shù)加法；(2)復(fù)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)的數(shù)乘c = c 1復(fù)線性空間1實(shí)數(shù)域R(1)復(fù)數(shù)加法；(2)實(shí)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)的數(shù)乘c = a 1 + b i實(shí)線性空間2坐標(biāo)的定義：稱線性空間Vn的一個(gè)基Xi,X2，Xn為Vn的一個(gè)坐標(biāo)系，Vxevn,它在該基下的線性表示為：' iXi ( i K,Xi Vn,i =1,2 ,n) i 1則稱 2，口為X在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)或分量,記為(。占2/nJ討論：(1) 一般來說，線性空間及其元素是抽象的對(duì)象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。

11、但坐標(biāo)表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標(biāo)表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標(biāo)所組成的新向量?jī)H由數(shù)域中的數(shù)表示出來。(2)更進(jìn)一步，原本抽象的“加法”及“數(shù)乘”經(jīng)過坐標(biāo)表示就演化為向量加法及數(shù)對(duì)向量的數(shù)乘。/ x y = ( 1X1 2X2nxn) (1X12X2nxn)1(1 1)X1 (2 2)X2( n n)xn正對(duì)應(yīng)x y =( 11, 22, n n)X =( -1 , q , -n) )=(%,L *n)T2 kx = k( x x x) = (k 1 )x1 (k 2)x2(k n)xn一(k 1,k 2 ,k n)正對(duì)應(yīng) x=(1, 2, n) > kx =(k 1,k 2 ,k 3)(3)顯然，同一元素在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是不同的。后面我們還要研究這一變換關(guān)系。三、基變換與坐標(biāo)變換基是不唯一的，因此，需要研究基改變時(shí)坐標(biāo)變換的規(guī)律。設(shè),x2，4是vn的舊基，w,y2，yn是vn的新基，由于兩者都是 基，所以可以相互線性表示nVj ="Cijxi(i =1,2,n)i 1c11c12c1nk，V2 ，Vn L 112 ，xn C21C22C2nii+a=1x1,x2，xnCcn1 cn2c