橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)100條A4

1、1 |PF11 |PF2 | = 2a222 標(biāo)準(zhǔn)方程：篤爲(wèi)=1|PFi|a2 b23. e：1d14. 點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角5. PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去 長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)6. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離7. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切&設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則 PF1F2在邊PF2 （或PF1）上的旁切圓，必與 A1A2所在的直線切 于 A2 （或 A1）.Pl - P2 時(shí)x2 y29橢圓 牙"（a>b>o）的兩個(gè)頂點(diǎn)

2、為 A（-a,0） ,A2（a,0），與y軸平行的直線交橢圓于a bAiPi與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是10若Po（x。, y。）在橢圓11若Po(xo, yo)在橢圓2 2x_i_=1a2 b22 2x yXoX yoy2 2 =1上，則過(guò)Po的橢圓的切線方程是 -020 1.a ba2 2篤每=1外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為a bb2Pi、P2,則切點(diǎn)弦PlP2的直線方程是竽轡“a b22x y12. AB是橢圓2a b=1的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且不過(guò)原點(diǎn)的弦，M為AB的中點(diǎn)，貝y kOM kAB13若Po ( xo, yo )在橢圓14若Po (xo, yo)在橢圓2 2 . y_ a2

3、b22 2 0 . y_ a2=1內(nèi)，則被15 若 PQ是橢b2x2 + a2 b=1內(nèi)，則過(guò)2y_2=1 (12aPo所平分的中點(diǎn)弦的方程是 2a2x2axoxyoy2xoyo22abb2_ 2 .a2+ " wb22Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 2= -y°ybo ） 上對(duì)中a2 b2心張直角的弦，則1 12(n =|0P|,r2 H OQ |). b2 2x_. y_2aa216 若橢圓b2（ a> b> 0）上中心張直角的弦LRa2 B2； 皿2 b4B2ba2A2 b2B217.給定橢圓 C1 : b2x2，a2y2 二 a2b2 (a>b>o

4、), C2:給定的點(diǎn)Fo（xo, yo）,它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò) C2上一定點(diǎn)M（所在直線方程為b2x2a2y22 ,2 / a - b (_22 xo,abAx By =1 (AB 丸),則2 _b2-(22 ab)，則(i)對(duì)G上任意a b2,2a -b?yo).a2 b（ii）對(duì)C2上任一點(diǎn)Po（xo,y°）在G上存在唯一的點(diǎn) M，使得M的任一直角弦都經(jīng)過(guò)R點(diǎn).則直線BC有定向且kBCb 0 (常數(shù))._ 2a y。21 m b2 .1 -m aB,C兩點(diǎn),2 2x y18.設(shè)P)(x0,y0)為橢圓(或圓)。二 2=1 (a>0,. b> 0)上一點(diǎn)，P1P2為曲

5、線C的動(dòng)弦，且弦P0P1, P0P2a b斜率存在，記為ki, k 2,則直線P1P2通過(guò)定點(diǎn)M (mx(),-my0) (m = 1)的充要條件是 k1 k22 219過(guò)橢圓 篤與=1 (a>0, b>0)上任一點(diǎn)A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于a b2220.橢圓篤爲(wèi)=1 a b的焦點(diǎn)角形的面積為22 2x y25.橢圓一22a> b> 0)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線a2b2l : y = k(xx0)對(duì)稱(chēng)的充要條件是2x0/2 匚22:(a_b )2.2. 2a b k二，則橢圓(a >b > 0)的左右焦點(diǎn)分別為 F1, F 2,點(diǎn)P為橢

6、圓上任意一點(diǎn).F1PF22a n2孑 b2yS fPF b tan , P( 1 c b tan , tan)F122 c；2 c 2x2 y221 若P為橢圓 2 =1 ( a> b > 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,F1, F 2是焦點(diǎn)，.PF1F2 =:a b任 a Ca PZPF2F- =-,貝Utan cot .a c 222 222 .橢圓'與=1 (a> b > 0 )的焦半徑公式：a b|MF1pa ex0 ,| MF? |=a-ex0( F'-cQ) , F2(c,0) M(x0,y°).2 223.若橢圓篤*篤=1 (a&g

7、t; b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)a b0 v e< 2-1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn) P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng)2 224 . P為橢圓篤每=1 ( a > b > 0 )上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則a b2a -1AF21PA| I PF1匸2a | AR |,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立26. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直27. 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直

8、.x =acos2128. P是橢圓(a> b> 0)上一點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是e2.ly=bs in®1+si n2®2 2 2 229 .設(shè)A,B為橢圓與告二k(k 0,k=1)上兩點(diǎn)，其直線AB與橢圓令召=1相交于P,Q ,則a ba bsin2:,其中AP =BQ.2 2x y30 .在橢圓2=1中，定長(zhǎng)為 2m (ov m< a)的弦中點(diǎn)軌跡方程為a bb2b2x2ttan廠2，當(dāng) y = 0 時(shí)，：二 90".a y2 231.設(shè)S為橢圓冷 2 =1 （a> b >0）的通徑，定長(zhǎng)線段L的兩端點(diǎn)A,B在橢

9、圓上移動(dòng)，記|AB|= I ,a b2aM （x。，y。）是 AB 中點(diǎn)，則當(dāng) I 一 GS 時(shí)，有（X°）maxcIc(c a2 -b2, e )；當(dāng) I S 時(shí)，有2ea(Xo) maxV4b2 ,（x0）mi n =0.2b2 2x y2 22 2232.橢圓 2 =1與直線Ax By 0有公共點(diǎn)的充要條件是 A a B b_C .2 b22 2（x* 糾 1與直線 A x B y C有公共點(diǎn)的充要條件是a2b22By。C）.2x y2 =1 （a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P （異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在b33 .橢圓2 2 2 2A a B b

10、- (Ax0234.設(shè)橢圓 2aPF1F2 中，記.F1PF2a斗si not= a,NPF1F2 = B,NF1F2P=Y，則有sinx2，a2y2二a2b2 (a>b> 0)的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)c.亠 sin aA1和A2的切線，與橢圓上任一點(diǎn)的切線35. 經(jīng)過(guò)橢圓b 相交于 P1 和 P2，則 | PA11 | PA, b2.2 2x y36. 已知橢圓 +=1 (a> b>0) , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a b1 2 二丄丄；(2) |OPf+|OQ|2的最大值為a b2 2 2 2 是經(jīng)過(guò)橢圓b x a y 貝V | AB|2=2a|MN |.2 2 2 2是經(jīng)過(guò)橢圓b x

11、 a y1 1 1=+2 2 , 2 -a b2x y39.設(shè)橢圓 =1 (a>b>0) ,M(m,o)或(o, m)為其對(duì)稱(chēng)軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)b亠|OP| |OQ|37. MN于MN的弦，38. MN則a|MN| |OP2a2一條直線與橢圓相交于P、2 24a b2 2a bQ為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且 OP _ OQ . （1）2b2；(3) S OPQ的最小值是一a 2 .a + b2 2二ab （ a> b > 0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦，若 AB是經(jīng)過(guò)橢圓中心 O且平行2 2-a b （a>b> 0）焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)橢圓中心 0的半弦OP _ MN

12、,P、Q兩點(diǎn)，則直線A1P> A2Q（A1 ,A2為對(duì)稱(chēng)軸上的兩頂點(diǎn)）的交點(diǎn)N在直線I :玄2X =(或mb2 y）上.m40. 設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，貝U MF丄NF.F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP和AQ分別交41. 過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, AA2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M , A2P和A1Q交于點(diǎn)N，貝U MF丄NF.2 27=1，則斜率為k（k豐0）的平行弦的中點(diǎn)必在直線 I : y = kx的共軛直線y = k x上,a b42.設(shè)橢圓方程而且kk二b22ax2C、D為橢圓 &

13、#39;a| PA| -| PB | b2cos2 P 十a(chǎn)2sin2 PCD相交于P且P不在橢圓上，則2222-| PC | '| PD | b cos G +a sin «43.設(shè)b= 1上四點(diǎn),AB、CD所在直線的傾斜角分別為：，直線ab與44.分線為2 2x y45.x2 y2已知橢圓 2 -1 (a> b > 0)，點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F2為橢圓的焦點(diǎn)，.F1PF2的外(內(nèi))角平a bl ,作F1、F2分別垂直I于R、S,當(dāng)P跑遍整個(gè)橢圓時(shí)，R、S= a2(b2y2 (a-ce)(x c)2 (x2 y2 cx)2 = ce(x c)2).設(shè)厶ABC內(nèi)

14、接于橢圓丨，且AB為】的直徑，l為AB的共軛直徑所在的直線，D為EF的中點(diǎn).形成的軌跡方程是I分別交直線AC、BC于E和F,又D為l上一點(diǎn)，貝U CD與橢圓丨相切的充要條件是 2 2x y46. 過(guò)橢圓 2 =1 (a> b> 0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點(diǎn),a b交x軸于P,貝U PF e .I MN I 2弦MN的垂直平分線47.設(shè)A (xi ,yi)是橢圓22才舒1( a> b> 0)上任一點(diǎn)，過(guò)A作一條斜率為b2a2%的直線L,又設(shè)d是原點(diǎn)到直線 L的距離，x2 y248. 已知橢圓2a br),r2分別是A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，貝Urf2ab.a

15、> b> 0)2才X和一2a2乍"(0<2)，一直線順次與它們相交于A、B、C、D 四點(diǎn)，,AB I =|CD I .2 249. 已知橢圓冷爲(wèi)=1a ba2 _b2 于點(diǎn)P(x0,0)，則aa> b> 0)a2 -b2:x° ：,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與 x軸相交2250. 設(shè)P點(diǎn)是橢圓2 '每a b2b2則(1)|PFjPF2|.(2)1 + cos B51 .設(shè)過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn)=1 ( a>b> 0) 上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記.F1PF2 v2 yspf1f2 =b tan

16、.B ( m，o)作直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸的左頂點(diǎn)，連結(jié)a - ma2AP和AQ分別交相應(yīng)于過(guò) B點(diǎn)的直線MN : x = n于M, N兩點(diǎn)，則.MBN =9022 .a + m b (n + a)'.PF1F252.=1 ( a> b> 0)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A且與長(zhǎng)軸垂直的直線， E、F是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，e是離心率，點(diǎn) P L ,若 EPFab,則是銳角且sin :-e或乞arcsine (當(dāng)且僅當(dāng)|PH | 時(shí)取等c號(hào)).53.22x 丄yL是橢圓一2aa> b> 0)的準(zhǔn)線，A、B是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn)，點(diǎn)P L , e是離心率,-EPF二:-,H是L

17、與X軸的交點(diǎn)abc是半焦距，則是銳角且sin-e或-arcsine(當(dāng)且僅當(dāng)| PH |=c時(shí)取等號(hào))2 254. L 是橢圓 7 7 =1 (a ba> b> 0)的準(zhǔn)線，E、F是兩個(gè)焦點(diǎn)，H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn) P L ,EPF =:-，離心率為e,半焦距為22b / 22c,則為銳角且sin-e或- arcsine (當(dāng)且僅當(dāng)| PH卜 a c c時(shí)取等號(hào))2 2x y55.已知橢圓 +=1 ( a> b> 0),直線L通過(guò)其右焦點(diǎn)F2,且與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，將A、Ba b與橢圓左焦點(diǎn)2 人 22F1連結(jié)起來(lái)，則b2 <| RA| | F1B忙(* ；

18、)(當(dāng)且僅當(dāng) AB丄x軸時(shí)右邊不等式取等號(hào),當(dāng)且僅當(dāng)A、56 .設(shè)B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào))2x . yaA、B是橢圓21 ( a > b > 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PA：，.PBA £ , . BPA =,22ab | cosa | e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) | PA| 22-.(2)a -c cos ；222ab,cot .tan 二tan ： =1-e2.(3) S PAB 2b -a2 257設(shè)A、B是橢圓篤爲(wèi)"(a>b> 0)長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn))、外部的兩點(diǎn)，且a b2Xb的橫坐標(biāo)Xa -Xb二a

19、 , (1)若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，則.PBA=/QBA ; (2)B引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，則.PBA QBA=180l2 258 設(shè)A、B是橢圓篤爲(wèi)=1 ( a> b > 0)長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)(異于原點(diǎn))，外部的兩點(diǎn)，a b若過(guò)A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于2 PBA =/QBA，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)Xa、Xb滿(mǎn)足 X x a ； (2)若過(guò)B點(diǎn)引直線與這橢圓相交于2Q兩點(diǎn)，且 PBA . QBA =180',則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足 x x a .'x2 y2''''59設(shè)A, A是橢圓 2 -1的長(zhǎng)軸的兩

20、個(gè)端點(diǎn)，QQ是與AA垂直的弦，則直線 AQ與AQ的交點(diǎn)a b2 y_1 b2 -1.書(shū)二1 ( a >b8ab22(a2 b2)丁R|AB| |CD()a b2xP的軌跡是雙曲線-a2x60 .過(guò)橢圓'a2 261.到橢圓'七a b妹圓(x _a)2 y2 = b2.2 262 到橢圓篤'每a b=1Xa、若過(guò)(1)P、Q兩點(diǎn)，(若B P交橢圓于兩點(diǎn)，貝U P、Q不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng))(a> b> 0)(a> b> 0)跡是姊妹圓(x二a)2 y2 = (b)2.ee2 2X- y 胡(a b(x弓)2 y2e63到橢圓a>b> 0)

21、的軌跡是姊妹圓64 .已知，且P、b > 0 )的左焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條弦 AB、CD則a c兩焦點(diǎn)的距離之比等于-b的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于的兩準(zhǔn)線和x=(¥)2 (e為離心率)e2X yP是橢圓亍=1 ( a > b > 0)a b(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn) M的軌跡是姊a -cb軸的交點(diǎn)的距離之比為(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn) M的軌-c (c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)b上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A, A是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且2 . 2 2x b yAQ AP, AQ - AP，則Q點(diǎn)的軌跡方程是 4a a65.橢圓的一條直徑(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)的比

22、例中項(xiàng)2 2 266.設(shè)橢圓 篤匕 =1 ( a> b > 0)長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為 代A,P(X1,y1)是橢圓上的點(diǎn)過(guò) P作斜率為一1的 a ba y1直線I，過(guò)A, A'分別作垂直于長(zhǎng)軸的直線交 I于M , M ',則(1) |AM | AM | = b2. (2)四邊形MAAM面積的最小值是2ab.x2 y2、已知橢圓 2 =1 ( a> b>0)的右準(zhǔn)線I與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相a bB兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線I上，且BC_x軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).OA、OB 是橢圓(X：)a2ab2線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) (267.交于A、6

23、8.2y2-1 ( a> 0,b> 0)的兩條互相垂直的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則(1)直ba2 +b2 '0) .(2)以O(shè) A、OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)Q的軌跡方程是/ ab、2 1 2 / a6、2 / c、 (xp 2) y 二匕 2) (x").a ba b(x _a)269. P(m, n)是橢圓 宀a2 2 22ab m(a -b )2y_.1b2 1,2(a>b>0) 上一個(gè)定點(diǎn)，P A、P B是互相垂直的弦，則(1)直線AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(a2 b22 2也0魯).(刀以p A、p B為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)q的軌跡方程是2 2 2/

24、ab +a m、2 丄/b n 、2(x 22 ) (y 22)a +ba +b70. 如果一個(gè)橢圓短半軸長(zhǎng)為24222= ab且 y”.2 2 2(a b )b,焦點(diǎn)F2到直線L的距離分別為d2，那么(1) djd2 =b2，且F1、F 2在L同側(cè)=直線L和橢圓相切.(2) d1d2 b2，且F1、F2在L同側(cè)=直線L和橢圓相離，(3) d1d2 : b2，或F1、F2在L異側(cè)二 直線L和橢圓相交.2 271. AB是橢圓 務(wù)爲(wèi)=1 (a> b>0)的長(zhǎng)軸，N是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) N的切線與過(guò)A、B的切線交a b于C、D兩點(diǎn)，則梯形ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn)2 2 P(x0, y

25、76;)為橢圓務(wù) =1a b任一弦，當(dāng)弦 AB22 , 2 2 2 2、a b -(ay。 b x° )72 .設(shè)點(diǎn)P(xo,yo)的(|PA| | PB |)max(| PA| |PB|)minb2a2b2 -(a2y。2 b2x。2)M的軌跡方程是 x2 4a2y2 = 1(y廠0).2 2 x y a > b > 0)的內(nèi)部一定點(diǎn)，AB是橢圓 a行(或重合)于橢圓長(zhǎng)軸所b2在二1過(guò)定點(diǎn)直線時(shí).當(dāng)弦 AB 垂直于長(zhǎng)軸所在73.74.75.76.77.b2橢圓焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切 橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端

26、點(diǎn)橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c與a-c.橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a-c.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn)78. 橢圓焦三角形中79. 橢圓焦三角形中80 橢圓焦三角形中離成比例81 橢圓焦三角形中段成比例.,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng),橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距,半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線82

27、.橢圓焦三角形中 徑所在直線平行,過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長(zhǎng)半,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓83. 橢圓焦三角形中，過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線 軸的長(zhǎng)84. 橢圓焦三角形中，過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線和橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的切點(diǎn)85.橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86. 橢圓焦三角形中87. 橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線 ,非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線88.橢圓焦三角形中,過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處

28、的切線相交,則以?xún)山稽c(diǎn)為直徑的圓必過(guò)兩焦占八、八、89.已知橢圓22xy22=1(a0, b 0)(包括圓在內(nèi))上有ab點(diǎn)P ,過(guò)點(diǎn)P分別作直線y二一 x及aK y - x的平行線，與直線 0P分別交于R,Q,0為原點(diǎn)，則：.a(1) |OM |2 |ON |2二a2 ； (2) |OQ|2 |OR|2=b2.90.過(guò)平面上的P點(diǎn)作直線h:y= x及l(fā)2:y = -x的平行線，分別交x軸于M,N，交y軸于R,Q . aa2 2(1) 若 |OM | 2 |O | 2a=2，則 P 的軌跡方程是 篤 爲(wèi)=1(a 0,b 0) .(2)若 |OQ |2 - |OR|2二 b2，則 Pa b2 2的

29、軌跡方程是 篤與=1(a 0,b 0).a b2 2x y91 .點(diǎn)P為橢圓2 =1(a 0,b 0)(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò) P引x軸、y軸a bK的平行線，交y軸、x軸于M,N，交直線y - x于Q,R，記 OMQ與 ONR的面積為S,S2，則：aS1 S2ab92 .點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)， 過(guò)P引x軸、y軸的平行線，交y軸、x軸于M,N ,交直線y二一衛(wèi)x于a abQ, R ,記 OMQ 與 ONR的面積為S,S2 ,已知S2,貝U P的軌跡方程是22 22=1(a 0, b 0).a b雙曲線1. |PF1|PF2|=2a222. 標(biāo)準(zhǔn)方程：22=1|PFi|a2 b

30、23. e 1 d14. 點(diǎn)P處的切線PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角5. PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去 長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)6. 以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交 7. 以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切&設(shè)A1、A2為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，則PF1F2在邊PF2 (或PF1)上的旁切圓，必與 A1A2所在的直線切于A2 (或A1).x2y2Pi、9.雙曲線 2 =1 (a> 0,b>0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 Ad-aQ) ,A2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于a b22x y + =12

31、. 2a b210. 若P°(X0,y。)在雙曲線 勺-爲(wèi)二1 ( a>0,b>0) 上，則過(guò)P。的雙曲線的切線方程是 答 辦a ba2 2x y11. 若P0(X0,y°)在雙曲線 2 =1 (a>0,b>0)夕卜，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為a bP2時(shí)AiPi與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是x2b2Pi、=1.P2,則切點(diǎn)弦PiP2的直線方程是x°xy° y12. AB是雙曲線2 x 2 a2a2y-=1 b2 1b2 =1(a> 0,b > 0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦,M為AB的中點(diǎn)，則kOM kAB -b

32、2 . a13 .若2xPo(y°)在雙曲線a(a > 0,b > 0 )內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是x°x y° ya2b2b22x14 .若P°( x°, y°)在雙曲線a(a > 0,b > 0 )內(nèi)，則過(guò)Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是y2x)xy°yb2b215 .PQ是雙(b > a > 0 ) 上對(duì)中心張直角的弦，則12r11-2(r1a b2x16.若雙曲線一2 -aAr2=|OP|j2 =|OQ|).21- =1 (b> a >0)上中心張直角的弦 L所在直線方

33、程為 Ax B 1 (AB = 0),則(1) b1 A2 d2,2.a4A2 b4B2廠 AB ;(2) L 二b|a2A-b2B2 |2,22222222222a 十 b217. 給定雙曲線 C1: b x -a y 二a b ( a>b>0) , C2: bx-ay=( 22 ab),則(i)對(duì) G上任a -ba2+b2a2 +b2意給定的點(diǎn)Po(xo,yo),它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò)C2上一定點(diǎn)M(r 2xo,22yo).a -b a -b(ii)對(duì)C2上任一點(diǎn)P'o(Xo',y。')在G上存在唯一的點(diǎn) M',使得M'的任一直角弦都經(jīng)過(guò)

34、P)'點(diǎn).2 2x yP0P1, P0P2 斜率18. 設(shè)Po(x。，yo)為雙曲線 2 =1 ( a>0,b>0) 上一點(diǎn)，P1P2為曲線C的動(dòng)弦，且弦b2 . aa b存在，記為k1, k 2,則直線P1P2通過(guò)定點(diǎn)M (mxo, -my。)(m =1)的充要條件是 心h二匚上1 - m2 219.過(guò)雙曲線 篤-再=1 (a>0,b>o)上任一點(diǎn)A(xo,y°)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于B,Ca b兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC2a yob xo (常數(shù)).2 2x y20.雙曲線一27=1a b(a> 0,b > 0)的左右

35、焦點(diǎn)分別為Fi, F 2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn) / F-iPF ,則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S氐PF? =b2cot?,卩(牛*2+怡門(mén)冷三血？).221.若P為雙曲線 2 =1( a> 0,b> 0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn)i, F 2是焦點(diǎn)，卩卩店2=，a bc a-PF2F1 =:，貝ytan cot(或x2c a22x y22. 雙曲線一22=1a b當(dāng)M (xo, yo)在右支上時(shí)，當(dāng)M(xo,y。)在左支上時(shí)，2 2 =tancot蘭).22 c a 22(a> 0,b> 0)的焦半徑公式：(F-gO) , F2(c,0)| MFi = exo

36、a , | MF2 |二 exo - a.| MFi = -exj * a , MF2 = ex° - a .23. 若雙曲線y_ =1 (a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)a2 b21 v e< .2 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離d與PF2的比例中項(xiàng).2 224 . P為雙曲線 篤 y2 =1 ( a > 0,b > 0 )上任一點(diǎn),F1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則a2 b2 AF2 -2a < PA PF1 ，當(dāng)且僅當(dāng)A,F2, P三點(diǎn)共線且P和代F?在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.2

37、2x y.25 .雙 曲線 2=1 ( a > o,b > 0)上存在兩 點(diǎn)關(guān)于直線I : y = k(x - Xo)對(duì)稱(chēng)的充要條 件是a bx2 (a b )0 ' 2 , 2 a -b k26. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線 必與切線垂直.27. 過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂x =asec28 . P是雙曲線(a> 0 , b > 0)上一點(diǎn)，則點(diǎn) P對(duì)雙曲線兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是y =bta n®e211-tan22 2 2 2x

38、yxy29.設(shè)A,B為雙曲線一22=k (a>0,b>0, k0,k=1 )上兩點(diǎn)，其直線AB與雙曲線一22=1abab相交于P,Q ,則AP二BQ.30 .在雙曲線中，定長(zhǎng)為 2m ( m)2 221-(篤弓)0)的弦中點(diǎn)軌跡方程為m廠2% ,其中COS a sin a.2 2,b x ttan牙萬(wàn)，當(dāng)a y-90 .31 設(shè)S為雙曲線2 2x y2 牙=1( a> 0,b > o )的通徑,a b定長(zhǎng)線段L的兩端點(diǎn)A,B在雙曲線上移動(dòng)，記|AB|= I ,M (Xo, yo)是AB中點(diǎn)，則當(dāng)I _ GS時(shí)，有(X。)2aI222 cmin(ca b , e );當(dāng)

39、I "S 時(shí)，有c2eaa 2(x0 )min4b I .2b2232.雙曲線 篤-當(dāng)=1( a>0,b > 0)與直線Ax By0有公共點(diǎn)的充要條件是A2a2 - B2b2乞C2.a b(x -x°)20, (yy0)233 .雙曲線 一尹昇 1 ( a > 0,b > 0)與直線 Ax B C=0有公共點(diǎn)的充要條件是abA2a2 _B2b2 蘭(Ax0 +By0 +C)2.22x y34.設(shè)雙曲線 2 =1 (a> 0,b > 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意一點(diǎn)，a bsin 二在厶 PF1F2中，記

40、 F1PF , , PF1FF1F2 '，則有e.土(sin f -sin P) a2 235. 經(jīng)過(guò)雙曲線 2 2 -1 (a>0,b>0)的實(shí)軸的兩端點(diǎn) A1和A2的切線，與雙曲線上任一點(diǎn)的切線a b相交于 P1 和 P2,則 | PA11 | PA, b2.2236. 已知雙曲線與-1a b1 1 1 12= T _ ； (2)|OP |2 |OQ |2 a2 b22x37. MN是經(jīng)過(guò)雙曲線-a(b> a > 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且 OP丄OQ . (1)4a2b2a2b2|OPf+|OQ|2的最小值為 一$ ;(3) S op

41、q的最小值是 .b -ab -a2每=1 (a> 0,b> 0)過(guò)焦點(diǎn)的任一弦(交于兩支)，若AB是經(jīng)過(guò)雙曲線中心 b2O且平行于MN的弦，則|AB| =2a|MN |.22x y38 . MN是經(jīng)過(guò)雙曲線 2=1 ( a> b > 0)焦點(diǎn)的任一弦(交于同支)，若過(guò)雙曲線中心 O的半弦a b2 1 1 1OP _MN ，貝U22 廠a|MN | |OP | a bx239.設(shè)雙曲線-a七=1 (a> 0,b >0) ,M(m,o)為實(shí)軸所在直線上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò)M弓I一b2條直線與雙曲線相交于 P、Q兩點(diǎn)，則直線 Ap A2Q(A1 ,A2為兩頂

42、點(diǎn))的交點(diǎn)N在直線I :上.m40.設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，貝U MF丄NF.41.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P和A2Q交于點(diǎn)M , A2P和A1Q交于點(diǎn)N，貝U MF丄NF.2 2x y22二1,則斜率為k(k工0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線 I : y=kx的共軛直線y=kxa b42.設(shè)雙曲線方程上，而且kk =5.a2 2x y43.設(shè)A、B、C、D為雙曲線一22a b=1 (a> 0,b> o)上四點(diǎn),A

43、B、CD所在直線的傾斜角分別為 ：，：，直線AB與CD相交于P且P不在雙曲線上b2cos2 ： -a2sin2 -.2 2 2 2b cos -a sin :x2y244.已知雙曲線 2 -1 (a> 0,b >0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)F1, F 2為雙曲線的焦點(diǎn)， RPF?的外(內(nèi))a b角平分線為I，作F1、F2分別垂直I于R、S,當(dāng)P跑遍整個(gè)雙曲線時(shí)，R、S形成的軌跡方程是22 r/r/2 丄 2、22 丄r 42 />.,.322 .2y a (a b(x -c)(ab )x -b c a c (x -c)y(ab c y ).l為AB的共軛直徑所在的直線，l分別 D為E

44、F的中點(diǎn).2x45 設(shè) ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線 】上，且AB為丨的直徑， 交直線AC、BC于E和F，又D為I上一點(diǎn)，則CD與雙曲線:相切的充要條件是2x46.過(guò)雙曲線a直平分線交x軸于P,47.設(shè) A (xi ,yi)2-y2 =1 (a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于b 則空Ue.|MN |22 2是雙曲線y -1 (a> 0,b> 0) 上任一點(diǎn)，過(guò) A作一條斜率為a bM,N兩點(diǎn)，弦MN的垂攀的直線L,又a *設(shè)d是原點(diǎn)到直線 L的距離，1衛(wèi)分別是A到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離，則.rr2d二ab.x2y2x248. 已知雙曲線 2=1 (a>0,

45、b>0)和一2abaB、C、D 四點(diǎn)，則 |AB I =|CD I .2249. 已知雙曲線一2 y = 1a2 b22,2十-a +b于點(diǎn) P(x0,0),則 X?；?x0 < -2楚二' (0 ：，： 1 ), 一條直線順次與它們相交于b(a>0,b > 0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與 x軸相交a2 b22 VS.PF1F2 =b cotB ( m,o)作直線與雙曲線相交于P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線實(shí)軸的左頂點(diǎn)，相應(yīng)于過(guò) B點(diǎn)的直線 MN : X = n于 M , N 兩點(diǎn)，則2aMBN =90丄a +m52. L是經(jīng)過(guò)雙曲線aa22x

46、y50. 設(shè)P點(diǎn)是雙曲線 F =1 (a> 0,b> 0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)F2為其焦點(diǎn)記 F1PF2二a bb2則(1)|PFjPF2|.(2)1 - cos 廿51 .設(shè)過(guò)雙曲線的實(shí)軸上一點(diǎn)連結(jié) AP和 AQ 分別交2 2 b (n a)2 2x y2 =1 (a> 0,b >0)焦點(diǎn)F且與實(shí)軸垂直的直線，A、B是雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)a b11ab焦點(diǎn)，e是離心率，點(diǎn)P L,若一 EPF -，則是銳角且sin 或空arcs in (當(dāng)且僅當(dāng)| PH |=一eec時(shí)取等號(hào))2 253. L是經(jīng)過(guò)雙曲線 篤-當(dāng)=1 (a> 0,b > 0)的實(shí)軸頂點(diǎn) A

47、且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線的準(zhǔn)a b1 線與x軸交點(diǎn)，點(diǎn)P L ,e是離心率，.EPF =，H是L與X軸的交點(diǎn)c是半焦距，則是銳角且sin :- <-e1ab或_ arc sin(當(dāng)且僅當(dāng)| PA|時(shí)取等號(hào)).ec2 254. L是雙曲線 冷-占=1(a>0,b> 0)焦點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線，E、F是雙曲線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)，a b1H是L與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P二L , /EPF二:-,離心率為e,半焦距為c,則為銳角且sin 2或e1b / 22:< arc sin 2 (當(dāng)且僅當(dāng)I PR |a c時(shí)取等號(hào))ec55.已知雙曲線2爲(wèi)=1 (a>0,b>

48、0),直線L通過(guò)其右焦點(diǎn)b2將A、B與雙曲線左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，貝V | F1A| | F1B|_(2a2 b2)22a2x56 .設(shè)A、B是雙曲線一2 -ab2=1 (a> 0,b > 0 )的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn),F2,且與雙曲線右支交于 A、B兩點(diǎn)，(當(dāng)且僅當(dāng)AB丄x軸時(shí)取等號(hào)).P是雙曲線上的一點(diǎn)，.PAB =， PBA = 1： , . BPA ,c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有|PA |=22ab |cos： | a - c cos |.(2)tan ： tan ： = 1 -e2 .(3)AB2a2b2b2 a2cot .2 257. 設(shè)A、B是雙曲線 篤-占=1 (a&

49、gt;0,b>0)實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點(diǎn)的區(qū)域)、外部a b2的兩點(diǎn)，且Xa、Xb的橫坐標(biāo)Xa Xb =a , (1)若過(guò) A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，則./PBA = QBA ； (2)若過(guò)B引直線與雙曲線這一支相交于 P、Q兩點(diǎn)，則乙PBA EQBA = 180、.2 258. 設(shè)A、B是雙曲線 篤-每=1 (a>0,b>0)實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)(含焦點(diǎn)的區(qū)域)，外部a b的兩點(diǎn)，(1)若過(guò)A點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，(若BP交雙曲線這一支于兩點(diǎn)，則P、Q2不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng))，且 PBA二 QBA，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)xA、xB滿(mǎn)

50、足xA，xB二a ； (2)若過(guò)B點(diǎn)引直 線與雙曲線這一支相交于 P、Q兩點(diǎn)，且.PBA . QBA =180：,則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足Xa x a2.2 2'x y''''59. 設(shè)A, A是雙曲線 2 =1的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)， QQ是與AA垂直的弦，則直線 AQ與AQ的交a b2 2點(diǎn)P的軌跡是雙曲線篤7=1.2 260 .過(guò)雙曲線嶺=1a ba2 b2(a > 0,b > 0 )的右焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條弦AB、CD,則<|AB | - |CD |.8ab2 2,2.|a -b |2 2x yc - a61.到雙曲線 亍=1 (a&

51、gt; 0,b> 0)兩焦點(diǎn)的距離之比等于(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn) M的軌跡是a bb姊妹圓(x 二 ec)2 y2 = (eb)2 22x yc 一 a62.到雙曲線 一2牙=1 (a> 0,b> 0)的實(shí)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于-a bb軌跡是姊妹圓(x _a)2 y2二b2.2 2冷一爲(wèi)=1 (a>0,b >0)的兩準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)的距離之比為a b(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)M的63.到雙曲線C - (c為半焦距)的動(dòng) b點(diǎn)的軌跡是姊妹圓64 .已知P22 b 2(x 二a) y =( )(e為離心率)e2 2x y'是雙曲線2 =1 ( a> 0,b > 0 )上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A, A是它實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且a b2 ,2 2x b yAQ _ AP , AQ _ AP，則Q點(diǎn)的軌跡方程是 卜=1 a a65.雙曲線的一條直徑(過(guò)中心的弦)的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和實(shí)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng)2 2 266設(shè)雙曲線 芻-爲(wèi)=1( a> 0,b> 0)實(shí)軸的端點(diǎn)為 A, A', P(x,yJ是雙曲線上的點(diǎn)過(guò) P作斜率為 學(xué)a ba y1的直線l，過(guò)A, A分別作垂直于實(shí)軸的直線交I于M , M，則(1) | AM