太原理工大學數(shù)值計算方法試驗報告

1、太原理工大學數(shù)值計算方法實 驗報告本科實驗報告課程名稱：計算機數(shù)值方法實驗項目：方程求根、線性方程組的直接解法、線性方程組的迭代解法、代數(shù)插值和最小一乘擬合多項式實驗地點：行勉樓專業(yè)班級：*學號： *學生姓名：*指導教師：李 誌，崔冬華2016學生姓實驗成名績實驗名稱實驗一方程求根實驗內(nèi)容和要求熟悉使用二分法、迭代法、牛頓法、割線法等方法對給定的方程進行根的求解。選擇上述方法中的兩種方法 求方程：f(x)=x 3+4x2-10=0在1,2內(nèi)的一個實根，且要求滿足精 度|x -x n|<0.5 X 10-(1) 了解非線性方程求根的常見方法，如二分法、牛頓法、割線法。(2) 加深對方程求根

2、方法的認識，掌握算法。(3 )會進行誤差分析，并能對不同方法進行比較。實驗原理1. 二分法：如果要求已知函數(shù)f(x) = 0的根(x的解)，那先要找出一個區(qū)間a, b,使得f(a)與f(b)異號。根據(jù)介值定理，這個區(qū)間內(nèi)一定包含著方程式的根。求該區(qū)間的中點m=(a+b)/2，并找出f(m) 的值。若f(m) 與f(a) 正負號相同，則取m, b 為新 的區(qū)間，否則取a, m。重復第3步和第4步，直到得到理想的精確度為止。2. 割線法是利用牛頓迭代法的思想，在根的某個領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)有直至二階的連續(xù)導數(shù)，并且不等于0，則在領(lǐng)域內(nèi)選取初值X0,X1,迭代均收斂。(1) 在區(qū)間m ,n內(nèi)輸入初值x0,

3、x1.(2) 計算 x2。x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0)(3) x0-x1,x1-x2(4)判斷是否達到精度，若是輸出x1，若否 執(zhí)行(2)主要儀器設(shè)備HP計算機實驗記錄1.二分法/方程求根(二分法).cpp :定義控制臺應(yīng)用程序的入口點。/#i nclude "stdafx.h"#i nclude"iostream"using n amespace std;class Textpublic:float x, y, a, b, c, n = 0;void Getab()cout << "請輸入計算區(qū)

4、間：(以空格隔開)"<< endl; cin >> a >> b;float GetY(float x)y = x*x*x + 4 * x*x - 10;return y;float Calculate(float a,float b)c = (a + b) / 2;n+;if (GetY(c) = 0 | (b - a) / 2) < 0.000005)cout << c <<"為方程的解"<< endl; return 0;if (GetY(a)*GetY(c) < 0)ret

5、urn Calculate(a,c);if (GetY(c)*GetY(b)< 0)retur n Calculate(c,b);int mai n()cout << "方程組為：f(x)=xA3+4xA2-10=0" << endl;float a, b;Text text;text.Getab();a = text.a;b = text.b;text.Calculate(a, b);return 0;gg C Yd NDOWE1 eyramewe|方程組為* f®刊3-4匸2-10-0 請輸入計銓區(qū)間以空格陰開）;1 2L 365

6、23為方弄的科請按任意鍵樂續(xù).2.割線法：/方程求根(割線法).cpp :定義控制臺應(yīng)用程序的入口點。/#i nclude "stdafx.h"#i nclude"iostream"using n amespace std;class Apublic:float x0,x1,y;float GetY(float x)y= x*x*x+4*x*x-10;return y;void GetNumber()cout<<"請輸入兩個初始近似值：(以空格隔開)"<< endl;cin >> x0;cin &g

7、t;> x1;void Calculate(float x0,float x1)float x2;x2 = x1 - (GetY(x1) / (GetY(x1) - GetY(x0)*(x1 - x0);if (x2=x1)cout <<x2<<"為方程的解"<< endl;elsecout << x2 << en dl;return Calculate(x1, x2);int mai n()cout << "方程組為：f(x)=xA3+4xA2-10=0" <<

8、endl; float a, b;A text;text.GetNumber();a = text.x0;b = text.x1;text.Calculate(a,b);return 0;SB C：VVINDitem32cfnd.exe|方程組為2f(x)x"3+4x 210-0 幘輸入兩個初始近似值；以寧格隔開) 1 21. 263161.33883L 366621. 36521L 365231. 30523方程的解請按仕意鍵繼續(xù).:心得體會使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通過二分法計算的程序?qū)崿F(xiàn)更加 了解二分法的特點，二分法過程簡單，程序容易實現(xiàn)，但該方法收斂比較慢一

9、般用于求 根的初始近似值，不同的方法速度不同。面對一個復雜的問題，要學會簡化處理步驟， 分步驟一點一點的循序處理，只有這樣，才能高效的解決一個復雜問題。實驗名稱實驗二線性方程組的直接求解實驗內(nèi)容和要求合理選擇利用 Gauss消元法、主元素消元法、LU分解法、追趕法求解下列方程組:1 23xi14012x282 41x313（1） 了解線性方程組常見的直接解法，如Guass消元法、LU分解法、追趕法。（2）加深對線性方程組求解方法的認識，掌握算法。(3)會進行誤差分析，并能對不同方法進行比較。實驗原理1.咼斯分解法：將原方程組化為三角形方陣的方程組：l ik =aik /a kka ij = a

10、 ij - l ik* a kjk=1,2,n-1i=k+1,k+2,n j=k+1,k+2,n+1由回代過程求得原方程組的解：X n= a nn+1/ a nnx k=( a kn+i-刀 akj x j)/ a kk (k=n-1,n-2,2,1)2. LU分解法：將系數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)化為A=L*U, L為單位下三角矩陣，U為普通上三角矩陣， 然后通過解方程組l*y=b,u*x=y, 來求解x.主要儀器設(shè)備HP計算機實驗記錄1.高斯消兀法：#i nclude "stdio.h"#i nclude "math.h"#i nclude <stdio.h&

11、gt;double a5 6,a0 56; double l5,tmp;void Excha nge(i nt i)int j,l,k;double max=aOii,temp; j=i;for(k=i;k<=3;k+)if(aOki>max) max=aOki; j=k; for(l=i;l<=4;l+)temp=aOil; aOil=aOjl; aOjl=temp;for(i=1;i<=3;i+)for(j=1；j<=4;j+) aij=aOij;void displayA()int i,j;pri ntf("n");for(j=1;j&l

12、t;=3;j+)for(i=1;i<=4;i+)prin tf("%lf ",aji);prin tf("n");void mai n()int i,j,k;for(i=1;i<=3;i+)for(j=1;j<=4;j+) scan f("%lf",&aij); a0ij=aij;displayA(); printf(”列主元素消元法如下");/消元過程k=1;doExcha nge(k); displayA();for(i=k+1;i<=3;i+)li=aOik/aOkk;prin tf(&

13、quot;l%i%i=%lf",i,k,li); for(j=k;j<=4;j+) aij=a0ij-li*a0kj;displayA();k+;if(k=3) break;for(j=1；j<=3;j+)for(i=1;i<=4;i+)a0ji=aji;while(1);/回代過程l3=a34/a33;for(k=3;k>=1;k-)tmp=0; for(j=k+1;j<=3;j+)tmp+=akj*lj; lk=(ak4-tmp)/akk;for(i=1;i<=3;i+)prin tf("x%i=%lfn",i,li);2

14、3 141 2 S4 1 132-0B000U1 .98398012.0600004 *0盹盹 0列主元索消元法如下2.G6OOO0 Q6Q0C00 1.000000 121E1J-0 206000Q esesea 1.000000 1L31E1J-0 2.QH060Q4.000900 1000盹0 s.aeena 0000004.B0B00B 10009002.0BMH0 5300004.D000O06,0666002.0U060Q1.0000001 s. aeawa4.00W001 - 00090010.000000 0.000000l3H2=B.OB(90n2.QU0O0Q 4.00dU

15、UU6.0000001 - 90390013.0900992.03麗陽1 9000081.0990092 0303003 0093001 aaoaaa2 090090a ” 0000001.00090(92.0009002.000881.0389km2.0909002.5900091 .2.09899014.0000309 _B008SBU 003000L3000000 8000000 14.000HAR直3000000 BB0000B14.00000013.0000008.S00000758068813.0000008.B000007.5000006.0000000.0000002.5303

16、00xl11.000000工2=2-盹0盹0x3 1=3 .盹盹00Pres 殆ny key to cont inuie13.0000008.S3000B7-5000002.LU分解法：#in clude<stdio.h> #in clude<math.h>int i,j,k,r;double m=0,p=0;double a33;void lu(double a33)for(i=1;i<=2;i+)if(aOO!=O) ai0=ai0/a00;for(k=1;k<=2;k+) for(j=k;j<=2;j+)for(r=0;r<=k-1;r+)

17、m=m+akr*arj;akj=akj-m;m=0;for(i=k+1;i<=2;i+)for(r=0;r<=k-1;r+)P=P+air*ark;aik=(aik-p)/akk;p=0; void mai n() static double a33=1,2,3,0,1,2,2,4,1;static double b3=14,8,13;double c3;double d3;double f33;double m=0;double n=0;int r;int i,j;lu(a);printf("輸出U的矩陣為n");for(i=0;i<=2;i+)for(

18、j=i;j<=2;j+)fij=aij;prin tf(" %f',fij);prin tf("n ”);printf("輸出L的矩陣為n”);for(i=0;i<=2;i+)for(j=0;j<=i;j+)if(i=j)aij=1;printf(" %f",aij);elseprintf(" %f",aij);prin tf("n");&0=b0;for(i=1;i<=2;i+)for(r=0;r<=i-1;r=r+1)m=m+air*cr;ci=bi-m;

19、m=0;d2=c2/f22;for(i=1;i>=0;i=i-1)for(r=2;r>i;r=r-1)n=n+fir*dr;di=(ci-n)/fii;n=0;printf(”所求方程組解為x仁%f, x2=%f, x3=%f",d0,d1,d2);/*根據(jù)LU分解所得兩個矩陣及求解步驟計算所求X 一組解*/刪出U旳矩陣為1.030000 2.806m 3.BM0081 .00(10輸岀L的矩陣為1,0060000”000000 1.0000902.030000 0.000090 1.000000所求方程組解xi =1.000000, xS =2 -, x3 =3 .QS

20、QSBSPress an ij key t：o con tiniuie心得體會對于求解線性方程組的各種直接方法來說各有優(yōu)缺點，在所有的求解方法中都應(yīng) 該注意其解的精度。注意不同求解方法的不同誤差求法。編寫程序的時候需要一步一步 慢慢來，逐步增加自己的算法知識水平和解決問題的能力。實驗名稱實驗三線性方程組的迭代求解實驗內(nèi)容和要求10捲x2 2x37.2Xi 10x2 2x38.3捲x2 5x34.2使用雅可比迭代法或高斯-賽德爾迭代法對下列方程組進行求解。實驗原理雅可比迭代法：設(shè)線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A可逆且主對角元素aii,a22,ann均不為零，令D=diag(a ii,a 22,a

21、nn)并將A分解成A=(A-D)+D從而線性方程組可寫成Dx=(D-A)x+b則有迭代公式x(k+1)=Bix(k)+fi其中，B=l-D-1A,f i=D 1b。主要儀器設(shè)備HP計算機實驗記錄#include <stdio.h> #include <math.h> int main()int i;double x120,x220,x320;double x10,x20,x30;printf( "please in put x1,x2,x3:n");sea nf( "%lf%lf%lf"，& x10, &x20,

22、&x30);printf( " nx1nx2nx3nn");for (i= 0;i< 18;i+)x10=x10;x20=x20;x30=x30;x1i+ 1=0.1*x2i+ 0.2*x3i+ 0.72;x2i+ 1=0.1*x1i+ 0.2*x3i+ 0.83;x3i+ 1=0.2*x1i+ 0.2*x2i+ 0.84;printf( "%5d %5lf %5lf %5lfn" ,i,x1i,x2i,x3i);return 0;Iplease input 衣1,x2,；b b 3nxl Tnlx2(nlx3nl00.606066

23、7;.03030013.84990821.0700B0i.i&aoaa31.8570001.1571001-24S20041.0853501.1853401.28282051.0950981.1950991.294130S1.6983341.1983371.29803?716994421.1994421.2?33581.B99S111.19981112?77?56999361.19993612?24IM1.0999791-19997?1.2?99?5111.6999931 -1?931121S999981.19999B12?7131.8999991-1999951.2?T?¥

24、丄4l.ieoem1.2000001.300900151.2600001.30903016i.lessee1.2060081,3011090171.2000001303300心得體會在編寫算法是不熟悉， 查閱了很多資料，經(jīng)過反復研究和試驗后實現(xiàn)了題目的要求，使用雅克比迭代法和高斯-賽德爾都可以得到方程的解，但相比之下，高斯-賽德爾的迭代次數(shù)要比雅克比的迭代次數(shù)少，能夠更快的達到所求的解的精度。實驗名稱實驗四代數(shù)插值和最小二乘法擬合實驗內(nèi)容和要求1. 學習使用拉格朗日插值法或牛頓插值法求解 方法。2. 了解最小二乘法的多項式擬合的具體計算方 法并且注意克服正規(guī)方程組的病態(tài)。給定數(shù)據(jù)點（Xi ,

25、y ）如下：Xi00.50.60.70.80.91.0yi11.751.962.192.442.713.00(1) 使用拉格朗日插值法或牛頓插值法，求f(0.856)的近似值.(2) 用最小二乘法擬合數(shù)據(jù)的(n次)多項式，求f(0.856)的近似值.(3) 對比、分析上兩結(jié)果實驗原理設(shè)函數(shù)在區(qū)間a,b上n+1互異節(jié)點xo,x i，,x n上的函數(shù)值分別為 yo,y i，,y n,求n次插值多項式Pn(x),滿足條件Pn(xj)=yj, j=0,1,n令Ln(x)=y ol o(x)+y il i(x)+ +ynl n(x)= 刀yl(x)其中10(x),l1(X)，,l n(x) 為以xo,x

26、 1,x n為節(jié)點的n次插值基函數(shù)，則 Ln(x)是一次數(shù)不超過n的多項式，且滿足Ln(x j )=y j, L=0,1,n再由插值多項式的唯一性，得Pn(x) = Ln(x)主要儀器設(shè)備HP計算機實驗記錄(寫出實驗內(nèi)容中的程序代碼和運行結(jié)果)(可分欄或加頁)拉格朗日插值法：#i nclude "stdio.h"int mai n()double m=1.0,a=0.856,l=0;int i,j;double x6=0.50,0.60,0.70,0.80,0.90,1.00;double y6=1.75,1.96,2.19,2.44,2.71,3.00;for(i=0;i<=5;i+)for(j=0;j<=5;j+)if(i=j) con ti nue; m=m*(a-xj)/(xi-xj);l+=yi*m;m=1;printf("結(jié)果為 lf",l);return 0;§#2-588736Pi*ess 日n少 l<ey to cont inue最小二乘法