數(shù)學(xué)建模大作業(yè)

1、數(shù)學(xué)建模大作業(yè)姓名 1：魏家蓉學(xué)號(hào)： 201100414姓名 2：何嘉琪學(xué)號(hào)： 201100415姓名 3：向歆學(xué)號(hào)： 201100418姓名 4：牟宇宇學(xué)號(hào)： 201100420姓名 4：曾朝忠學(xué)號(hào)： 201100431專業(yè)：交通工程班級(jí)：交工 1101指導(dǎo)老師：張仲榮2014年 5 月22 日直升機(jī)運(yùn)輸公司問題問題提出一家運(yùn)輸公司正考慮用直升機(jī)從某城市的一摩天大樓運(yùn)送人員。你被聘為顧問，現(xiàn)在要確定需要多少架飛機(jī)。按照建模過程仔細(xì)分析，建模。為了簡(jiǎn)化問題，可以考慮升機(jī)運(yùn)輸公司問題?；炯僭O(shè)如下：假設(shè)運(yùn)載的直升機(jī)為統(tǒng)一型號(hào);假設(shè)每架飛機(jī)每次載人數(shù)相同；假設(shè)飛機(jī)運(yùn)送的人員時(shí)互不影響；假定人員上了

2、飛機(jī)就安全，因此最后一次運(yùn)輸時(shí)，只考慮上飛機(jī)所花時(shí)間。1、按照數(shù)學(xué)建模的全過程對(duì)本題建立模型，并選用合理的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算（模型求解） ;2、本問題是否可以抽象為優(yōu)化模型;除了考慮建立優(yōu)化模型之外，是否可以采用更簡(jiǎn)單的方法建立模型。注意考慮假設(shè)條件。甚至基于不同的假設(shè)建立多個(gè)模型。模型假設(shè)：（h1）所有飛機(jī)的飛行高度度均為10 000m，飛行速度均為 800km/h。(h2)飛機(jī)飛行方向角調(diào)整幅度不超過，調(diào)整可以立即實(shí)現(xiàn)；6(h3)飛機(jī)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)是任意兩架飛機(jī)之間的距離大于8km;(h4)剛到達(dá)邊界的飛機(jī)與其他飛機(jī)的距離均大于60km;(h5)最多考慮 n 架飛機(jī) ;(h6)不必考慮飛機(jī)離開本區(qū)

3、域以后的狀況.符號(hào)說明 :d 為飛行管理區(qū)域的邊長(zhǎng) ;s為飛行管理區(qū)域取直角坐標(biāo)系使其為 0,d 0，d;v 為飛機(jī)飛行速度， v=800km/h;（，）第 i 架飛機(jī)的初始位置 ;x0iyi0（）為第 i 架飛機(jī)在 t 時(shí)刻的位置 ;)(),(ttyxii為第 i 架飛機(jī)的原飛行方向角，即飛行方向與x 軸夾角，0i02 ;第 i 架飛機(jī)的方向角調(diào)整， -;i6i6為第 i 架飛機(jī)調(diào)整后的飛行方向角;ii0i模型建立一、兩架飛機(jī)不碰撞的條件1、兩架飛機(jī)距離大于8km 的條件設(shè)第 i 架和第 j 架飛機(jī)的初始位置為（） ， （）,飛行方向0i0iyx ，0j0jyx ，角分別為和,他們的位置為?

4、(t)=vtcos +?0?(t)=vtsin+?0?和(t)=vtcos+ ?0jx(t)=vtsin+?0jy若記時(shí)刻 t 他們距離為(t),則他們之間距離的平方為?（t ）=（xi（t ）-xj(t) ）2+（yi(t)-yj（t ） ）22ijr經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算可得（t ）=v2(cos-cos)2+(sin-sin)2 t2+2v(-)(cos-2ijrijij0ix0jxicos)+(-)(sin-sin)t+(-)2+(-)2j0iy0jyij0ix0jx0iy0jy引入 = v2 (cos-cos)2+(sin-sin)2 ijaijij=2v(-)(cos-cos)+(-)(sin

5、-sin)ijb0ix0jxij0iy0jyij那么（t ）=t2+t+ （0）2ijrijaijb2ijr由此可見，兩架飛機(jī)不碰撞的條件為（t ）=t2+t+ （0） 642ijrijaijb2ijr2、由假設(shè)（ 6） ，我們不必理會(huì)飛機(jī)飛離區(qū)域 的狀況，因此，在考慮兩架飛機(jī)是否在區(qū)域內(nèi)發(fā)生碰撞時(shí)，只需考察兩架飛機(jī)有一架到達(dá)邊界之前（7-7）式是否成立就可以了。記第i 架飛機(jī)到達(dá)邊界的時(shí)間為ti tij=min（ti,tj）表示第 i 架飛機(jī)和第 j 架飛機(jī)中至少有一架到達(dá)邊界的時(shí)間，從而在區(qū)域 內(nèi)不發(fā)生碰撞的條件就成為要求（7-7）式在 t 時(shí)成立?，F(xiàn)在我們要計(jì)算第 i 架飛機(jī)到達(dá)邊界的時(shí)

6、間ti方向角的分析，不難得到ti的計(jì)算公式如下：?，若，tan或，-tan，iivxdcos020ii00iixdyd223i00iiixdy，若，tan或，-tan,iivydsin020i00iiixdydi200iiixyd，若，-tan或，tan，iivxcos0i200iiixyd23i00iiixy,若，tan或，- taniivysin023i00iiixy223i00iiixdy二、非線性規(guī)劃模型設(shè)有一架飛機(jī)到達(dá)區(qū)域的邊界時(shí)，連通區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)有n 架。設(shè)它們的位置為（，） ，飛行方向角為0（i=1,2，n） 。為了避免在區(qū)域內(nèi)x0iyi0i發(fā)生碰撞，對(duì)各架飛機(jī)進(jìn)行的飛行角調(diào)整，

7、又設(shè)調(diào)整后的飛行角為i=，i=1,2，nii0i調(diào)整的目的是避免在區(qū)域內(nèi)發(fā)生碰撞，但顯然調(diào)整量越小越好。引入目標(biāo)函數(shù)f（）=n,.,21nii1在我們討論的飛行管理問題中它是有待于極小化的。目標(biāo)函數(shù)亦可取為。由前面的分析，第i 架與第 j 架飛機(jī)在中不相撞的條件為ni 12i(t)64，t2ijrijt其中 rij(t)和分別由前面可知。而n 架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)兩兩不相撞的條件可表ijt述為(t)64, t，i，j=1,2，n，ij2ijrijt這是極小化中必須滿足的約束條件。由假設(shè)（h2） ，另一個(gè)約束條件應(yīng)為，i=1,2，n 6i飛行管理的數(shù)學(xué)模型就歸結(jié)為在以上兩約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)f（)=

8、的極小值。通常表示為n,.,21nii1min f（)=,n,.,21nii1s.t. (t)64 ，t ，i，j=1,2， .n, i j2ijrijt，i=1,2，.n. 6i由于在這個(gè)及消化問題中目標(biāo)函數(shù)可約束條件關(guān)于變量均為非n,.,21線性的，因此上述方程組是一個(gè)有約束的非線性的規(guī)劃模型。由于約束條件(t)64, t，i，j=1,2，n，ij2ijrijt有較強(qiáng)的非線性，特別是的表達(dá)式比較復(fù)雜，我們可以將問題進(jìn)一步簡(jiǎn)化。ijt注意到區(qū)域的對(duì)角線長(zhǎng)度為d，任一架飛機(jī)在內(nèi)的飛行距離不會(huì)超過2d，從而在區(qū)域內(nèi)停留的時(shí)間不超過2t=d/v2只要在時(shí)間內(nèi)飛機(jī)不發(fā)生碰撞就可以保證在內(nèi)不會(huì)發(fā)生碰撞

9、。據(jù)此，我們mt將假設(shè)（ h6）修改為（h6） 不考慮飛機(jī)在時(shí)間=d/v 以后的狀況。mt2數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)化為min f（)=,n,.,21nii1s.t. (t)64 ，t ，i，j=1,2， .n, i j2ijrijt，i=1,2，.n. 6i由于是一個(gè)不依賴的常數(shù)，問題得到了明顯簡(jiǎn)化。mti打車軟件問題摘要2013年，上海出租行業(yè)興起一款“手機(jī)打車軟件 ” ，用戶在網(wǎng)上下載軟件后，輸入起點(diǎn)和目的地，自愿選擇“是否支付小費(fèi) ” ，出租車司機(jī)則可根據(jù)線路、是否有小費(fèi)等選擇接受訂單。記者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種拼小費(fèi)競(jìng)價(jià)打車的模式引來了不少質(zhì)疑聲，認(rèn)為這是變相漲價(jià)，并使行業(yè)監(jiān)管出現(xiàn)“灰色地帶 ”。截止到

10、 2013 年 5 月 7 日，安卓平臺(tái)上 11 家主流應(yīng)用商店的打車類軟件客戶端總體下載量已超過百萬，用戶主要集中在北上廣等一線城市。由于出租車司機(jī)與打車者之間信息不對(duì)稱，導(dǎo)致非高峰時(shí)段出租車空載、高峰期和惡劣天氣下司機(jī)拒載等現(xiàn)象頻發(fā)，而手機(jī)打車軟件通過加價(jià)等手段，提高了打車成功幾率，實(shí)現(xiàn)了司機(jī)和打車者雙贏，因而在大城市日益走俏。業(yè)內(nèi)人士表示，手機(jī)打車軟件由于正處于探索起步階段，商業(yè)模式尚不明確，導(dǎo)致運(yùn)營成本較高。特別是由于打車市場(chǎng)的不規(guī)范，導(dǎo)致加價(jià)策略在某種程度上加劇了原有公共交通資源的分配矛盾，打亂了路邊打車和應(yīng)用訂車的公平競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境，可能會(huì)影響此類打車軟件的發(fā)展前景。關(guān)鍵詞：打車軟件，加

11、價(jià)，發(fā)展前景1 問題提出目前的打車軟件之間的競(jìng)爭(zhēng)態(tài)勢(shì)，主要是相關(guān)打車軟件對(duì)司乘雙方的非正常補(bǔ)貼的數(shù)額，時(shí)間以及軟件發(fā)展態(tài)勢(shì)，主要是軟件使用人數(shù)的變化情況。分析： a 當(dāng)一方采取不貼時(shí)。另一方因采取的措施 b 運(yùn)用數(shù)學(xué)模型分析競(jìng)爭(zhēng)的最終結(jié)果。本文將會(huì)以穩(wěn)定性分析模型來對(duì)這一問題進(jìn)行闡述與詳解，以此來探索打車軟件對(duì)人們消費(fèi)及使用情況的影響。2 問題分析為了使得普通人群對(duì)這一軟件有所認(rèn)識(shí)，企業(yè)會(huì)采取補(bǔ)貼策略。但是這一策略僅僅是為了能夠讓普通人群對(duì)這款軟件有所認(rèn)識(shí)，所以不會(huì)永久補(bǔ)貼。當(dāng)一方采取停止補(bǔ)貼或下調(diào)補(bǔ)貼數(shù)額時(shí)，另一方也必然會(huì)停止補(bǔ)貼或下調(diào)補(bǔ)貼數(shù)額，打車軟件使用情況會(huì)從一開始的很少使用，到了解后

12、的大范圍使用，在經(jīng)過補(bǔ)貼停止后優(yōu)惠的消失，軟件使用率又會(huì)有所下降直到使用率達(dá)到一個(gè)平衡狀態(tài)。從公司規(guī)模及資金情況來看，哪一方資金雄厚，補(bǔ)貼時(shí)間長(zhǎng)，就會(huì)得到更多使用者的使用，使用率也會(huì)高于其他同類型軟件，從而在后期獲得較高的市場(chǎng)份額占有率。軟件發(fā)展的智能化程度也會(huì)影響到使用者的使用，其智能化程度越高，越會(huì)受到使用者的青睞。3 模型假設(shè)3.1 一方的補(bǔ)貼不停止，另一方的補(bǔ)貼也不會(huì)停止；3.2 一方的補(bǔ)貼額度增加或降低會(huì)影響另一方補(bǔ)貼額度的增加或降低；3.3 由于經(jīng)濟(jì)實(shí)力的限制，一方的補(bǔ)貼不停止，對(duì)自身的投資投資及經(jīng)濟(jì)發(fā)展的制約越大；3.4 一方的軟件技術(shù)水平越高，會(huì)影響另一方加大對(duì)軟件的技術(shù)投資；

13、3.5 一方軟件的使用人數(shù)越多，會(huì)影響另一方出臺(tái)策略來增加自身產(chǎn)品的吸引力。4 符號(hào)說明t: 時(shí)間；1: 乙對(duì)甲的阻滯系數(shù)；2: 甲對(duì)乙的阻滯系數(shù)；r 1: 甲的業(yè)務(wù)增長(zhǎng)率；r 2: 乙的業(yè)務(wù)增長(zhǎng)率；n 1: 甲能達(dá)到的最大業(yè)務(wù)量；n 2: 乙能達(dá)到的最大業(yè)務(wù)量；x 1(t):甲的目前業(yè)務(wù)量；x 2(t):乙的目前業(yè)務(wù)量；5 模型建立及求解有兩個(gè)公司進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，它們獨(dú)自發(fā)展時(shí)業(yè)務(wù)變化均服從logistic規(guī)律;)1()(11111nxxrtx)1()(22222nxxrtx兩公司在一起生存時(shí)，乙對(duì)甲業(yè)務(wù)增長(zhǎng)的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比; 甲對(duì)乙有同樣的作用。22111111nxnx1)(xrtx2

14、2112222nxnx1)(xrtx對(duì)于消耗甲的資源而言，乙( 相對(duì)于n2) 是甲( 相對(duì)于n1) 的1倍。對(duì)甲增長(zhǎng)的阻滯作用，乙大于甲，乙的競(jìng)爭(zhēng)力強(qiáng)。11對(duì)于二階非線性微分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性。),()(),(f)(212211xxgtxxxtx平衡點(diǎn)p0(x10, x20) 為代數(shù)方程?(?1,?2)= 0?(?1,?2)= 0若從p0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱p0是,)(lim011xtxt,)(lim022xtxt微分方程的穩(wěn)定平衡點(diǎn)。判斷p0 (x10,x20) 穩(wěn)定性的方法 直接法) 1(),()(),()(212211xxgtxxxftx(1) 的近似線性方程為)2()(,(

15、)(,()()(,()(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx02121pxxxxggffaaqgfpqppxxdet)(00212p0 且 q0,平衡點(diǎn)穩(wěn)定； p0 或 q0，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定。?0?0221111111)(nxnxxrtx221122221)(nxnxxrtx01),(01),(221122221221111121nxnxxrxxgnxnxxrxxf), 0(),0 ,(平衡點(diǎn)：2211npnp)0, 0(,1)1(,1)1(4212221113pnnp僅當(dāng)1, 2 1 時(shí)，p3才有意

16、義平衡穩(wěn)定性分析2211222212211111211),(1),(nxnxxrxxgnxnxxrxxf2211221222211122111121212121nxnxrnxrnxrnxnxrggffaxxxx4, 3 , 2 , 1,det,)(21iaqgfpipipxx平衡點(diǎn)pi 穩(wěn)定條件：p 0 且q 0。商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)pq穩(wěn)定條件)0 ,(11np)1(221rr)1(221rr21，11，212122211131)1(,1)1(nnp2122111)1()1(rr2121211)1)(1(rr11, 21)0, 0(4p)(21rr21rr不穩(wěn)定p1, p2 是一個(gè)

17、公司繼續(xù)經(jīng)營而另一公司倒閉的平衡點(diǎn)p3 是兩公司共存的平衡點(diǎn)p1穩(wěn)定的條件11平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相軌線分析221111111)(nxnxxrtx221122221)(nxnxxrtx221122122111211),(1),(nxnxxxnxnxxx(1) 1 1，對(duì)于 p1(n1,0) 有 p 0,q 0。0,0:1s，t x1, x20,0:211xxs，t x1 , x20, 0:212xxs，t x1, x20,0:213xxs從任意點(diǎn)出發(fā) (t=0)的相軌線都趨向p1(n1,0) (t)p1(n1,0) 是穩(wěn)定平衡點(diǎn)圖 1(2)1 1, 2 1, 21p2穩(wěn)定=0圖 2(3)1 1, 2

18、 0,q 0，故 p3穩(wěn)定。x2 11; 2 1, 2 1，可知在 p3點(diǎn)，q 0, 故 p3不穩(wěn)定。軌線或者趨向p1，或者趨向 p2，由軌線的初始位置決定，在這種情況下p1和 p2都不能說是穩(wěn)定的，正因?yàn)檫@樣，所以p1的穩(wěn)定（與初始條件無關(guān)）的條件還需加上1 1。p2的穩(wěn)定條件需加上 2 1;21n2/1 p3=00 n1/2n1x1圖 46 合理的方面本文通過對(duì)穩(wěn)定性模型的了解，加之對(duì)生物競(jìng)爭(zhēng)模型的參考，建立了這一模型，此模型能較好的分析出兩家公司的業(yè)務(wù)量發(fā)展及競(jìng)爭(zhēng)狀況，也能較好的描述未來狀況下各公司開發(fā)的軟件如何到達(dá)一個(gè)平衡點(diǎn)。7 結(jié)果解釋根據(jù) 1，2的含義，說明 p1，p2，p3點(diǎn)的穩(wěn)定在競(jìng)爭(zhēng)上的意義。（1）1 1。1 1 意味著對(duì)于乙的潛在客戶的競(jìng)爭(zhēng)中乙弱于甲，于是乙集團(tuán)將宣告破產(chǎn)，甲集團(tuán)業(yè)務(wù)量趨向最大業(yè)務(wù)量，即x 1(t) 、x 2(t) 趨向平衡點(diǎn) p1(n1,0)（2）1 1, 2 1。情況與（ 1）正好相反（3）1 1, 2 1, 2 1。因?yàn)樵诟?jìng)爭(zhēng)甲的潛在客戶時(shí)乙較強(qiáng)，在競(jìng)爭(zhēng)乙的潛在客戶時(shí)甲較強(qiáng)。隨著時(shí)間的推移，有可能甲占優(yōu)勢(shì)，乙倒閉；但也有可能乙占優(yōu)勢(shì)，甲倒閉。究竟哪方能占據(jù)市場(chǎng)，由兩家公司的資本有關(guān)。8 模型推廣以上是兩家公司進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)時(shí)的情況，而在實(shí)際中，可能會(huì)