維納濾波基本概念

1、Wiener濾波概述Wiener濾波器是從統(tǒng)計(jì)意義上的最優(yōu)濾波, 它要求輸入信號(hào)是寬平穩(wěn)隨機(jī)序列, 本章主要集中在FIR結(jié)構(gòu)的Wiener濾波器的討論。由信號(hào)當(dāng)前值與它的各階延遲，估計(jì)一個(gè)期望信號(hào)，輸入信號(hào)是寬平穩(wěn)的，和是聯(lián)合寬平穩(wěn)的, 要求這個(gè)估計(jì)的均方誤差最小。在本章中,不特別說明, 假設(shè)信號(hào)是零均值.Wiener濾波器的幾個(gè)實(shí)際應(yīng)用實(shí)例如下：通信的信道均衡器。圖1. 信道均衡器的結(jié)構(gòu)示意系統(tǒng)辨識(shí)：圖2. 線性系統(tǒng)辨識(shí)的結(jié)構(gòu)一般結(jié)構(gòu):圖3. Wiener濾波器的一般結(jié)構(gòu)Wiener濾波器的目的是求最優(yōu)濾波器系數(shù)，使 最小。§3.1 從估計(jì)理論觀點(diǎn)導(dǎo)出Wiener濾波FIR結(jié)構(gòu)(也

2、稱為橫向)的Wiener濾波器的核心結(jié)構(gòu)如圖4所示.圖4. 橫向Wiener濾波器FIR結(jié)構(gòu)的Wiener是一個(gè)線性Beyesian估計(jì)問題.為了與第2講中估計(jì)理論一致，假設(shè)信號(hào)，濾波器權(quán)值均為實(shí)數(shù)由輸入和它的1至（M-1）階延遲，估計(jì)期望信號(hào)，確定權(quán)系數(shù)使估計(jì)誤差均方值最小，均方誤差定義為：這里估計(jì)寫為：除了現(xiàn)在是波形估計(jì)外，與線性Bayesian估計(jì)一一對(duì)應(yīng)。 R（零均值假設(shè)）這里, Wiener濾波與線性Bayesian估計(jì)變量之間具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 設(shè)最優(yōu)濾波器系數(shù)為，由線性Bayesian估計(jì)得到Wiener濾波器系數(shù)對(duì)應(yīng)式： 上式后一個(gè)方程稱為Wiener-Hopf方程, 或 結(jié)論

3、：1) Wiener濾波器是線性FIR濾波器中的最優(yōu)濾波器，但非線性濾波可能會(huì)達(dá)到更好結(jié)果。2) 在聯(lián)合高斯條件下，Wiener濾波也是總體最優(yōu)的（從Bayesian估計(jì)意義上講是這樣，要滿足平穩(wěn)條件）3) 從線性貝葉斯估計(jì)推導(dǎo)過程知，在濾波器系數(shù)取非最優(yōu)的w時(shí)，其誤差性能表示：它是w的二次曲面，只有一個(gè)最小點(diǎn)，時(shí)，§3.2維納濾波：從正交原理和線性濾波觀點(diǎn)分析Wiener濾波器Wiener 濾波器是一個(gè)最優(yōu)線性濾波器，濾波器核是IIR或FIR的。導(dǎo)出最優(yōu)濾波器的正交原理, 并從正交原理出發(fā)重新導(dǎo)出一般的Wiener濾波器方程推導(dǎo)適應(yīng)于IIR和FIR的一般結(jié)論，然后分別討論FIR和I

4、IR。討論一般的復(fù)數(shù)形式。·輸入過程。·濾波器系數(shù)，（權(quán)系數(shù)）·希望的響應(yīng)dn·輸出誤差：·正交性原理對(duì)復(fù)數(shù)據(jù)情況，推導(dǎo)一般結(jié)論，實(shí)數(shù)據(jù)是特例。 =均方誤差是：設(shè)權(quán)系數(shù): 定義遞度算子. 其中符號(hào)是遞度算子作用于J，其中第k項(xiàng)為：要求的值, 使得J最小,即 等價(jià)：由得：由 得到： 代入表達(dá)式整理得：當(dāng) 時(shí)，J達(dá)到最小。設(shè)J達(dá)最小時(shí)，用表示權(quán)系數(shù)和誤差en，且 則有：，以上為正交性原理，達(dá)到最優(yōu)濾波時(shí)，誤差和輸入正交。推論： ·維納霍夫方程（Wiener-Hopf）由正交性原理得 定義： 有 這就是Wiener-Hopf方程，解此方程，

5、可得到最優(yōu)權(quán)。對(duì)于M階FIR濾波器，（橫向?yàn)V波器）Wiener-Hopf方程變?yōu)椋海?#183;矩陣形式：令 和Winer-Hopf方程： 這里解方程求得：·最小均方誤差：在達(dá)最優(yōu)時(shí)，也寫成，表示由張成的空間對(duì)dn的估計(jì)（最優(yōu)線性估計(jì)）。 也可以寫成： 由和正交性得：即：由 得 則·誤差性能表面由 直接代入整理得：由上式，可以看出，J是Wk的二次曲面，是碗狀曲面，碗口向上，Jmin在碗底，其實(shí)，由上式直接對(duì)wk求導(dǎo)，得到一組方程，正是wiener-Hopf方程。矩陣形式在時(shí)，達(dá)最小，性能表面可以寫成：由于 故 令 通過坐標(biāo)變換，得到如上規(guī)范形式，對(duì)于一個(gè)給定, 有： 這是超

6、橢圓，為其一個(gè)軸。數(shù)值例子1：有一信號(hào)，它的自相關(guān)序列為，被一白噪聲所污染，噪聲方差為，被污染信號(hào)作為Wiener濾波器的輸入，求2階FIR濾波器使輸出信號(hào)是的盡可能的恢復(fù)。解：本題中， 。由于只需要2階濾波器設(shè)計(jì)，因此 數(shù)值例子2：希望響應(yīng)是一個(gè)AR(1)過程，是白噪聲，, 由白噪聲驅(qū)動(dòng)的產(chǎn)生該過程的傳輸函數(shù)為:經(jīng)過了一個(gè)通信信通，信道的傳輸函數(shù)為，并加入了白噪聲即： 通道模型如圖5所示:圖5. 通道模型求解：一個(gè)二階FIR結(jié)構(gòu)Wiener濾波器，目的是由xn盡可能恢復(fù)dn解：是一個(gè)過程，在中,是一個(gè)二階過程,相當(dāng)于由二階參數(shù)，確定, 由Yule-walker方程：反解.得由上確定sn的自相

7、關(guān)矩陣為:但：求 由：, 和 代入上式得：故 最優(yōu)系數(shù) 最小均方誤差：性能表面規(guī)范誤差性能表面解 這是一個(gè)隨圓，主軸，副軸·IIR Wiener 濾波器考慮Wiener-Hopf方程在IIR濾波器時(shí)的情況，為簡單，先討論非因果IIR濾波器的設(shè)計(jì)式。為簡單，考慮實(shí)信號(hào)和實(shí)濾波器系數(shù)的情況。在非因果條件下，Wiener-Hopf方程改寫為 上式兩邊取z變換，得或 這里是濾波器沖激響應(yīng)（權(quán)系數(shù)）的z變換，是的z變換，是的z變換。最小均方誤差為 例2有一信號(hào)，它的自相關(guān)序列為，被一白噪聲所污染，噪聲方差為，被污染信號(hào)作為Wiener濾波器的輸入，求IIR濾波器使輸出信號(hào)是的盡可能的恢復(fù)。解：本題中， 。求的反變換得到 最小均方誤差因果IIR維納濾波器現(xiàn)在考慮因果IIR維納濾波器設(shè)計(jì)。因果IIR維納濾波器的傳輸函數(shù)為上式中，是由中位于單位圓內(nèi)的極點(diǎn)和