數(shù)學(xué)建模例題及解析資料講解

1、數(shù) 學(xué) 建 模 例 題 及 解 析精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝2 。例 1 差分方程資金的時(shí)間價(jià)值問(wèn)題 1: 抵押貸款買(mǎi)房從一則廣告談起每家人家都希望有一套 ( 甚至一棟 ) 屬于自己的住房，但又沒(méi)有足夠的資金一次買(mǎi)下，這就產(chǎn)生了貸款買(mǎi)房的問(wèn)題。先看一下下面的廣告( 這是 1991 年 1 月 1日某大城市晚報(bào)上登的一則廣告)，任何人看了這則廣告都會(huì)產(chǎn)生許多疑問(wèn)，且不談廣告中沒(méi)有談住房面積、設(shè)施等等，人們關(guān)心的是：如果一次付款買(mǎi)這棟房要多少錢(qián)呢 ?銀行貸款的利息是多少呢 ?為什么每個(gè)月要付1200 元呢?是怎樣算出來(lái)的 ?因?yàn)槿藗兌贾?，若知道了房?jī)r(jià)(一次付款買(mǎi)房的價(jià)格

2、) ，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款項(xiàng)通過(guò)借貸方式來(lái)解決，只要知道利息，就應(yīng)該可以算出五年還清每月要付多少錢(qián)才能按時(shí)還清貸款了，從而也就可以對(duì)是否要去買(mǎi)該廣告中所說(shuō)的房子作出決策了?，F(xiàn)在我們來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。由于本問(wèn)題比較簡(jiǎn)單無(wú)需太多的抽象和簡(jiǎn)化。a. 明確變量、參數(shù)，顯然下面的量是要考慮的：需要借多少錢(qián)，用記；月利率 ( 貸款通常按復(fù)利計(jì) ) 用 r記；每月還多少錢(qián)用 x 記；借期記為 n個(gè)月。b建立變量之間的明確的數(shù)學(xué)關(guān)系。若用記第 k 個(gè)月時(shí)尚欠的款數(shù)，則一個(gè)月后 ( 加上利息后 ) 欠款，不過(guò) 我們又還了 x 元所以總的欠款為 k=0，1，2，3，精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有

3、侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝3 而一開(kāi)始的借款為。所以我們的數(shù)學(xué)模型可表述如下 (1) c. (1)的求解。由 (2) 這就是之間的顯式關(guān)系。d針對(duì)廣告中的情形我們來(lái)看(1) 和(2) 中哪些量是已知的。 n=5年60 個(gè)月，已知；每月還款 x1200 元，已知 a。即一次性付款購(gòu)買(mǎi)價(jià)減去70000元后剩下的要另外去借的款，并沒(méi)有告訴你，此外銀行貸款利率r也沒(méi)告訴你，這造成了我們決策的困難。然而，由(2) 可知 60 個(gè)月后還清，即，從 而得 (3) (3) 表示 n60，x1200 給定時(shí)0a和 x 之間的關(guān)系式，如果我們已經(jīng)知道銀行的貸款利息 r，就可以算出0a。例如，若 r 001，則由 (3

4、) 可算得53946元。如果該房地產(chǎn)公司說(shuō)一次性付款的房?jī)r(jià)大于70000十 53946123946元的話，你就應(yīng)自己去銀行借款。事實(shí)上，利用圖形計(jì)算器或mathematica 這樣的精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝4 數(shù)學(xué)軟件可把 (3) 的圖形畫(huà)出來(lái)，從而可以進(jìn)行估算決策。以下我們進(jìn)一步考慮下面兩個(gè)問(wèn)題。注 1 問(wèn)題 1 標(biāo)題中“抵押貸款”的意思無(wú)非是銀行伯你借了錢(qián)不還，因而要你用某種不動(dòng)產(chǎn) ( 包括房子的產(chǎn)權(quán) )作抵押，即萬(wàn)一你還不出錢(qián)了，就沒(méi)收你的不動(dòng)產(chǎn)。例題 1 某高校一對(duì)年青夫婦為買(mǎi)房要用銀行貸款60000 元，月利率 001，貸款期 25 年300月，這對(duì)夫婦希望

5、知道每月要還多少錢(qián)，25 年就可還清。假設(shè)這對(duì)夫婦每月可有節(jié)余900 元，是否可以去買(mǎi)房呢 ? 解：現(xiàn)在的問(wèn)題就是要求使的 x，由(2) 式知現(xiàn)60000，r001，k300，算得 x=632元，這說(shuō)明這對(duì)夫婦有能力買(mǎi)房。例題 2 恰在此時(shí)這對(duì)夫婦看到某借貸公司的一則廣告：“若借款60000 元，22年還清，只要； (i) 每半個(gè)月還 316 元；(ii)由于文書(shū)工作多了的關(guān)系要你預(yù)付三個(gè)月的款，即 316 61896 元。這對(duì)夫婦想：提前三年還清當(dāng)然是好事，每半個(gè)月還 316 元，那一個(gè)月不正好是還632 元，只不過(guò)多跑一趟去交款罷了；要預(yù)付 18元，當(dāng)然使人不高興，但提前三年還清省下來(lái)的錢(qián)

6、可是22752元喲，是 1896 元的十幾倍哪 ! 這家公司是慈善機(jī)構(gòu)呢還是仍然要賺我們的錢(qián)呢?這對(duì)夫婦請(qǐng)教你給他們一個(gè)滿意的回答。具體解法略。問(wèn)題 2：養(yǎng)老基金精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝5 今后，當(dāng)年青人參加工作后就要從其每月工資中扣除一部分作為個(gè)人的養(yǎng)老基金，所在單位（若經(jīng)濟(jì)效益好的話）每月再投入一定數(shù)量的錢(qián)，再存入某種利息較高而又安全的“銀行” ( 也可稱(chēng)為貨幣市場(chǎng) )到 60 歲退休時(shí)可以動(dòng)用。也就是說(shuō)，若退休金不足以維持一定的生活水平時(shí)，就可以動(dòng)用自己的養(yǎng)老基金，每月取出一定的款項(xiàng)來(lái)補(bǔ)貼不足部分。假設(shè)月利率及001 不變，還允許在建立養(yǎng)老基金時(shí)自己可以一次性地

7、存入一筆錢(qián)0a( 不論多少 )，每月存入 y 元(個(gè)人和單位投入的總和 ) ；通常從三十一歲開(kāi)始到六十歲就可以動(dòng)用。這當(dāng)然是一種簡(jiǎn)化的假設(shè)，但作為估算仍可作為一種考慮的出發(fā)點(diǎn)。本問(wèn)題實(shí)際上有兩個(gè)階段，即退休前和退休后，其數(shù)學(xué)模型為其中 x 為每月要從養(yǎng)老基金中提出的款項(xiàng)。習(xí)題 1 某大學(xué)年青教師小李從31歲開(kāi)始建立自己的養(yǎng)老基金，他把已有的積蓄 1 萬(wàn)元也一次性地存入，已知月利率為001 ( 以復(fù)利計(jì) ) ，每月存入 300元，試問(wèn)當(dāng)小李 60 歲退休時(shí)，他的退休基金有多少 ?又若，他退休后每月要從銀行提取 l000 元，試問(wèn)多少年后他的退休基金將用完?你能否根據(jù)你了解的實(shí)際情況建立一個(gè)較好的

8、養(yǎng)老基金的數(shù)學(xué)模型及相應(yīng)的算法和程取軟件) 。習(xí)題 2 漁業(yè)(林業(yè)) 管理問(wèn)題設(shè)某養(yǎng)魚(yú)池 ( 或某海域 )一開(kāi)始有某種魚(yú)條，魚(yú)的平均年凈繁殖率為 r ，每年捕撈 x 條，記第 n年有魚(yú)條，則池內(nèi)魚(yú)數(shù)按年的變化規(guī)律為精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝6 注意，在實(shí)際漁業(yè)經(jīng)營(yíng)中并不按條數(shù)計(jì)算而是以噸記數(shù)的。若對(duì)某海域的漁業(yè)作業(yè)中100000噸，r002，x1000 噸，試問(wèn)會(huì)不會(huì)使得若干年后就沒(méi)有魚(yú)可捕撈了（資源枯竭了）？例 2 比例分析法席位分配問(wèn)題：某學(xué)校有三個(gè)系聯(lián)合成立學(xué)生會(huì)，（1）試確定學(xué)生會(huì)席位分配方案。（2）若甲系有 100 名，乙系 60 名，丙系 40 名。學(xué)生會(huì)設(shè)

9、 20 個(gè)席位，分配方案如何？(3) 若丙系有 3 名學(xué)生轉(zhuǎn)入甲系， 3 名學(xué)生轉(zhuǎn)入乙系，分配方案有何變化？（4）因?yàn)橛?20 個(gè)席位的代表會(huì)議在表決提案時(shí)有可能出現(xiàn)10： 10 的平局，會(huì)議決定下一屆增加1 席，若在第（ 3）問(wèn)中將學(xué)生會(huì)席位增加一席呢？（5）試確定一數(shù)量指標(biāo)衡量席位分配的公平性，并以此檢查（1）（ 4）。公平而又簡(jiǎn)單的席位分配辦法是按人數(shù)的比例分配，若甲系有100 名，乙系 60名，丙系 40 名。學(xué)生會(huì)設(shè) 20 個(gè)席位，三個(gè)系分別應(yīng)有10，6，4 個(gè)席位。如果丙系有 6 名學(xué)生轉(zhuǎn)入其他兩系學(xué)習(xí)，各系人數(shù)如表所示系別學(xué)生人數(shù)所占比例（% ）按比例分配的席位按慣例分配的席位甲

10、103 51.5 10.3 10 乙63 31.5 6.3 6 丙34 17.0 3.4 4 總和200 100.0 20.0 20 第二列所示，按比例分配席位時(shí)，出現(xiàn)了小數(shù)(見(jiàn)表中第四列 ) 在將取得整數(shù)的 19 席分配完畢后，剩下的1 席按照慣例分給余數(shù)最大的丙系，于是三個(gè)系仍分別占有 10、6、4 個(gè)席位精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝7 因?yàn)橛?20 個(gè)席位的代表會(huì)議在表決提案時(shí)有可能出現(xiàn)10：10 的平局，會(huì)議決定下一屆增加 1 席，于是他們按照上述慣例重新分配席位，計(jì)算的結(jié)果令人吃驚：總席位增加 1 席，丙系反而減少1 席，見(jiàn)下表系別學(xué)生人數(shù)所占比例（ % ）按比

11、例分配的席位按慣例分配的席位甲103 51.5 10.815 11 乙63 31.5 6.615 7 丙34 17.0 3.570 3 總和200 100.0 21.000 21 看來(lái)，要解決這個(gè)矛盾，必須重新研究所謂慣例分配方法，提出更加“公平”的辦法下面就介紹這樣一個(gè)席位分配模型設(shè)a、b兩方人數(shù)分別是 p1 和 p2，分別占有 n1 和 n2 個(gè)席位，則兩方每個(gè)席位所代表的人數(shù)分別是p1 n12 和 p2n2很明顯，僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)值相等時(shí)，席位的分配才是公平的但是，通常它們不會(huì)相等，這時(shí)席位分配得不公平。不公平的程度可以用數(shù)值來(lái)表示，它衡量的是“絕對(duì)不公平”從下表所舉的例子來(lái)看， a、b之間

12、的“絕對(duì)不公平”與 c、d之間是一樣的。但是從常識(shí)的角度看， a、b之間顯然比 c 、d之間存在著更加嚴(yán)重的不公平所以“絕對(duì)不公平”不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)p n p/n p1/n1-p2/n2 a 120 10 12 12-10=2 b 100 10 10 c 1020 10 102 102-100=2 d 1000 10 100 為了改進(jìn)絕對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，我們自然想到用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)因?yàn)閜n 越大，每個(gè)席位代表的人數(shù)越多，或者說(shuō)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)分配的席位越少。所以，如果p1n13精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝8 p2/n2，則 a方是吃虧的，或者說(shuō)，對(duì)a是不公平的，由此，我們這樣定義“相對(duì)

13、不公平”：若 p1n1p2n2，則稱(chēng)為對(duì) a的相對(duì)不公平值，記做若 p1n1p2n2，則稱(chēng)為對(duì) b的相對(duì)不公平值，記做假設(shè) a、b兩方已分別占有 n1 和 n2 個(gè)席位，我們利用相對(duì)不公平的城念來(lái)討論，當(dāng)總席位再增加1 席時(shí)，應(yīng)該給且 a方還是 b方? 不失一般性，可設(shè)p1n1p2/n2 ，即此時(shí)對(duì) a方不公平，有定義當(dāng)再分配1 個(gè)席位時(shí)，關(guān)于 pn 的不等式有以下三種可能：1)p1(n1 十 1) p2n2，這說(shuō)明即使 a方增加 1 席，仍然對(duì) a不公平，所以這 1 席當(dāng)然應(yīng)給 a方；2)p1(n1 十 1) p2n2，說(shuō)明當(dāng) a方增加 1 席位，將對(duì) b不公平，此時(shí)應(yīng)參照式，計(jì)算對(duì) b 的

14、相對(duì)不公平值3）說(shuō)明當(dāng) b方增加 1 席時(shí)，將對(duì) a方不公平，此時(shí)計(jì)算得對(duì)a 的相對(duì)不公平值是（注意：在 p1/n1 p2/n2 的假設(shè)下，不可能出現(xiàn)p1n1p2(n2+1) 的情況因?yàn)楣降南环峙浞椒☉?yīng)該使得相對(duì)不公平的數(shù)值盡量地小，所以如果精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝9 則這 1 席應(yīng)給 a 方；反之應(yīng)給 b方根據(jù) (3) 、（4）兩式， (5) 式等價(jià)于并且不難證明 1 從上述第 1)種情況的 p1(n1 十 1)p2p2也可推出。于是我們的結(jié)論是：當(dāng) (6) 式成立時(shí)，增加的1 席應(yīng)分配 a 方；反之，應(yīng)分配給b方若記，則增加的 1 席位應(yīng)分配給 q值較大的一方

15、將上述方法可以推廣到有m方分配席位的情況下面用這個(gè)方法，重新討論本節(jié)開(kāi)始時(shí)提出的，三個(gè)系分配21 個(gè)席位的問(wèn)題首先每系分配 1 席，然后計(jì)算：甲系 n11，乙系， n2=1，丙系， n3=1，因?yàn)樽畲?，所以?4 席應(yīng)分配給甲系，繼續(xù)計(jì)算：甲系 n12，將與上面的相比，最大，第 5 席應(yīng)分給乙系，繼續(xù)計(jì)算。如此繼續(xù)，直到第 21 席分配給某個(gè)系為止（詳見(jiàn)列表）n 甲系乙系丙系1 5304.5（4）1984.5（5）578（9）2 1768.2（6）661.5（8）192.7（15）3 884.1（7）330.8（12）96.3 （21）4 530.5（10）198.5（14）5 353.6（1

16、1）132.3（18）精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝10 6 252.6（13）94.5 7 189.4（16）8 147.3（17）9 117.9（19）10 96.4 （20）11 80.4 合計(jì)11 席6 席4 席可以看出，用 q值法，丙系保住了它險(xiǎn)些喪失的1 席。你覺(jué)得這個(gè)方法公平嗎？習(xí)題：學(xué)校共 1000 名學(xué)生， 235入住在 a宿合， 333 人住在 b宿合， 432人住在 c宿合學(xué)生們要組織一個(gè)10 人的委員會(huì)，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)1）慣例的方法，印按比例分配完整數(shù)名額后，剩下名額給余數(shù)最大者。2）q值方法。如果委員會(huì)從 10 人增至 15 人，分

17、配名額將發(fā)生什么變化? ，例 3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題常染色體遺傳模型隨著人類(lèi)的進(jìn)化，人們?yōu)榱私沂旧膴W秘，越來(lái)越注重遺傳學(xué)的研究，特別是遺傳特征的逐代傳播，引起人們的注意。無(wú)論是人，還是動(dòng)植物都會(huì)將本身的特征遺傳給下一代，這主要是因?yàn)楹蟠^承了雙親的基因，形成自己的基因?qū)?，基因?qū)⒋_定后代所表現(xiàn)的特征。下面，我們來(lái)研究?jī)煞N類(lèi)型的遺傳：常染色體遺傳和 x鏈遺傳。根據(jù)親體基因遺傳給后代的方式，建立模型，利用這些模型可以逐代研究一個(gè)總體基因型的分布。在常染色體遺傳中，后代從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)?，基因?qū)σ卜Q(chēng)基因型。如果我們所考慮的遺傳特征是有兩個(gè)基因a和控制的，那么就有三種基

18、因?qū)?，記為aa ，a，。例如，金草魚(yú)由兩個(gè)遺傳基因決精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝11 定花的顏色，基因型是aa的金魚(yú)草開(kāi)紅花，型的開(kāi)粉紅色花，而型的開(kāi)白花。又如人類(lèi)的眼睛的顏色也是提高通過(guò)常染色體遺傳控制的?；蛐褪堑娜?，眼睛是棕色，基因型是的人，眼睛是蘭色。這里因?yàn)槎急硎玖送煌獠刻卣?，我們認(rèn)為基因 a支配基因，也可以認(rèn)為基因?qū)τ赼來(lái)說(shuō)是隱性的父體母體的基因型aa-aa aa-aa aa-aa aa-aa aa-aa aa-aa 后代基因型aa 1 1/2 0 1/4 0 0 aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0 aa 0 0 0 1/4 1/2 1 農(nóng)場(chǎng)的植物園中

19、某種植物的基因型為aa ，a和。農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃采用aa型的植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。那么經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布如何？第一步：假設(shè)：令,2, 1 ,0n。（1） 設(shè)nnba ,和nc分別表示第n代植物中，基因型為aa,aa和 aa 的植物占植物總數(shù)的百分率。令)(nx為第 n 代植物的基因型分布 : nnnncbax)(當(dāng) n=0時(shí)000)0(cbax表示植物基因型的初始分布（即培育開(kāi)始時(shí)的分布），顯然有精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝12 1000cba（2） 第 n 代的分布與第 n-1 代的分布之間的關(guān)系是通過(guò)上表確定的。第二步：建模

20、根據(jù)假設(shè)（ 2），先考慮第 n 代中的 aa型。由于第 n-1 代的 aa型與 aa型結(jié)合，后代全部是 aa型；第 n-1 代的 aa型與 aa型結(jié)合，后代是 aa型的可能性為 1/2 ，第 n-1 代的 aa 型與 aa型結(jié)合，后代不可能是aa型。因此，當(dāng),2,1 ,0n時(shí)11102/1?nnnncbaa即2/11nnnbaa類(lèi)似可推出2/11nnnbca0nc將式相加，得111nnnnnncbacba根據(jù)假設(shè)（ 1），有1000cbacbannn對(duì)于式、式和式，我們采用矩陣形式簡(jiǎn)記為, 2, 1,)1()(nmxxnn其中00012/1002/11mnnnncbax)(式遞推，得精品資料僅

21、供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝13 )0()2(2)1()(xmxmmxxnnnn式給出第代基因型的分布與初始分布的關(guān)系。為了計(jì)算出nm，我們將 m對(duì)角化，即求出可逆矩陣p和對(duì)角陣 d，使1pdpm因而有, 2, 1,1nppdmnn其中nnnnnd321321000000000000這里321,是矩陣 m的三個(gè)特征值。對(duì)于式中的m ，易求得它的特征值和特征向量: 0,2/1, 1321因此00002/10001d,001101121213所以100210111321p通過(guò)計(jì)算1pp，因此有)0(1)0()(xppdxmxnnn0001002101110000)21(00101002

22、10111cban即00011)(000)2/1()2/1 (0)2/1(1)2/1(11cbacbaxnnnnnnnn精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝14 0)2/1()2/1 ()2/1()2/1(010010000cbcbcbannnn所以有0)2/1()2/1 ()2/1()2/1(1010010nnnnnnnccbbcba當(dāng)n時(shí)0)2/1 (n，所以從式得到0, 1nnba和nc=0 即在極限的情況下，培育的植物都是aa型。第三步：模型討論若在上述問(wèn)題中，不選用基因aa型的植物與每一植物結(jié)合，而是將具有相同基因型植物相結(jié)合，那么后代具有三代基因型的概率如下表：父體母

23、體基因型aa-aa aa-aa aa-aa 后代基因型aa 1 1/4 0 aa 0 1/2 0 aa 0 1/4 1 并且)0()(xmxnn，其中14/1002/1004/11mm的特征值為2/1, 1, 1321通過(guò)計(jì)算，可以解出與21,相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量1和2，及與3相對(duì)應(yīng)的特征向量3：101110021213精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝15 因此111200101321p02/1011102/111p)0(1)0()(xppdxmxnnn00002/1011102/11)2/1(00010001111200101cbann所以有010000100)2

24、/1()2/1()2/1()2/1 ()2/1(bbccbbbbaannnnnn當(dāng)n時(shí)0)2/1 (n，所以從式得到0,)2/1(00nnbbaa和00)2/1 (bccn因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在極限情況下，后代僅具有基因aa和 aa。例 4 合作對(duì)策模型在經(jīng)濟(jì)或社會(huì)活動(dòng)中，幾個(gè)社會(huì)實(shí)體（個(gè)人、公司、黨派、國(guó)家）相互合作或結(jié)成聯(lián)盟，常能獲得比他們單獨(dú)行動(dòng)更多的經(jīng)濟(jì)或社會(huì)效益。這樣合理地分配這些效益是合作對(duì)策要研究的問(wèn)題。請(qǐng)看下面的例子。問(wèn)題一：經(jīng)商問(wèn)題甲、乙、丙三人經(jīng)商，若單干，每人僅能獲利1 元；甲乙合作可獲利7 元；甲丙合作可獲利 5 元；乙丙合作可獲利4 元；三人合作可獲

25、利10 元，問(wèn)三人合作時(shí)如何分配 10 元的收入。精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝16 甲的收入應(yīng)按照甲對(duì)各種形式的合作的貢獻(xiàn)來(lái)確定對(duì)于某一合作的貢獻(xiàn)定義為：有甲參加時(shí)這個(gè)合作的收入與無(wú)甲參加時(shí)這個(gè)合作的收入之差例如甲對(duì)甲乙二人合作的貢獻(xiàn)是716 ( 因?yàn)榧滓液献鳙@利7 元，而乙單干僅獲利1元)甲可以參加的，合作有四個(gè)：甲自己(單干視為合作的特例 ) 、甲乙、甲丙、甲乙丙甲對(duì)這些合作的貢獻(xiàn)分別是甲：1 一 01 元；甲乙： 716元；甲內(nèi)：514 元；甲乙丙： 1046 元，甲應(yīng)分得的收入是這四個(gè)貢獻(xiàn)的加權(quán)平均值，加權(quán)因子將由下面的一般模型給出這個(gè)問(wèn)題叫做 3 人合作對(duì)策，是

26、對(duì)策論的一部分，這里介紹它的一種解法。一般的 n 人合作對(duì)策模型可以敘述如下：記 n 人集合為 i=, 如果對(duì)于 i 中 的任一子集，都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)值函數(shù) v（s），滿足則稱(chēng)為定義在 i 上的特征函數(shù)所謂合作對(duì)策是指定義了特征函數(shù)的i 中 n 個(gè)人的合作結(jié)果，用向量值函數(shù)來(lái)表示在實(shí)際問(wèn)題中?？砂裪 中各種組合的合作獲得的利益定義為特征函數(shù)，上式表示合作規(guī)模擴(kuò)大時(shí)，獲利不會(huì)減少。不難看出，如將三人經(jīng)商問(wèn)題中合作的獲利定義為特征函數(shù)v，v 是滿足 (1) 、(2) 的為了確定，shapley 在 1953 年首先制定了一組應(yīng)該滿足的公理，然后證明了滿足這組公理的的唯一解是精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有

27、侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝17 其中是 i 中包含 i 的所有子集，是集合 s 中的人數(shù)，是加權(quán)因子，由確定 (3) 式中可看作成員 i 對(duì)合作 s 的貢獻(xiàn)；表示對(duì)所有包含i 的集合求和稱(chēng)為由 v 定義的合作的 shapley 值我們用 (3) 、(4) 計(jì)算三人經(jīng)商問(wèn)題中各個(gè)人應(yīng)得到的收入甲、乙、丙分別記作 1 ，2 ，3 ，包含 1 的集合有 1 、1，2、1 ，3、1 ，2，3，計(jì)算結(jié)果列入下表s 1 1,2 1,3 1,2,3 v(s) 1 7 5 10 v(s-1) 0 1 1 4 v(s)- v(s-1) 1 6 4 6 1 2 2 3 w() 1/3 1/6 1/6 1/3 w()v

28、(s)- v(s-1) 1/3 1 2/3 2 . 同樣可以算出乙、丙應(yīng)得收入為35 元，2.5 元。問(wèn)題二：三城鎮(zhèn)的污水處理方案沿河有三城鎮(zhèn) 1、2 和 3，地理位置如圖 4；6 所示污水需處理后才能排入河中三城鎮(zhèn)或者單獨(dú)建立污水處理廠，或者聯(lián)合建廠，用管道將污水集中處理( 污水應(yīng)于河流的上游城鎮(zhèn)向下游城鎮(zhèn)輸送)。以 q表示污水量 (噸秒 ) ，工表示管道長(zhǎng)度 ( 公里) 。精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝18 按照經(jīng)驗(yàn)公式，建立處理廠的費(fèi)用為712. 0173qp，鋪設(shè)管道的費(fèi)用為lqp51.0266.0今已知三城鎮(zhèn)的污水量分別為5, 3,5321qqql 的數(shù)值38,2

29、02312ll試從節(jié)約總投資的角度為三城鎮(zhèn)制定污水處理方案；包括是單獨(dú)還是聯(lián)合建廠；如果聯(lián)合，如何分擔(dān)投資額等三城鎮(zhèn)或單干或不同形式的聯(lián)合，共有五種方案。下面一一計(jì)算所需的投資方案一三城鎮(zhèn)都單干。投資分別為總投資：方案二城 1、2 合作。這時(shí)城 1、2 將從節(jié)約投資的角度對(duì)聯(lián)合還是分別建廠作出決策，所以城1、2 的投資為：=3500 c（3）=2300 總投資：方案三城 2、3 合作。c（1）=2300 總投資：方案四城 1、3 合作。精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝19 c（2）=1600 總投資：方案五三城鎮(zhèn)合作=5560 總投資：比較五個(gè)方案可知，應(yīng)該選擇三城合作，聯(lián)合

30、建廠的方案下面的問(wèn)題是如何分擔(dān)總額為5560 的費(fèi)用城 3 的負(fù)責(zé)人提出，聯(lián)合建廠的費(fèi)用按三城的污水量之比5：3：5 分擔(dān)，鋪設(shè)管道費(fèi)應(yīng)由城 1、2 擔(dān)負(fù)城 2 的負(fù)責(zé)人同意，并提出從城2 到城 3 的管道費(fèi)由城 1、2 按污水量之比 5：3 分擔(dān)；從城 1 到城 2 的管道費(fèi)理應(yīng)由城1 自己擔(dān)負(fù)城 1 的負(fù)責(zé)人覺(jué)得他們的提議似乎是合理的，但因事關(guān)重大，他沒(méi)有馬上表示同意；而是先算了一筆賬聯(lián)合建廠的費(fèi)用是4530)535(73712.0，城 2 到城 3 的管道費(fèi)是 730，城 1 到城 2 的管道費(fèi)是 300，按上述辦法分配時(shí)，城 3 負(fù)擔(dān)的費(fèi)用為 1740，城 2 的費(fèi)用為 1320，域

31、1 的費(fèi)用為 2500結(jié)果出乎意料之外，城 3 和城 2 的費(fèi)用都比單獨(dú)建廠時(shí)少，而城1 的費(fèi)用卻比單獨(dú)建廠時(shí)的 c(1) 還要多 . 城 1 的負(fù)責(zé)人當(dāng)然不能同意這個(gè)方法，但是一時(shí)他又找不出精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝20 公平合理的解決辦法為了促成聯(lián)合的實(shí)現(xiàn)，你能為他們提供一個(gè)滿意的分擔(dān)費(fèi)用的方案嗎 ? 首先，應(yīng)當(dāng)指出，城3 和城 2 負(fù)責(zé)人提出的辦法是不合理的：從前面的計(jì)算我們知道，三城聯(lián)合，才能使總投資節(jié)約了640 的效益應(yīng)該分配給三城，使三城分配的費(fèi)用都比他們單干時(shí)要少，這是為促成聯(lián)合所必須制定的一條原則至于如何分配，則是下面要進(jìn)一步研究的問(wèn)題把分擔(dān)費(fèi)用轉(zhuǎn)化為分

32、配效益, 就不會(huì)出現(xiàn)城 1 聯(lián)合建廠分擔(dān)的費(fèi)用反比單獨(dú)建廠費(fèi)用高的情況 . 將三城鎮(zhèn)記為 i=1,2,3,聯(lián)合建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投資定義為特征函數(shù) . 于是有v()=0,v(1)=v(2)=v(3)=0,v(1,2)=c(1)+c(2)-c(1,2)=2300+1600-3500=400,v(2,3)=c(2)+c(3)-c(2,3)=1600+2300-3650=250,v(1,3)=0,v(i)=c(1)+c(2)+c(3)-c(1,2,3)=640. s 1 1,2 1,3 1,2,3 v(s) 0 400 0 640 v(s-1) 0 0 0 250 v(s)- v(s-1) 0 4

33、00 0 390 1 2 2 3 w() 1/3 1/6 1/6 1/3 w()v(s)- v(s-1) 0 67 0 130 即197)(1v同理得321)(2v,122)(3v那么, 城 1 分擔(dān)的費(fèi)用為 2300-197=2103, 城 2分擔(dān)的費(fèi)用為 1600-321=1279, 城 3 分擔(dān)的費(fèi)用為 2300-122=2178,合計(jì) 5560. 習(xí)題：精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝21 某甲（農(nóng)民）有一塊土地。如果從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)可年收入100 元；如果將土地租給某企業(yè)家用于工業(yè)生產(chǎn)，可年收入200 元；如果租給某旅店老板開(kāi)發(fā)旅游業(yè)，可年收入 300 元；當(dāng)旅店老板請(qǐng)

34、企業(yè)家參與經(jīng)營(yíng)時(shí)，年收入可達(dá)400 元。為實(shí)現(xiàn)最高收入，試問(wèn)如何分配各人的所得才能達(dá)成協(xié)議？例 5 動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型有不少動(dòng)態(tài)過(guò)程可抽象成狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題，特別是多階段決策過(guò)程的最優(yōu)化如最短路徑問(wèn)題，最優(yōu)分配，設(shè)備更新問(wèn)題，排序、生產(chǎn)計(jì)劃和存儲(chǔ)等問(wèn)題動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一種比較簡(jiǎn)單問(wèn)題的最優(yōu)化方法，它的基本特征是包含多個(gè)階段的決策1951年，美國(guó)數(shù)學(xué)家貝爾曼 (rbellman) 等人，提出了解決多階段決策問(wèn)題的“最優(yōu)化原理”，并研究了許多實(shí)際問(wèn)題，從而創(chuàng)建了動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的基本思想是：將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成若干個(gè)階段，每一個(gè)階段作為一個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行處理，從而決定整個(gè)過(guò)程的決策，階段往往可

35、以用時(shí)間劃分這就具有“動(dòng)態(tài)”的含義，然而，一些與時(shí)間無(wú)關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃中的最優(yōu)化問(wèn)題，也可人為地把問(wèn)題分成若干階段，作為一個(gè)多階段決策問(wèn)題來(lái)處理，計(jì)算過(guò)程單一化，便于應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解過(guò)程分為兩大步驟，先按整體最優(yōu)化思想遞序地求出各個(gè)可能狀態(tài)的最優(yōu)化決策；再順序地求出整個(gè)題的最優(yōu)策略和最優(yōu)路線下面，結(jié)合一個(gè)求最短路徑的例子，來(lái)說(shuō)明動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些基本概念最短路徑問(wèn)題如圖所示的交通網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)連接線路上的數(shù)字表示兩地距離，計(jì)算從a到 e的最短路徑及長(zhǎng)度。精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝22 1階段把所要處理的問(wèn)題，合理地劃分成若干個(gè)相互聯(lián)系的階段，通常用k 表示階段變量。如例中，可將問(wèn)題分

36、為4 個(gè)階段， k=1,2,3,4. 2狀態(tài)和狀態(tài)變量每一個(gè)階段的起點(diǎn)，稱(chēng)為該階段的狀態(tài)，描述過(guò)程狀態(tài)的變量，稱(chēng)為狀態(tài)變量，它可以用一個(gè)數(shù)、一組數(shù)或一個(gè)向量來(lái)描述，常用kx來(lái)表示第 k 階段的某一狀態(tài)如果狀態(tài)為非數(shù)量表示，則可以給各個(gè)階段的可能狀態(tài)編號(hào)，ixik)()(ikx表示第 k 個(gè)階段的第 i 狀態(tài))。第 k 階段狀態(tài)的集合為,)()()2()1(tkikkkkxxxxx如例 6 中，第 3 階段集合可記為3 ,2 , 1,321)3(3)2(3)1(33cccxxxx3決策和決策變量決策就是在某一階段給定初始狀態(tài)的情況下，從該狀態(tài)演變到下一階段某狀態(tài)的選擇。即確定系統(tǒng)過(guò)程發(fā)展的方案用

37、一個(gè)變量來(lái)描述決策，稱(chēng)這個(gè)變量為決策變量。設(shè))(kkxu表示第 k 個(gè)階段初始狀態(tài)為kx的決策變量)(kkxd表示初始狀態(tài)為kx的允許決策集合，有)(kkxu)(kkxd=ku 如例 6 中,)(3211bbbad，若先取2b，則21)(bau。4策略和子策略由每段的決策)(kkxu組成的整個(gè)過(guò)程的決策變量序列稱(chēng)為策略，記為np, 1，即np, 1=)(,),(),(2211nnxuxuxu精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝23 從階段 k 到階段 n 依次進(jìn)行的階段決策構(gòu)成的決策序列稱(chēng)為k 子策略，記為nkp,即)(1,xpnk=)(,),(),(11nnkkkkxuxuxu

38、顯然， k=1 時(shí)的 k 子策略就是策略。如例 6，選取路徑edcba221就是一個(gè)子策略從允許策略集中選出的具有最佳效果的策略稱(chēng)為最優(yōu)策略。5狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程系統(tǒng)在階段 k 處于狀態(tài)kx，執(zhí)行決策)(kkxu的結(jié)果是系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，即由階段 k的狀態(tài)kx轉(zhuǎn)移到階段 k十 1 的狀態(tài)1kx適用于動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解的是一類(lèi)具有無(wú)后效性的多階段決策過(guò)程無(wú)后效性又稱(chēng)馬爾科夫性，指系統(tǒng)從某個(gè)階段往后的發(fā)展，完全由本階段所處的狀態(tài)以及其往后的決策決定，與系統(tǒng)以前的狀態(tài)及決策無(wú)關(guān)，對(duì)于具有無(wú)后效性的多階段過(guò)程，系統(tǒng)由階段k 向階段k+1 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為)(,(1kkkkkxuxtx意即1kx只與kx,)(kk

39、xu有關(guān)，而與前面狀態(tài)無(wú)關(guān))(,(kkkkxuxt稱(chēng)為變換函數(shù)或算子分確定型和隨機(jī)型，由此形成確定型動(dòng)態(tài)規(guī)劃和隨機(jī)型動(dòng)態(tài)規(guī)劃6指標(biāo)函數(shù)和最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)在多階段決策中，可用一個(gè)數(shù)量指標(biāo)來(lái)衡量每一個(gè)階段決策的效果，這個(gè)數(shù)量指標(biāo)就是指標(biāo)函數(shù)，為該階段狀態(tài)變量及其以后各階段的決策變量的函數(shù)，設(shè)為nkv,即nkxxuxvvnkkknknk,2, 1),(1,精品資料僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝24 指標(biāo)的含義在不同的問(wèn)題中各不相同，可以是距離、成本、產(chǎn)品產(chǎn)量、資源消耗等例 6 中，指標(biāo)的含義就是距離，指標(biāo)函數(shù)為a到 e的距離，為各階段路程的和最常見(jiàn)的指標(biāo)函數(shù)取各階段效果之和的形式，即nkjj

40、jjnkuxvv),(,指標(biāo)函數(shù)nkv,的最優(yōu)值，稱(chēng)為相應(yīng)的最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)，記為)(kkxfnkkkoptvxf,)(式中 opt 是最優(yōu)化之意，根據(jù)問(wèn)題要求取max或 min7動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)化原理貝爾曼指出“作為整個(gè)過(guò)程的最優(yōu)策略具有這樣的性質(zhì)：即無(wú)論過(guò)去的狀態(tài)和決策如何，對(duì)前面的決策所形成的狀態(tài)而言，余下的諸決策必須構(gòu)成最優(yōu)策略”基于這個(gè)原理，可有如下定理：定理若策略*, 1 np是最優(yōu)策略，則對(duì)于任意的k(1kn) ，它的子策略*,nkp對(duì)于以),(*1*11*kkkkuxtx為起點(diǎn)的 k 到 n 子過(guò)程來(lái)說(shuō)，必是最優(yōu)策略實(shí)質(zhì)上，動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法是從終點(diǎn)逐段向始點(diǎn)方向?qū)ふ易疃搪窂降囊环N方法8動(dòng)態(tài)