《實際問題與一元一次方程》典型例題

1、實際問題與一元一次方程典型例題例1 兩站間的路程為448千米，一列慢車從A站出發(fā)，每小時行駛60千米；一列快車從B站出發(fā)，每小時行駛80千米問： （1）兩車同時開出，相向而行，出發(fā)后多少小時相遇？ （2）兩車相向而行，慢車先行28分鐘，快車開出后多少小時兩車相遇？ （3）兩車同時開出，同向而行，如果慢車在前，出發(fā)后多少小時快車追上慢車？ 分析：本例中（1）（2）屬相遇問題，（3）屬追及問題，它們可借助示意圖分析等量關系：（1）由上圖可知：慢車走的路程快車走的路程全程448千米（2）由上圖可知：慢車提前行駛的路程快車出發(fā)后慢車行駛的路程快車行駛的路程全程（3）由上圖可知：快車行駛的路程慢車行駛的

2、路程全程448千米解：（1）設兩車行駛x小時相遇，依題意，有解這個方程，得 答 兩車出發(fā)3.2小時后相遇（2）設快車開出后x小時兩車相遇，依題意得解這個方程，得答 快車開出后3小時兩車相遇（3）設兩車出發(fā)后x小時快車追上慢車，依題意得 解得 答 兩車出發(fā)后22.4小時快車追上慢車說明：行程問題一般有三種類型：（1）相遇問題；（2）追及問題；（3）流水問題其基本等量關系分別是： （1）相遇問題；兩者路程之和全程 （2）追及問題：快者路程慢者路程被追路程（3）流水問題：順水速度靜水速度水速；逆水速度靜水速度水速例2 某人將甲、乙兩種股票同時賣出，其中甲種股票賣價1 200元，盈利20；乙種股票也賣

3、1200元，但虧損20，該人此次交易結果是盈利還是虧損？ 分析：兩種股票共賣了2 400元，是盈利還是虧損要看這個人買進這兩種股票時共花了多少錢，如果買人的價格小于2 400元，則在這次交易中賺錢；反之，此人在這次交易中虧損假設一支股票的買入價為1000元，如果賣出后盈利20，那么股票盈利潤是1000×20；如果賣出后虧損20，股票利潤是1000 ×（20）元解；設甲種股票的買進價為x元，乙種股票的買進價為y元，根據賣價，可列，解得（元） 答：兩種股票合計虧100元 說明：此題要判斷盈虧，須知股票的賣價與買價的差值，而求出每種股票的買價是關鍵例3 某商品的進價是2 000元

4、，標價為3 000元，商店要求以利潤率不低于5的售價打折出售，售貨員最低可以打幾折出售此商品？ 分析：根據利潤率，進行計算 解：設售價為x元，則 ，解得（元） 因此，所以，售貨員最低可以打7折出售此商品 說明：此題為利潤率問題，利用等量關系：利潤率，求解；為十分之幾即為幾折例4 下表紀錄的是一次試驗中聲音在空氣中的傳播速度與氣溫的相關數(shù)據氣溫/05101520音速（米/秒）331334337340343 （1）如果音速的變化是均勻的，你能求出當音速為338.2米秒時的氣溫嗎？ （2）當氣溫22時，某人看到煙花燃放5秒后才聽到聲音，那么此人與燃放的煙花所在地約相距多遠？解：（1）設氣溫為x時，則

5、由表可知聲音的速度是米秒，可列移項及合并，得 答：當音速為338.2米秒時的氣溫為12（2）當時， 答：此人與燃放的煙花所在地約相距1721米 說明：解決此問題要明確音速與溫度之間的變化規(guī)律，從而已知氣溫可求音速；反之亦然同時還應明確空氣中聲音的傳播速度要遠遠小于光的傳播速度例5 某項工作，甲單獨做需4小時，乙單獨做需6小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙合作，問甲、乙合作還需多少小時才能完成全部工作？分析：設甲、乙合作還需x小時才能完成全部工作列出兩人的工作效率、工作時間、工作量情況表（下表）從表中，可得等量關系：甲完成工作量乙完成工作量總的工作量工作效率工作時間完成工作量甲乙解：如分析中所設，

6、根據題意可得：，解得 答 甲、乙合作還要2.1小時才能完成全部工作 說明：分析工程問題時，往往把工作總量作為1來考慮，每人的工作效率是相應各人單獨完成工作總量所需時間的倒數(shù)，然后列出每人的工作效率、工作時間、完成工作量的情況表去找等量關系就很容易了例6 某工人按原計劃每天生產20個零件，到預定期限還有100個零件不能完成，若提高工效25，到期將超額完成50個，問此工人原計劃生產零件多少個？預定期限是多少天？ 分析：若設預定期限為三天，則由生產零件的個數(shù)找等量關系，若設生產零件（原計劃）為x個，則由完成的時間找等量關系 解法1：設預定期限為x天，則 解得（天） 30×20100700（

7、個） 所以，此工人原計劃生產零件700個，預定期限為30天解法2：設原計劃生產零件x個，則解得（個），（天） 所以，此工人原計劃生產零件700個，預定期限為30天 說明：此題為工程問題，利用相關公式：工作量工作效率×工作時間求解；運用的方法不同（設法不同），找的等量關系也不相同，難易也不相同例7 男女生有若干人，男生與女生人數(shù)之比為4：3，后來走了12名女生，這時男生人數(shù)恰好是女生的2倍求原來的男生和女生的人數(shù) 分析：本題的等量關系為 女生人數(shù)走了的人數(shù)男生人數(shù)的一半設男生人數(shù)為4x人，則女生人數(shù)為3x人，分析等量關系可列表為：左邊女生人數(shù)3x人，走了12人右邊男生人數(shù)4x人的一半

8、解：設原有男生人數(shù)為4x人，女生人數(shù)為3x人，則依題意，有 解得 則答；原有男生48人，原有女生36人 說明：本例依據題中的比例關系設未知數(shù)，避免出現(xiàn)分數(shù)，使計算簡便，這是解比例問題的常用方法例8 已知某一鐵路橋長1000米，現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共用1分鐘，整個火車完全在橋上的時間為40秒求火車的速度 分析：本題要分清“火車過橋”與“火車在橋上”的不同點及每種情況火車所走路程設火車長為x米，則火車完全在橋上共走路程為米，速度表示為（米秒），火車過橋共行駛路程為米，速度可表示的（米秒），這兩個速度相等，畫圖表示為火車完全在橋上：火車一開始上橋到完全離橋：解：設火車

9、長為x米，依題意，得解方程，得則 答 火車長度為200米，火車行駛速度為20米秒 說明：與車上（離）橋問題相似的還有“排頭挑尾”問題在行進的隊伍中，A從排尾到排頭屬追及問題，從排頭到排尾是相遇問題設隊伍速度為，長度為，A的速度為，時間為t，則這兩種情形分別有等量關系式為：，分析問題的關鍵是不能把隊伍看成不動、只有A在動的情形例9 有一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小3，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和等于這個兩位數(shù)的，求這個兩位數(shù) 分析：由已知“十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和等于這個兩位數(shù)的”找等量關系 解：設十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為，根據題意，得 解得 所以，這個兩位數(shù)為3

10、6說明：此題為數(shù)字問題，等量關系由題目已知的條件找出；表示這個兩位數(shù)時，注意將十位上的數(shù)字乘以10后加上個位上的數(shù)字例10 （2003年深圳市中考題）我國很多城市水資源缺乏，為了加強居民的節(jié)水意識，合理利用水資源，很多城市制定了用水收費標準，A市規(guī)定了每戶每月的標準用水量，不超過標準用水量的部分按每立方米1.2元收費，超過標準用水量的部分按每立方米3元收費該市張大爺家5月份用水9立方米，需交費16.2元A市規(guī)定的每戶標準用水量是多少立方米？ 分析：由于，因此9立方米超過標準用水量，因此等量關系為：總收費標準用水量交費超過標準用水量交費 解：設每戶標準用水量為x立方米，由題意知， 因此，解得（立方米） 所以，A市規(guī)定的每戶標準用水量為6立方米例11 （2002年陜西省中考題）某企業(yè)生產一種產品，每件成本價是400元，銷售價是510元，本季度銷售了m件，為進一步擴大市場，該企業(yè)決定在降低售價的同時降低生產成本，經過市場調研，預測