采用極坐標求解彈性力學平面問題基本問題

1、 采用極坐標求解彈性力學平面問題基本問題一、內(nèi)容介紹在彈性力學問題的處理時，坐標系的選擇從本質(zhì)上講并不影響問題的求解，但是坐標的選取直接影響邊界條件的描述形式，從而關(guān)系到問題求解的難易程度。對于圓形，楔形，扇形等工程構(gòu)件，采用極坐標系統(tǒng)求解將比直角坐標系統(tǒng)要方便的多。本章的任務(wù)就是推導極坐標表示的彈性力學平面問題基本方程，并且求解一些典型問題。二、重點1、基本未知量和基本方程的極坐標形式；2、雙調(diào)和方程的極坐標形式；3、軸對稱應(yīng)力與厚壁圓筒應(yīng)力；4、曲梁純彎曲、楔形體和圓孔等典型問題1 平面問題極坐標解的基本方程學習思路:選取極坐標系處理彈性力學平面問題，首先必須將彈性力學的基本方程以及邊界條

2、件通過極坐標形式描述和表達。本節(jié)的主要工作是介紹基本物理量，包括位移、應(yīng)力和應(yīng)變的極坐標形式；并且將基本方程，包括平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為極坐標形式。由于仍然采用應(yīng)力解法，因此應(yīng)力函數(shù)的極坐標表達是必要的。應(yīng)該注意的是坐標系的選取與問題求解性質(zhì)無關(guān)，因此彈性力學直角坐標解的基本概念仍然適用于極坐標。學習要點：1、極坐標下的應(yīng)力分量；2、極坐標平衡微分方程；3、極坐標下的應(yīng)變分量；4、幾何方程的極坐標表達；5、本構(gòu)方程的極坐標表達；6、極坐標系的Laplace算符；7、應(yīng)力函數(shù)。1、極坐標下的應(yīng)力分量為了表明極坐標系統(tǒng)中的應(yīng)力分量，從考察的平面物體中分割出微分單元體ABCD，其由兩

3、個相距dr 的圓柱面和互成 dj 的兩個徑向面構(gòu)成，如圖所示在極坐標系中，用sr 表示徑向正應(yīng)力，用sj 表示環(huán)向正應(yīng)力,tjr 和trj 分別表示圓柱面和徑向面的切應(yīng)力，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，tjr trj 。首先推導平衡微分方程的極坐標形式?？紤]到應(yīng)力分量是隨位置的變化，如果假設(shè)AB面上的應(yīng)力分量為sr 和tjr,則CD面上的應(yīng)力分量為如果AD面上的應(yīng)力分量為sj 和trj ，則BC面上的應(yīng)力分量為。同時，體力分量在極坐標徑向r 和環(huán)向 j 方向的分量分別為Fbrj 和Fbj 。2、極坐標平衡微分方程設(shè)單元體的厚度為1，如圖所示考察其平衡首先討論徑向的平衡，注意到 ，可以得到簡化上式，并且略

4、去三階微量，則同理，考慮微分單元體切向平衡，可得簡化上式，可以得到極坐標系下的平衡微分方程，即3、極坐標下的應(yīng)變分量以下推導極坐標系統(tǒng)的幾何方程。在極坐標系中，位移分量為ur，uj ，分別為徑向位移和環(huán)向位移。極坐標對應(yīng)的應(yīng)變分量為：徑向線應(yīng)變er，即徑向微分線段的正應(yīng)變；環(huán)向線應(yīng)變ej 為環(huán)向微分線段的正應(yīng)變；切應(yīng)變grj為徑向和環(huán)向微分線段之間的直角改變量。首先討論線應(yīng)變與位移分量的關(guān)系，分別考慮徑向位移環(huán)向位移ur，uj 所引起的應(yīng)變。如果只有徑向位移ur，如圖所示借助于與直角坐標同樣的推導，可以得到徑向微分線段AD的線應(yīng)變?yōu)?；環(huán)向微分線段AB=r dj 的相對伸長為 ；如果只有環(huán)向位

5、移uj 時，徑向微分線段線沒有變形，如圖所示環(huán)向微分線段的相對伸長為 ；將上述結(jié)果相加，可以得到正應(yīng)變分量, 4、幾何方程的極坐標表達下面考察切應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。設(shè)微分單元體ABCD在變形后變?yōu)锳'B'C'D'，如圖所示因此切應(yīng)變?yōu)間rj =h + (b - a) 上式中h 表示環(huán)向微分線段AB向 r 方向轉(zhuǎn)過的角度，即 ；b 表示徑向微分線段AD向j 方向轉(zhuǎn)過的角度，因此 ；而 a 角應(yīng)等于A點的環(huán)向位移除以該點的徑向坐標r，即 。將上述結(jié)果回代，則一點的切應(yīng)變?yōu)?。綜上所述，可以得到極坐標系的幾何方程為 5、本構(gòu)方程的極坐標表達由于討論的物體是

6、各向同性材料的，因此極坐標系的本構(gòu)方程與直角坐標的表達形式是相同的，只要將其中的坐標 x 和 y 換成 r 和j 就可以了。對于平面應(yīng)力問題，有對于平面應(yīng)變問題，只要將上述公式中的彈性常數(shù)E，n 分別換為， 就可以。6、極坐標系的Laplace算符平面問題以應(yīng)力分量形式表達的變形協(xié)調(diào)方程在直角坐標系中為 。由于s x+s y= s r+s j 為應(yīng)力不變量，因此對于極坐標問題，僅需要將直角坐標中的Laplace算符 轉(zhuǎn)換為極坐標的形式。因為，x=r cosj， y=r sinj ，即 。將r 和j 和分別對x和y求偏導數(shù)，可得根據(jù)上述關(guān)系式，可得以下運算符號則將以上兩式相加，簡化可以得到極坐標

7、系的Laplace算符。另外，注意到應(yīng)力不變量 ，因此在極坐標系下，平面問題的由應(yīng)力表達的變形協(xié)調(diào)方程變換為 7、應(yīng)力函數(shù)如果彈性體體力為零，則可以采用應(yīng)力函數(shù)解法求解。不難證明下列應(yīng)力表達式是滿足平衡微分方程的這里 (r，j)是極坐標形式的應(yīng)力函數(shù)，假設(shè)其具有連續(xù)到四階的偏導數(shù)。將上述應(yīng)力分量表達式代入變形協(xié)調(diào)方程，可得 顯然這是極坐標形式的雙調(diào)和方程?？偠灾?，用極坐標解彈性力學的平面問題，與直角坐標求解一樣，都歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。在應(yīng)力函數(shù)解出后，可以應(yīng)用應(yīng)力分量表達式求解應(yīng)力，然后通過物理方程和幾何方程求解應(yīng)變分量和位移分量。§7.2 軸對稱問題的應(yīng)力和相

8、應(yīng)的位移學習思路:如果彈性體的結(jié)構(gòu)幾何形狀、材料性質(zhì)和邊界條件等均對稱于某一個軸時，稱為軸對稱結(jié)構(gòu)。軸對稱結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分量與j 無關(guān)，稱為軸對稱應(yīng)力。如果位移也與j 無關(guān)，稱為軸對稱位移問題。本節(jié)首先根據(jù)應(yīng)力分量與j 無關(guān)的條件，推導軸對稱應(yīng)力表達式。這個公式有3個待定系數(shù)，僅僅根據(jù)軸對稱應(yīng)力問題的邊界條件是不能確定的。因此討論軸對稱位移，根據(jù)胡克定理的前兩式，得到環(huán)向位移和徑向位移公式，然后代入胡克定理第三式，確定待定函數(shù)。軸對稱問題的實質(zhì)是一維問題，因此對于軸對稱問題，均可以得到相應(yīng)的解答。應(yīng)該注意的問題是如何確定軸對稱問題。學習要點：1、軸對稱應(yīng)力分量；2、軸對稱位移；3、軸對稱位移函數(shù)推

9、導；4、軸對稱位移和應(yīng)力表達式。1、軸對稱應(yīng)力分量考察彈性體的應(yīng)力與j 無關(guān)的特殊情況，如圖所示。即應(yīng)力函數(shù)僅為坐標r 的函數(shù)。這樣，變形協(xié)調(diào)方程即雙調(diào)和方程成為常微分方程如將上式展開并在等號兩邊乘以r4，可得這是歐拉方程，對于這類方程，只要引入變換r =et，則方程可以變換為常系數(shù)的微分方程，有其通解為注意到 t = ln r，則方程的通解為將上式代入應(yīng)力表達式則軸對稱應(yīng)力分量為上述公式表達的應(yīng)力分量是關(guān)于坐標原點對稱分布的，因此稱為軸對稱應(yīng)力。2、軸對稱位移現(xiàn)在考察與軸對稱應(yīng)力相對應(yīng)的變形和位移。對于平面應(yīng)力問題，將應(yīng)力分量代入物理方程可得應(yīng)變分量根據(jù)上述公式可見，應(yīng)變分量也是軸對稱的。將

10、上式代入幾何方程可得位移關(guān)系式 對上述公式的第一式積分，可得其中 f（j）為j 的任意函數(shù)。將上式代入公式的第二式則積分后可得這里g(r)為 r 的任意函數(shù)。3、軸對稱位移函數(shù)推導將徑向位移和環(huán)向位移的結(jié)果代入公式的第三式則或者寫作上式等號左邊為r 的函數(shù)，而右邊為j 的函數(shù)。顯然若使上式對所有的r 和j 都成立，只有其中F為任意常數(shù)。以上方程第一式的通解為這里H為任意常數(shù)。為了求出f(j )，將方程的第二式對j 求一次導數(shù)，可得其通解為 。另外將上述公式分別代入位移表達式可得位移分量的表達式4、軸對稱位移和應(yīng)力表達式位移分量的表達式中的A，B，C，H，I，K都是待定常數(shù)，其取決于邊界條件和約

11、束條件。上述公式表明應(yīng)力軸對稱并不表示位移也是軸對稱的。但是在軸對稱應(yīng)力中，假如物體的幾何形狀和外力，包括幾何約束都是軸對稱的，則位移也應(yīng)該是軸對稱的。這時，物體內(nèi)各點的環(huán)向位移均應(yīng)為零，即不論r 和j 取什么值，都應(yīng)有uj0。因此,B = H = I = K = 0 。所以，軸對稱應(yīng)力表達式可以簡化為而位移表達式簡化為上述公式當然也可以用于平面應(yīng)變問題，只要將E，n分別換為即可。§7.3 圓筒受均勻分布壓力的作用學習思路:本節(jié)介紹典型的軸對稱問題，厚壁圓筒作用均勻壓力的求解。問題的主要工作是通過邊界條件確定軸對稱應(yīng)力公式中的待定系數(shù)。除了厚壁圓筒作用內(nèi)外壓力，還分析了作用內(nèi)壓力的圓

12、筒應(yīng)力分布。這個解答工程上稱為拉梅（Lamé）解答，是厚壁圓筒等工程問題的經(jīng)典解答。學習要點：1、厚壁圓筒內(nèi)外作用均勻壓力；2、厚壁圓筒受內(nèi)壓力1、厚壁圓筒內(nèi)外作用均勻壓力設(shè)有圓筒或圓環(huán)，如圖所示內(nèi)半徑為a，外半徑為b，受內(nèi)壓力q1及外壓力q2的作用。顯然，問題的應(yīng)力是軸對稱的，如果不計剛體位移，則其位移也是軸對稱的。將軸對稱應(yīng)力公式代入本問題的邊界條件求解可得聯(lián)立求解上述公式，可得將上述所得的A，C回代軸對稱應(yīng)力公式可得Lamé 解答2、厚壁圓筒受內(nèi)壓力當外壁壓力q2為零時，即圓筒僅受內(nèi)壁壓力的作用，則圓筒應(yīng)力為 根據(jù)上述分析，容易看到徑向應(yīng)力小于零，為壓應(yīng)力；而環(huán)向應(yīng)力

13、大于零，為拉應(yīng)力。最大應(yīng)力為發(fā)生在內(nèi)壁的拉應(yīng)力，其值為§7.4 曲梁純彎曲學習思路:本節(jié)介紹曲梁純彎曲問題。對于曲梁，其幾何形狀并不具有軸對稱性質(zhì)，但是對于純彎曲問題，其任意橫截面的內(nèi)力具有軸對稱性質(zhì)。因此這是一個典型的軸對稱應(yīng)力問題。由于問題屬于軸對稱應(yīng)力，但是卻不是軸對稱位移，因此應(yīng)該注意選取的應(yīng)力和位移表達式。問題性質(zhì)確定后，主要工作仍然是通過邊界條件確定軸對稱應(yīng)力表達式的待定系數(shù)。除了曲梁純彎曲應(yīng)力分布分析，本節(jié)還討論了曲梁的變形和位移。根據(jù)分析，曲梁純彎曲的橫截面是保持平面的，但是彎曲應(yīng)力sj 沿橫截面高度按雙曲線分布，這與直梁的彎曲應(yīng)力是不同的。因此，平面假設(shè)用于曲梁是不

14、準確的。 學習要點：1、曲梁純彎曲邊界條件；2、曲梁彎曲應(yīng)力；3、曲梁純彎曲位移與平面假設(shè)1、曲梁純彎曲邊界條件設(shè)有矩形截面的曲梁，如圖所示其內(nèi)半徑為a，外半徑為b，兩端受彎矩作用，設(shè)單位寬度的彎矩為M。取曲率中心為坐標原點O，從梁的一端量取j 。由于梁的所有徑向截面上的彎矩均相同， 因此可以認為各個截面的應(yīng)力分布是相同的，也就是說應(yīng)力分布是軸對稱的。其應(yīng)力分量滿足軸對稱應(yīng)力公式根據(jù)邊界條件可以確定待定常數(shù)A，B，C。本問題的邊界條件為將軸對稱應(yīng)力分量代入上述邊界條件，可以得到2、曲梁彎曲應(yīng)力上述公式的第三式是第一，第二式線性組合的必然結(jié)果。將其余三個方程聯(lián)立求解?？梢缘玫狡渲袑⑸鲜鱿禂?shù)代入應(yīng)

15、力分量表達式，不難看出則上述應(yīng)力分量表達式稱為克洛文解。應(yīng)力分布如圖所示在內(nèi)邊界，即r = a，彎曲應(yīng)力sj 最大。中性軸，即sj =0 處，在靠近內(nèi)邊界一側(cè)。擠壓應(yīng)力sr 的最大值較中性軸更靠近內(nèi)邊界一側(cè)。3、曲梁純彎曲位移與平面假設(shè)對于曲梁的彎曲位移，可將系數(shù)A, B, C代入軸對稱應(yīng)力的位移表達式而其余待定常數(shù)H，K，I 將由梁的約束條件來確定。假設(shè) ， 和 即認為P點的位移為零，而且該點的徑向微分線段沿j 方向的轉(zhuǎn)角也為零，如圖所示將軸對稱位移據(jù)表達式代入上述位移邊界條件，則將上述待定系數(shù)回代軸對稱應(yīng)力的位移表達式則可得曲梁的位移。以下討論平面截面的假設(shè)，為此考慮曲梁的環(huán)向位移曲梁橫截

16、面上的任一徑向微分線段的轉(zhuǎn)角a 為對于曲梁的任一橫截面，j 為常數(shù)，因此橫截面上的所有微分線段的轉(zhuǎn)角a 均相等。這也就是說，曲梁的橫截面保持平面。這與材料力學關(guān)于梁的彎曲變形平面假設(shè)是一致的。但是，彎曲應(yīng)力sj 按雙曲線分布顯然與直梁的彎曲應(yīng)力是不同的，而且假設(shè)徑向應(yīng)力sr = 0 和 trj = 0，就是認為縱向纖維僅受簡單的環(huán)向拉壓的假設(shè)對于曲梁是不成立的。但是，由于平面假定的正確，所以對于曲率不大的曲梁，這個誤差并不是特別顯著。因此，材料力學彎曲應(yīng)力sj 的計算公式在工程中廣泛應(yīng)用。§7.5 曲梁受徑向集中力學習思路:本節(jié)討論曲梁作用徑向集中力問題。曲梁在集中力作用下，已經(jīng)不是

17、軸對稱應(yīng)力問題。對于彈性力學問題的求解，重要的問題是確定應(yīng)力函數(shù)的形式。對于曲梁作用徑向集中力，借助于邊界彎矩與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，找到應(yīng)力函數(shù)的基本形式，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程得到應(yīng)力函數(shù)。對于應(yīng)力函數(shù)中的待定系數(shù)，則根據(jù)邊界條件確定。學習要點：1、曲梁徑向集中力問題的應(yīng)力函數(shù)；2、邊界條件；3、曲梁應(yīng)力1、曲梁徑向集中力問題的應(yīng)力函數(shù)設(shè)有矩形截面的曲梁，如圖所示其內(nèi)半徑為a，外半徑為b，一端固定而另一端受徑向力F作用，設(shè)其為單位寬度。取曲率中心為坐標原點O，從梁的一端量取j 。根據(jù)曲梁受力分析，任一橫截面的內(nèi)力，彎矩與 sinj 成正比。因此根據(jù)應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)，假設(shè)問題的應(yīng)力函數(shù)也與 sinj

18、成正比，即將上式代入變形協(xié)調(diào)方程可以得到f(r)所需要滿足的方程這個方程可以轉(zhuǎn)換為常系數(shù)的常微分方程，其通解為將其代入應(yīng)力函數(shù)表達式 ，則2、邊界條件根據(jù)極坐標應(yīng)力分量表達式可得曲梁應(yīng)力分量為現(xiàn)在的問題是利用面力邊界條件確定待定常數(shù)A, B和D。本問題的面力邊界條件為將曲梁應(yīng)力分量代入面力邊界條件，可得3、曲梁應(yīng)力求解上述方程，可以得到其中將上述計算所得的待定常數(shù)代入應(yīng)力分量表達式則曲梁的應(yīng)力分量為§7.6 帶圓孔平板的均勻拉伸學習思路:平板受均勻拉力q作用，平板內(nèi)有半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應(yīng)力分布產(chǎn)生影響?？卓诟浇膽?yīng)力將遠大于無孔時的應(yīng)力，也遠大于距孔口稍遠處的應(yīng)力。

19、這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中?？卓诘膽?yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。根據(jù)上述分析，在與小圓孔同心的厚壁圓筒上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，另一部分是以三角函數(shù)變化的法向力和切向力。對于前者是軸對稱問題；或者根據(jù)問題性質(zhì)可以確定應(yīng)力函數(shù)后求解。孔口應(yīng)力分析表明，孔口應(yīng)力集中因子為3。學習要點：1、帶圓孔平板拉伸問題；2、厚壁圓筒應(yīng)力函數(shù)；3、應(yīng)力與邊界條件；4、孔口應(yīng)力。1、帶圓孔平板拉伸問題設(shè)平板在x方向受均勻拉力q作用，板內(nèi)有一個半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應(yīng)力分布產(chǎn)生影響，如圖所示。孔口附近的應(yīng)力將遠大于無孔時的應(yīng)力，也遠大于距孔口稍遠處的應(yīng)

20、力。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中?？卓诘膽?yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。隨著距離增加，在離孔口較遠處，這種影響也就顯著的減小。根據(jù)上述分析，假如b與圓孔中心有足夠的距離，則其應(yīng)力與無圓孔平板的分布應(yīng)該是相同的。因此上述公式表明在與小圓孔同心的，半徑為b的圓周上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為 ；另一部分是隨j 變化的法向力 cos2j 和切向力 sin2j 。對于沿厚壁圓筒外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為 。 由此產(chǎn)生的應(yīng)力可用軸對稱應(yīng)力計算公式計算。則這里，將均勻法向應(yīng)力作為外加載荷作用于內(nèi)徑為a，外徑為b的厚壁圓筒的外圓周處。使得問題成為一個

21、典型的軸對稱應(yīng)力。2、厚壁圓筒應(yīng)力函數(shù)對于厚壁圓筒的外徑作用隨2j 變化的法向外力 cos2j 和切向外力sin2j ，如圖所示根據(jù)面力邊界條件，厚壁圓筒的應(yīng)力分量也應(yīng)該是2j 的函數(shù)。由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系可以看出，由此產(chǎn)生的應(yīng)力可以由以下形式的應(yīng)力函數(shù)求解，即將上述應(yīng)力函數(shù)表達式代入變形協(xié)調(diào)方程可得 f（r）所要滿足的方程即上述方程是歐拉(Euler)方程，通過變換可成為常系數(shù)常微分方程，其通解為 因此，將其代入公式 ，可得應(yīng)力函數(shù)為3、應(yīng)力與邊界條件因此，應(yīng)力分量為應(yīng)力分量表達式中的待定常數(shù)A，B，C，D可用邊界條件確定，本問題的面力邊界條件為將應(yīng)力分量代入上述邊界條件，則聯(lián)立求解上

22、述方程，并且注意到對于本問題，a/b0, 可得4、孔口應(yīng)力將計算所得到系數(shù)代入應(yīng)力分量公式則將隨j 變化的法向力 cos2j 和切向力 sin2j 的計算所得結(jié)果與沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力 結(jié)果相疊加，則上述應(yīng)力分量表達式表明，如果r 相當大時，上述應(yīng)力分量與均勻拉伸的應(yīng)力狀態(tài)相同。對于孔口應(yīng)力，即r =a 時，有最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在小圓孔的邊界上的j =p/2 和j =3p/2 處，其值為sj max = 3q 這表明，當板很大而孔很小時，則圓孔的孔口將有應(yīng)力集中現(xiàn)象。通常把最大應(yīng)力與平均應(yīng)力的比值用于描述應(yīng)力集中的程度。即K 稱為應(yīng)力集中因子。對于平板受均勻拉伸問題，K=3。§7

23、.7 楔形體頂端受集中力或集中力偶學習思路:本節(jié)將推導有關(guān)楔形體的幾個有實用價值的解答。對于彈性力學問題的求解，重要的問題是確定應(yīng)力函數(shù)的形式。由于楔形體幾何形狀的特殊性，本身沒有任何描述長度的幾何參數(shù)，借助于幾何特性，可以找到應(yīng)力函數(shù)的基本形式，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程得到應(yīng)力函數(shù)。楔形體彈性力學解答可以推廣為半無限平面應(yīng)力的解答，這對于工程問題的求解具有指導意義。學習要點：1、楔形體作用集中力問題的應(yīng)力函數(shù)；2、楔形體邊界條件；3、楔形體應(yīng)力；4、半無限平面作用集中力；5、楔形體受集中力偶作用；6、楔形體受集中力偶作用的應(yīng)力。1、楔形體作用集中力問題的應(yīng)力函數(shù)設(shè)有一楔形體，其中心角為a，下端可

24、以認為是伸向無窮遠處。首先討論楔形體在其頂端受集中力作用，集中力與楔形體的中心線成b 角。設(shè)楔形體為單位厚度，單位厚度所受的力為F，極坐標系選取如圖所示通過量綱分析可以確定本問題應(yīng)力函數(shù)的形式。由于楔形體內(nèi)任一點的應(yīng)力分量將與F 成正比，并與a， b，r 和j 有關(guān)。由于F 的量綱為MT-2，r的量綱為L-1，而a， b 和j 是無量綱的，因此各個應(yīng)力分量的表達式只能取r 的負一次冪。而根據(jù)應(yīng)力函數(shù)表達式其r 的冪次應(yīng)比各應(yīng)力分量r 的冪次高兩次。因此可以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為j 的某個函數(shù)乘以 r 的一次冪。有將上述應(yīng)力函數(shù)表達式代入變形協(xié)調(diào)方程可得 f ( j ) 所要滿足的方程。即求解上式，可得

25、其中A，B，C和D為待定常數(shù)，將上式代入應(yīng)力函數(shù)表達式可得由于過且過 為線性項，不影響應(yīng)力分量的計算，因此可以刪去。因此應(yīng)力函數(shù)為2、楔形體邊界條件由應(yīng)力分量表達式，可得楔形體的應(yīng)力分量 現(xiàn)在的問題是利用面力邊界條件確定待定常數(shù)。楔形體左右兩邊的面力邊界條件為已經(jīng)自然滿足。此外還有一個應(yīng)力邊界條件：在楔形體頂端附近的一小部分邊界上有一組面力，它的分布沒有給出，但已知它在單位寬度上的合力為F。如果取任意一個截面，例如圓柱面ab，如圖所示則該截面的應(yīng)力分量必然和上述面力合成為平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。于是得出由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)換而來的平衡條件3、楔形體應(yīng)力將應(yīng)力分量表達式代入上式，則

26、積分可得即將常數(shù)C和D代入應(yīng)力分量表達式則本問題的解答為上述楔形體應(yīng)力在r 等于0時，將趨于無限大。即在載荷作用點的應(yīng)力無限大，解答是不適用的。但是如果外力不是作用于一點，而是按照上述應(yīng)力分布作用于一個小圓弧區(qū)域，上述解答則為精確解。根據(jù)圣維南原理，除了力的作用點附近，解答是有足夠精度的。4、半無限平面作用集中力在上述楔形體問題中，如果令ap，b0，則轉(zhuǎn)化為彈性半無限平面作用集中力問題。將ap，b0代入楔形體應(yīng)力表達式則彈性半無限平面作用集中力作用的應(yīng)力表達式為彈性半無限平面作用集中力作用的應(yīng)力場具有以下特點：1、sr為主應(yīng)力,其余主應(yīng)力為0。2、在直徑為d，圓心在x 軸并且與y 軸相切于原點O的圓上，由于該圓上任意一點滿足r = dcos j ，所以，圓上任意一點應(yīng)力為 sr=-2F/pd。這就是說，