極限概念教學(xué)實踐及思索

1、極限概念教學(xué)實踐及思索【摘要】極限理論部分是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一大難點也 是一個重點。學(xué)生在高中對極限概念不夠，在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 中會困惑，本文分析了學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)思維水平及極限概念 教學(xué)中的難點分析。并提出應(yīng)對措施，幫助學(xué)生順利適應(yīng)高 等數(shù)學(xué)特點，用運動的觀點分析極限現(xiàn)象，并使用數(shù)學(xué)語言 準確描述?！娟P(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)極限運動數(shù)學(xué)語言高等數(shù)學(xué)是高校學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課，一方面由 于微積分在眾多學(xué)科廣泛應(yīng)用，學(xué)生對高數(shù)的掌握水平會對 他們后繼課程的學(xué)習(xí)起到基礎(chǔ)作用，并且對他們在今后的工 作以及知識更新將起到深遠的影響；另一方面，通過高等數(shù) 學(xué)的學(xué)習(xí)對學(xué)生的邏輯思維能力，抽象思維，歸納演繹等科 學(xué)

2、思維方法和研究分析問題有清晰的思路，嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài) 度。然而極限工具是掌握高數(shù)的一把鑰匙。首先它是一個難 點，這一部分不太容易經(jīng)過一次思考就能一步到位，是需要 學(xué)生多次思考不斷提高理解深度的重要概念；其次，它又是 重點，貫穿高等數(shù)學(xué)的始終。極限理論是學(xué)生在高等數(shù)學(xué)中 的第一個大的障礙。極限部分教學(xué)的成敗會嚴重影響到整個 高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。為了搞好這部分教學(xué)，有必要分析研 究學(xué)生的知識能力思維水平現(xiàn)狀，分析查找學(xué)習(xí)中的困難所 在，采取有效措施分解難點，讓學(xué)生理解概念，順利提高自 己的思維水平。一、學(xué)生學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析（一）應(yīng)該說學(xué)生對極限部分還是有一定基礎(chǔ)的實行新課標之后，很多傳統(tǒng)上在高校數(shù)學(xué)課堂講

3、解的內(nèi) 容也成了高中數(shù)學(xué)的重點，比如極限、導(dǎo)數(shù)、積分等。但是, 由于應(yīng)試教育背景下，學(xué)生可能會對有關(guān)運算熟悉，但對概 念的理解卻深淺不一。（二）初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在思維方法、研究的內(nèi)容的 差異認識不夠（三）倘若思維認識不到位，問題會可能想不清楚，沒 有清晰地認知，就不會有直觀的理解，從而就更難用語言去 描述極限概念了種種問題往往交織在一起，造成學(xué)生對這一部分內(nèi)容的 復(fù)雜心態(tài)：一方面覺得這一部分已學(xué)過，覺得已經(jīng)懂了，不 屑于聽；另一方面接觸定義之后發(fā)現(xiàn)一無所知，顛覆對極限 的所有認識，覺得難以理解。在髙等數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐中，往 往會發(fā)現(xiàn)學(xué)生有上述兩種表現(xiàn)。因此引導(dǎo)學(xué)生端正態(tài)度，走 出認識的誤區(qū)很重

4、要。二、學(xué)生學(xué)習(xí)困難所在（一）需要清晰地認識到初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的差異初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的主要區(qū)別之一就是把運動引入 數(shù)學(xué)。初等數(shù)學(xué)主要研究靜態(tài)下量與量的數(shù)量關(guān)系，而高等 數(shù)學(xué)主要研究在運動變化過程中量與量之間的數(shù)量關(guān)系。因 此，學(xué)生應(yīng)清楚明確的認識到這一點，并有意識地用“運 動”的觀點考慮實際問題：對實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，并 在運動變化過程中分析量與量之間的數(shù)量關(guān)系。（二）思維方法需要轉(zhuǎn)變在初等數(shù)學(xué)中常常對有限問題進行研究，在高等數(shù)學(xué)中 會經(jīng)常討論無限問題。所以學(xué)生應(yīng)該在思維認識上必須有突 破，從有限過渡到無限。（三）要學(xué)會并習(xí)慣使用數(shù)學(xué)語言描述問題，讓自己的 思維變得嚴密起來三、教學(xué)中的

5、應(yīng)對措施（一）通過有趣的例子提高學(xué)生認識，幫助學(xué)生以運動 的觀點認識無限，提高思維水平運動的觀點分析問題在中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)時就已將開 始了，笛卡爾坐標系建立之后，數(shù)學(xué)就引進了運動。這一點 學(xué)生還是比較容易接受的。對于無限的研究可以舉出大量鮮活的例子來強化學(xué)生 的印象，啟發(fā)他們考試考慮無限的問題。比如：著名的芝諾 悖論，阿基里斯（achilles）追烏龜說：擅跑英雄阿基里斯 追烏龜，永遠也追不上。因為當(dāng)他追到烏龜?shù)某霭l(fā)點時，烏 龜已先前爬向了一段。他再追完這一段，烏龜又先前爬了一 小段。重復(fù)這個論點，烏龜總在阿基里斯的前面。課堂上學(xué) 生對此問題很感興趣，不管能否有合理的解釋，對問題的濃 厚興趣引

6、起對無限問題的思考就是一種思維訓(xùn)練。（二）通過實例說明極限概念的由來，揭開極限的神秘 面紗極限是一種思想方法，它與對無限問題的研究相伴，是 在求某些實際問題的精確解時產(chǎn)生的。比如圓內(nèi)接正多邊形 的面積來可以近似圓的面積，當(dāng)邊數(shù)不斷增大，正多邊形的 面積越來越接近圓的面積，當(dāng)邊數(shù)無限大的情況下就把圓的 面積作為正多邊形面積的極限值。從而極限概念的產(chǎn)生就可 以解決求圓的面積這一實際問題：轉(zhuǎn)化為求正多邊形面積序 列隨邊增大的極限值。（三）理清極限概念出現(xiàn)的內(nèi)在邏輯過程，把握極限概 念本質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生能數(shù)學(xué)語言描述。（以數(shù)列極限為例說 明）數(shù)學(xué)研究問題要從定性分析過渡到定量研究。對于數(shù)列 極限概念，內(nèi)

7、在的思維過程是：由于數(shù)列xn的值會隨n的 變化而變化。我們自然想研究當(dāng)時數(shù)列xn的變化趨勢。定 性地說：當(dāng)時數(shù)列xn與某一常數(shù)a無限接近。我們就稱常 數(shù)a就是數(shù)列xn當(dāng)時的極限值。引導(dǎo)學(xué)生如何用語言描述 xn與某一常數(shù)a無限接近，即數(shù)xn數(shù)a的“距離”無限接 近。啟發(fā)學(xué)生：在數(shù)學(xué)上如何表示數(shù)xn與數(shù)a的“距離” 無限接近？讓學(xué)生自己得到極限的直觀就是在“條件”下， 有結(jié)論“無限小”成立。為了定量描述這一現(xiàn)象就得到極限的定義。引入可以任 意小的正數(shù)，對于上述，一定存在自然數(shù)，當(dāng)時總有成立。啟發(fā)學(xué)生注意定量描述與定性描述的呼應(yīng)：“，”描 述'無限小”；“一定存在自然數(shù)，當(dāng)”描述充分大。有 了直觀形象和準確數(shù)學(xué)語言描述能力之后，學(xué)生對極限的認 識就提高了?？傊?，在應(yīng)試教育的重壓下，學(xué)生有限的思維訓(xùn)練被擠 壓為做題機械訓(xùn)練。學(xué)生的思維能力的提高還需要課堂上注 重對學(xué)生思維的訓(xùn)練，以及對重要概念來龍