人工腎數(shù)學(xué)模型

1、人摘要本文研究單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量是多少. 我們通過探討發(fā)現(xiàn)，在人工腎與血液之間能發(fā)生滲透的這一段長(zhǎng)l 的距離中，其不同點(diǎn)的廢物濃度都是不相同的，因此若考慮全段， 此模型將變的很復(fù)雜而難解。所以我們只考慮在區(qū)間l0上一小段xxx，在這段中我們可以知道血液中廢物的減少量 =人工腎中廢物增加量。再通過微積分的運(yùn)算我們可以得出單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量是多少ldxupq0)(=lpdxdxdpk0=)(0lupkp=mlupmlpoekkekp11m=upkk11關(guān)鍵詞：人工腎清除率濃度微積分一、問題的重述人工腎是幫助人體從血液中帶走廢物的裝置，它通過一層薄膜與需要帶走廢物的血管相通， 如

2、下圖，人工腎中通以某種液體， 其流動(dòng)方向與血液在血管中的流動(dòng)方向相反，血液中的廢物透過薄膜進(jìn)入人工腎。設(shè)血液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)，廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比。人工腎總長(zhǎng)為l 。我們建立單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量的模型。二、問題的分析我們都知道腎臟是用來(lái)排尿液的，在這個(gè)模型中廢物相當(dāng)于尿液，血液中某物質(zhì)的濃度是廢物的濃度，其它也如此。為了求單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量，我們不得不從l 長(zhǎng)的人工腎和血管中截取其中及其微小一小段，忽略其時(shí)間即xxx我們查找大量資料得到以下知識(shí)點(diǎn)：腎臟清除率是指某一種物質(zhì)在一定時(shí)間內(nèi)(通常以 1 min 為單位 )由尿液排出的量相當(dāng)

3、于多少毫升血漿含該物質(zhì)的量。以公式表示，即puvc/。其中 c 為清除率 (mlmin)；v 為每分鐘排尿量 (ml)；u 和 p 分別為測(cè)定的尿液和血漿的物質(zhì)濃度。某物質(zhì)每分鐘的清除量血漿中該物質(zhì)的濃度(p)每分鐘的腎臟清除率 (c)。某物質(zhì)每分鐘清除量每分鐘的尿中排出量尿中該物質(zhì)的濃度(u)每分鐘尿量，亦即uvpc假設(shè)在 l 段中任意取某點(diǎn) x， 及廢物開始從此點(diǎn)滲透直到點(diǎn)x+處， 及這段中能發(fā)生滲透作用， 其他地方先不予考慮， 在此段中從血液中滲透過去的廢物與人工腎帶走的廢物量是相等的， 從而可以得出在單位時(shí)間有關(guān)廢物的相應(yīng)等式，再將其進(jìn)行微分，即可得出人工腎在整段l 時(shí)，人工腎在單位時(shí)

4、間內(nèi)帶走的廢物量。三、模型的假設(shè)1、假設(shè)人工腎及血管的形狀、大小在整個(gè)血液透析過程中不會(huì)發(fā)生變化。2、假設(shè)血管和人工腎中的液體有廢物滲出和滲入，均視為溶液；3、假設(shè)流入血管和人工腎中的液體的濃度始保持不變；4、整個(gè)血液液透析過程中不會(huì)發(fā)生反滲透；血管人工腎薄膜血液流動(dòng)方向液體流動(dòng)方向5、血液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)；6、廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比；四、符號(hào)及其說明l -人工腎總長(zhǎng)；px- 血管中廢物的濃度；kp- 血管中血液的流速；ux- 人工腎中廢物的濃度；ku- 人工腎中血液的流速；廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比的比例系數(shù)；q - 單位時(shí)

5、間內(nèi)人工腎帶走廢物的數(shù)量五、模型的建立及求解根據(jù)血管中廢物減少量等于人工腎中廢增加量在 l 長(zhǎng)的人工腎和血管中：我們?cè)趨^(qū)間l0上任意選取一小段區(qū)間xxx則：血管中廢物通過 x處時(shí)廢物量pxxkpq*通過 x+x處時(shí)廢物量ppxxxxkpq*人工腎中廢物通過x處時(shí)廢物量uxxkuq*通過 x+ x 處時(shí)廢物量uuxxxxkuq*xxx血管人工腎薄膜血液流動(dòng)方向液體流動(dòng)方向在 xxx過程中廢物濃度的變化為：)0(以血管為對(duì)象：xxppxpkkp*=)(xxup以人工腎為對(duì)象：xxuuxukku* =)(xxup初始時(shí)血管中廢物濃度為p0即0)0(pp當(dāng)人工腎中廢物運(yùn)行至l 長(zhǎng)度時(shí)，廢物量為0 即0

6、)(lu我們由可以得出：xxup= p0umlpmxumlpkekekpekm=upkk11在區(qū)域 0 l 上，單位時(shí)間內(nèi)人工腎帶走的血液中的廢物量為：ldxupq0)(=lpdxdxdpk0=)(0lupkp=mlupmlpoekkekp11六、模型的檢驗(yàn)由某物質(zhì)每分鐘的清除量血漿中該物質(zhì)的濃度(p)每分鐘的腎臟清除率 (c) 我們可以得出：pqc/c=pekkekpmlupmlp1*110在我們查找的資料中得知：pvuc/*pqcqvu/*將式代入得到的結(jié)果符合查找的公式確定我們這個(gè)模型是正確的。測(cè)定腎清除率的意義測(cè)定腎清除率不僅可了解腎臟的功能狀態(tài)，還可以測(cè)定腎小球?yàn)V過率、腎血流量和推測(cè)

7、腎小管的轉(zhuǎn)運(yùn)功七、模型的進(jìn)一步研究由于人的血液是不可壓縮的黏滯流體，所以血液在血管中心和邊緣的流速是不同的。根據(jù)牛頓黏滯性定律和力平衡原理建立血液流動(dòng)微分方程。l 取長(zhǎng)度為 l 的血管， 左端血壓為 p1 , 右段血壓為 p2(p1p2), 血管半徑為 r,由于流速穩(wěn)定，所以由牛頓黏滯性定律和力平衡原理，推動(dòng)半徑為r ，推進(jìn)力有 f1=)(212ppr（1）阻力有f2=-drdvrl2（2）f1=f2即)(212ppr=-drdvrl2對(duì)兩邊積分，當(dāng) r=o 處流速最大 r=r處流速為 0 )(4)(2221rrlpprv（3）為血液黏滯系數(shù)將血管中的圓截面分成多個(gè)圓環(huán)，圓環(huán)厚度為dr,1秒內(nèi)

8、通過該圓環(huán)的流量為rdrrv2)(, 所以，一秒內(nèi)通過半徑為r圓截面的流量為q=rrdrrv0)(2 (4) （3）和（ 4）聯(lián)立，得：4218)(rlppq八、模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：本模型設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單， 針對(duì)醫(yī)學(xué)方面的這類問題具有很大的實(shí)用性，若必要時(shí)可根據(jù)此模型設(shè)定相應(yīng)的方案， 從而也可以進(jìn)一步對(duì)此模型在實(shí)踐中檢驗(yàn)，進(jìn)一步的完善優(yōu)化。因而也可以推廣到其他方面的問題，如：香煙過濾嘴的問題，藥物代謝的問題，飲酒后血液中酒精含量的變化等等。缺點(diǎn)：本模型在人工腎及血管的形狀、 大小在整個(gè)血液透析過程中是不會(huì)發(fā)生變化的而在實(shí)際中往往很復(fù)雜；血壓及血管半徑都需要去測(cè)量數(shù)據(jù)，不可避免的會(huì)產(chǎn)生誤差，造成結(jié)果的偏離；整個(gè)滲透作用當(dāng)做是理想狀態(tài)(可能會(huì)發(fā)生反滲透的情況 )，所以具有一定的局限性。若必要時(shí)可根據(jù)此模型設(shè)定相應(yīng)的方案，從而也可以進(jìn)一步對(duì)此模型在實(shí)踐