“問題解決”中的“問題提出”

1、“問題解決”中的“問題提出”“問題解決” (Problem Solving) 是近年來國際教育界發(fā)展起來的一種教學(xué)方法和教育思想。這個口號的提出，始于 1980 年的美國， 至今一直被人們廣泛接受， 成為數(shù)學(xué)教育的中心課題。“問題解決”要求教師為學(xué)生創(chuàng)造具體環(huán)境，啟發(fā)和激發(fā)學(xué)生獨(dú)立提出探索性及求證性問題，形成多向思維的意識，尋找在不同的條件下的多種解決問題的途徑，探索可能出現(xiàn)的多種答案。因此， “問題解決”是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的重要教學(xué)方法和教育思想。隨著對“問題解決”，研究的深入，人們也越來越重視“問題提出” (Problem Posing)的研究，并將其和“問題解決”教學(xué)一樣視為

2、數(shù)學(xué)教育活動的重要組成部分。一、“問題提出”與“問題解決”在分析數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)等領(lǐng)域曾作出過重要貢獻(xiàn)的美籍匈牙利數(shù)學(xué)家 G?波利亞，以數(shù)十年的時間潛心研究數(shù)學(xué)啟發(fā)法和數(shù)學(xué)教學(xué)，在其具有代表性的“怎樣解題”表中，用啟發(fā)讀者找到解題途徑的一連串問句與建議來表示思維過程的正確搜索程序，其解題核心在于不斷地變換問題，連續(xù)簡化問題，把數(shù)學(xué)解題過程看成是數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化過程，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為最熟悉的基本問題加以解決。這一過程具體分為四個階段，即弄清問題，擬定計(jì)劃，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧。由此可以看出，數(shù)學(xué)問題的解決總是從弄清問題并提出問題開始。愛因斯坦也認(rèn)為： “提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因?yàn)榻鉀Q問題也

3、許僅僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看待舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！笨梢?，“問題提出”與“問題解決”之間存在著相互制約、相互依賴的辯證關(guān)系，有時甚至“問題提出”更為重要、更具創(chuàng)新成分。它不但包含在問題解決過程中，還強(qiáng)調(diào)在問題解決后。這正是基于對問題解決的目的是探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造”的認(rèn)識。認(rèn)知心理學(xué)從信息加工觀點(diǎn)出發(fā)，將問題解決過程看作是對問題空間 (Problem Space)的搜索過程。所謂問題空間是問題解決者對一個問題所達(dá)到的全部認(rèn)識狀態(tài)， “問題提出”即是對問題空間搜索的具體表現(xiàn)形式。二、影響“問題提出”的因素影響

4、“問題提出”的因素很多，其中最為突出的、也是常被忽視的因素是“元認(rèn)知”(Meta Cognition) 和“觀念”(Belief) 。所謂元認(rèn)知即認(rèn)知的認(rèn)知?！皢栴}解”活動中的元認(rèn)知是指問題解決者對于自身所從事的數(shù)學(xué)活動的自我意識、自我分析和自我調(diào)整。由于“問題解決”所涉及的數(shù)學(xué)問題主要是其答案并非直截了當(dāng)?shù)摹胺浅Ｒ?guī)問題”，因而“問題解決”的過程是一個逐步探索、 不斷進(jìn)行 “問題提出” 的過程。對于元認(rèn)知水平較低的問題解決者，往往不能恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行“問題提出” ，只是“一股勁地往前走” ，直至最終陷入僵局而一無所措。相反，元認(rèn)知水平較高的問題解決者，能恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行“問題提出” ，并在解決了問題之后，

5、能自覺地對所進(jìn)行的工作繼續(xù)進(jìn)行“問題提出”，使已有的認(rèn)識得到升華。所謂“觀念” ，是指問題解決者的數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育觀及其對于自我解題能力的認(rèn)識和信念等。而教師的職責(zé)是“給予”，學(xué)生的職責(zé)是“接受”；教師給出的每個問題都是可解的，我解不出是因?yàn)椴粔蚵斆鞯炔徽_的觀念，將嚴(yán)重影響問題解決者自覺地進(jìn)行“問題提出”，出現(xiàn)類似“船長年齡”問題的錯誤也就不足為奇了。三、“問題提出”的環(huán)節(jié)控制1、弄清問題“問題提出”的起始階段是問題解決者要將任務(wù)領(lǐng)域轉(zhuǎn)化為問題空間，實(shí)現(xiàn)對問題的表征和理解，問題空間不是作為現(xiàn)成的東西隨著問題而直接提供給問題解決者的，而是通過問題解決者的“問題提出”主動地建構(gòu)，諸如：問題的數(shù)學(xué)

6、模型怎樣構(gòu)造?未知數(shù)是什么 ?已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么?滿足條件是否可能?條件與結(jié)論之間關(guān)系怎樣?原問題是否有其它表述 ?原問題的更一般的問題或更特殊的問題怎樣?等等，以達(dá)到對問題的適宜的表征。下面讓我們來看一個具體的例子：飲食和體重的問題。飲食對體重有怎樣的影響呢?某人某天從食物中獲取10500J 熱量，其中 5040J 用于基礎(chǔ)代謝。 他每天的活動強(qiáng)度，相當(dāng)于每千克體重消耗672J。此外，余下的熱量均以脂肪的形式儲存起來，每 42000J 可轉(zhuǎn)化為 1 公斤脂肪。 問：這個人的體重是怎樣隨時間變化的，會達(dá)到平衡嗎?該問題源于實(shí)際，貼近生活，引發(fā)了學(xué)生的極大興趣。教師啟迪學(xué)生在問題中找條件

7、、已知數(shù)據(jù)， 該怎樣設(shè)立變量?怎樣探討變量之間依賴關(guān)系從而找到問題中所隱含的數(shù)學(xué)科學(xué)知識，為學(xué)生如何建立一個數(shù)學(xué)模型提供了一個具體情境。2、擬定計(jì)劃問題解決的過程并非是一個按照事先確定的順序機(jī)械地予以實(shí)行的過程。隨著問題解決活動的深入，新的關(guān)系的暴露，已有的想法很可能會發(fā)生改變， 并產(chǎn)生一些新的想法，原先被認(rèn)為很有希望的途徑可能被揭示為沒有前途的“死胡同”，此時必須作出評估、調(diào)整，重新進(jìn)行“問題提出” ，如：目前所面臨的困境是什么 ?是否真正弄清了題意 ?在已進(jìn)行的工作中是否存在隱蔽的錯誤 ?等等，切莫“心中有數(shù)” ，只是“一股勁地往前走” ，要經(jīng)常自問“ what?why?How7 ”如在上

8、例中，我們收集信息，讓學(xué)生回想舊知識，一步步深入問題核心，首要的是確定解題的步驟。解決本問題的關(guān)鍵，是要建立起合適的微分方程，而建立實(shí)際問題的微分方程學(xué)生普遍感到困難。面對實(shí)際問題，不知如何下手。既不明白什么是變量，更不清楚變量之間的依賴關(guān)系。如上例中， 學(xué)生應(yīng)該首先要抓住體重W 是時間 t 的連續(xù)函數(shù)，題中沒有直接提到它的變化率，所涉及的時間也僅僅是“每天”。因此，只能先從 t=1 天的意義上著手分析體重的變化量。要使學(xué)生分析出這些，必須要先理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和平均變化率的實(shí)際意義和關(guān)系。在上面的解題中，學(xué)生的解題思路不會一步到位，他們會經(jīng)過多次反復(fù)的思考，才會尋找出最好的途徑。在這一過程中，教

9、師要經(jīng)常鼓勵學(xué)生提問題，提問題，再提問題，創(chuàng)造一個解題的、輕松的、無壓力的氣氛。3、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃再回顧問題解決后應(yīng)對所完成的工作自覺地進(jìn)行反省回顧，做到“求取解答并繼續(xù)前進(jìn)” 。而不只是滿足于用某種方法求得了問題的解答，不再進(jìn)行進(jìn)一步的思考和研究，甚至不能對所獲得的結(jié)果的正確性、完整性作出必要的檢驗(yàn)或證明，需繼續(xù) “問題提出” ，如：這種方法正確嗎 ?有沒有其他方法 ? 這種方法能否用于解決其它問題 ?有何經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn) ?等等。在上例中，回顧問題讓學(xué)生進(jìn)一步理解了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的意義，它們與微分方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，也使學(xué)生知道了微分方程是解決用函數(shù)關(guān)系式表示客觀事物發(fā)展變化規(guī)律問題的重要工具，幫助學(xué)生養(yǎng)成分析問題的習(xí)慣?！皢栴}解決”作為一種教學(xué)形式才剛剛起步，而通過課堂提問設(shè)置問題情境，是我國課堂教學(xué)的一個薄弱環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)“問題提出”在“問題解決”中的重要