《剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)》答案

1、一、選擇題1(B), 2(B), 3(A), 4(D), 5(C), 6(C), 7(C), 8(C), 9(D), 10(C)二、填空題(1). v 15.2 m /s, n2= 500 rev /min.62.51.67s.g / l g / (2l)(4).5.0 N m(5).4.0 rad/s(6).0.25 kg. m2(7).1Ma2(8).1l1mgl 參考解：M = d M = i i1 gm/l r d rmgl(9).J mr21J mR2(10).冷 F3gsinv/l二、計(jì)算題1.有一半徑為R的圓形平板平放在水平桌面上， 平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為 &若平板繞

2、 通過(guò)其中心且垂直板面的固定軸以角速度 厲開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？ （已知圓形1 2平板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J mR ,其中m為圓形平板的質(zhì)量）2解：在r處的寬度為dr的環(huán)帶面積上摩擦力矩為總摩擦力矩故平板角加速度 設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為 由可得dM = J -mg2 2二 r rdrHRr2M dM mgR一：=M /Jn,則轉(zhuǎn)角v = 2二n2 = 2 宀-4二Mn /JJ-on 二二 3R 0 /16n 勺m2. 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為 m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可 以忽略，它與定滑輪之間無(wú)滑動(dòng)假設(shè)定滑輪質(zhì)量為M、半徑為 R,其轉(zhuǎn)動(dòng)1 2慣量為一MR2，滑輪軸光滑試求該物體由靜止開(kāi)

3、始下落的過(guò)程中，下落速2度與時(shí)間的關(guān)系.解：根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程對(duì)物體：mg T = ma對(duì)滑輪：TR = J'-運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：a= R'-將、式聯(lián)立得1 n”a= mg / ( mM)2TVo= 0,1v = at= mgt / ( m+ M)23. 為求一半徑 R= 50 cm的飛輪對(duì)于通過(guò)其中心且與盤面垂直的固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，在飛輪上繞以細(xì)繩，繩末端懸一質(zhì)量mi= 8 kg的重錘.讓重錘從高 2 m處由靜止落下，測(cè)得下落時(shí)間ti= 16 s.再用另一質(zhì)量 m2=4 kg的重錘做同樣測(cè)量，測(cè)得下落時(shí)間t2= 25 s.假定摩擦力矩是一個(gè)常量，求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解

4、：根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律，對(duì)飛輪和重物列方程，得TR Mf= Ja/ RmgT = mah= at22則將m“ t1代入上述方程組，得a1 = 2h / t； = 0.0156 m / s2= m1 (g a" = 78.3 N J= (T1R Mf )R / a1將m2、t2代入、方程組，得a2= 2h / tf = 6.4X 10 3 m / s - T2= m2(g a?)= 39.2 NJ = (T2R Mf)R / st由、兩式，得J= R2(T1 T2)/(q a2)= 1.06X 103 kg m24. 一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 起初角速度為-0.設(shè)它所

5、受阻力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度1成正比，即M = k - (k為正的常數(shù))，求圓盤的角速度從'-0變?yōu)?時(shí)所需的時(shí)間.2d，k丄dtoJ兩邊積分:得。/2 1t kddt 0 .,0 Jln2 = kt / Jt = (J ln2)/ k5. 某人站在水平轉(zhuǎn)臺(tái)的中央，與轉(zhuǎn)臺(tái)一起以恒定的轉(zhuǎn)速厲轉(zhuǎn)動(dòng)，他的兩手各拿一個(gè)質(zhì)量為1m的砝碼，砝碼彼此相距l(xiāng)i （每一砝碼離轉(zhuǎn)軸li），當(dāng)此人將砝碼拉近到距離為12時(shí)（每一砝碼21離轉(zhuǎn)軸為一 12），整個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速變?yōu)?門2.求在此過(guò)程中人所作的功.（假定人在收臂過(guò)程中自2身對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化可以忽略 ）解：（1）將轉(zhuǎn)臺(tái)、砝碼、人看作一個(gè)系統(tǒng)，過(guò)程中人作的功W=

6、 . Ek= 1 （Joml；）4：.匯一丄（J2 2 2 這里的v0是沒(méi)有砝碼時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.（2）過(guò)程中無(wú)外力矩作用，系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒：1 2 1 2 2 mh ） m = 2 二（0+ ml2 ） “2ml； n1 ln?W等于系統(tǒng)動(dòng)能之增量:1 2 2 20mh ）4 二 n12 ' 2Jo將J0代入W式，得2 n 2 -口W - ：2m21,-1；6. 一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M，半徑為R,放在一粗糙水平面上（圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為J），圓盤可繞通過(guò)其中心0的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，圓盤靜止，一質(zhì)量為 m的子彈以水平速度 V。垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤

7、邊上，求（1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度.（2）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng).1 2（圓盤繞通過(guò)0的豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 一MR，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩）2解：（1）以子彈和圓盤為系統(tǒng)，在子彈擊中圓盤過(guò)程中，對(duì)軸0的角動(dòng)量守恒.1mv0R= ( MR2+ mR2廠2mvo0 =-M m R12丿(2)設(shè)表示圓盤單位面積的質(zhì)量，可求出圓盤所受水平面的摩擦力矩的大小R為M frg 二 2 二rdr = (2 / 3'<-_ gR3 = (2 / 3) JMgR設(shè)經(jīng)過(guò).t時(shí)間圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則按角動(dòng)量定理有1Mf it = 0 Ji：=(MR2 + mR2). 1 = - mv

8、 °R2mv0Rmv0R3mv0t .Mf(2/3 尸 MgR 2#Mg7. 一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為 2L,質(zhì)量為m,以與棒長(zhǎng)方向相垂直的速度vo在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰1 一撞.碰撞點(diǎn)位于棒中心的一側(cè) L處，如圖所示.求棒在碰撞后的瞬2時(shí)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度-.(細(xì)棒繞通過(guò)其端點(diǎn)且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)一 1 2 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為-ml ，式中的m和I分別為棒的質(zhì)量和長(zhǎng)度.)3丫 l1-21-2解：碰撞前瞬時(shí)，桿對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為3L/2L/2:：voxd x -0 - 02 1 v0xdx =【v0Lmv0L2式中二為桿的線密度.碰撞后瞬時(shí)，桿對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為心

9、申m3/12 丿因碰撞前后角動(dòng)量守恒，所以21m42夕=mL2®122 17mL /12 = mv 0L2- = 6vo / (7L)I,8. 長(zhǎng)為I的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過(guò)桿的一端O點(diǎn)的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),開(kāi)始時(shí)靜止于豎直位置.緊挨O點(diǎn)懸一單擺，輕質(zhì)擺線的長(zhǎng)度也是擺球質(zhì)量為m.若單擺從水平位置由靜止開(kāi)始自由擺下，且擺球與細(xì) 桿作完全彈性碰撞，碰撞后擺球正好靜止.求：(1)細(xì)桿的質(zhì)量.細(xì)桿擺起的最大角度 H解：(1)設(shè)擺球與細(xì)桿碰撞時(shí)速度為v 0，碰后細(xì)桿角速度為'',系統(tǒng)角動(dòng)量守恒得:J = mv 0I由于是彈性碰撞，所以單擺的動(dòng)能變?yōu)榧?xì)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能1 2 1,2mv0J

10、 2 21 2代入J= _ Ml 2，由上述兩式可得M = 3m3(2)由機(jī)械能守恒式=mgl 及2j 2 Jm gllcos2 2并利用(1)中所求得的關(guān)系可得, 1 ar c co s3四研討題1計(jì)算一個(gè)剛體對(duì)某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，一般能不能認(rèn)為它的質(zhì)量集中于其質(zhì)心，成為一 質(zhì)點(diǎn)，然后計(jì)算這個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？為什么？舉例說(shuō)明你的結(jié)論。參考解答：不能.因?yàn)閯傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 v ri mi與各質(zhì)量元和它們對(duì)轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān)如一勻質(zhì)圓盤對(duì)1 2過(guò)其中心且垂直盤面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mR2，若按質(zhì)量全部集中于質(zhì)心計(jì)算，則對(duì)同一軸2的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零.2.岡U體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能的增量只決定于外力對(duì)它做的功

11、而與內(nèi)力的作用無(wú)關(guān)。對(duì)于 非剛體也是這樣嗎？為什么？ 參考解答：根據(jù)動(dòng)能定理可知，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能增量不僅決定于外力做的功，還決定于內(nèi)力做的功。由于剛體內(nèi)任意兩質(zhì)量元間的距離固定，或說(shuō)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩質(zhì)量元的相對(duì)位移為零， 所以每一對(duì)內(nèi)力做功之和都為零。故剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能的增量就只決定于外力的功而與 內(nèi)力的作用無(wú)關(guān)了。非剛體的各質(zhì)量元間一般都會(huì)有相對(duì)位移，所以不能保證每一對(duì)內(nèi)力做功之和都為零， 故動(dòng)能的增量不僅決定于外力做的功還決定于內(nèi)力做的功。3.乒乓球運(yùn)動(dòng)員在臺(tái)面上搓動(dòng)乒乓球，為什么乒乓球能自動(dòng)返回?參考解答:分析：乒乓球(設(shè)乒乓球?yàn)榫|(zhì)球殼)的運(yùn)動(dòng)可分解為球隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞通過(guò)質(zhì)心的軸的 轉(zhuǎn)動(dòng).乒乓球在臺(tái)面上滾動(dòng)時(shí)，受到的水平方向的力只有摩擦力.若乒乓球平動(dòng)的初始速度Vc的方向如圖，則摩擦力Fr的 方向一定向后摩擦力的作用有二，對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，它使質(zhì)心平動(dòng)的速度 Vc逐漸減??；對(duì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)說(shuō)， 它將使轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 逐漸變小.當(dāng)質(zhì)心平動(dòng)的速度 Vc= 0而角速度，-0時(shí)，乒乓球 將返回因此，要使乒乓球能自動(dòng)返回，初始速度 Vc和 初始角速度o的大小應(yīng)滿足