高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和典例說(shuō)課講解

1、統(tǒng)計(jì)一. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法1. 一般地，設(shè)一個(gè)總體含有n個(gè)個(gè)體（有限） ，從中逐個(gè)不放回地抽取n 個(gè)個(gè)體作為樣本（nn）, 如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等（n/n） ，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。2. 一般地，抽簽法就是把總體中的n個(gè)個(gè)體編號(hào)，把號(hào)碼寫(xiě)在號(hào)簽上，將號(hào)簽放在一個(gè)容器中，攪拌均勻后， 每次從中抽取一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n 次，就得到一個(gè)容量為n 的樣本， 這種抽樣方法叫做抽簽法。抽簽法的一般步驟：a、將總體的個(gè)體編號(hào)。 b 、連續(xù)抽簽獲取樣本號(hào)碼。3. 利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣，叫隨機(jī)數(shù)表法。隨機(jī)數(shù)表法的步驟：a、將總體

2、的個(gè)體編號(hào)。b、在隨機(jī)數(shù)表中選擇開(kāi)始數(shù)字。c、讀數(shù)獲取樣本號(hào)碼。4. 抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，又不方便，如果標(biāo)號(hào)的簽攪拌得不均勻，會(huì)導(dǎo)致抽樣不公平，隨機(jī)數(shù)表法的優(yōu)點(diǎn)與抽簽法相同，缺點(diǎn)上當(dāng)總體容量較大時(shí)，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較少的抽樣類型。二. 系統(tǒng)抽樣 ：1. 一般地，要從容量為n的總體中抽取容量為n 的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣。系統(tǒng)抽樣的一般步驟：（1）采用隨機(jī)抽樣的方法將總體中的n個(gè)個(gè)編號(hào)。（2）將整體按編號(hào)

3、進(jìn)行分段，確定分段間隔k=n/n。(k n,lk). （3）在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體的編號(hào)l（ln,l k） 。（4）按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將起始編號(hào)l 加上間隔k 得到第 2 個(gè)個(gè)體編號(hào)l+k，再加上 k得到第 3 個(gè)個(gè)體編號(hào)l+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本。在確定分段間隔k 時(shí)應(yīng)注意：分段間隔k 為整數(shù)，當(dāng)n/n 不是整數(shù)時(shí)，應(yīng)采用等可能剔除的方剔除部分個(gè)體，以獲得整數(shù)間隔k。三. 分層抽樣：1. 一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫分層抽樣。分層抽樣的步驟

4、：（1）分層：按某種特征將總體分成若干部分。（ 2）按比例確定每層抽取個(gè)體的個(gè)數(shù)。（3）各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取。（ 4）綜合每層抽樣，組成樣本。2. 分層抽樣是當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)采用的抽樣方法，進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）分層抽樣中分多少層、如何分層要視具體情況而定，總的原則是，層內(nèi)樣本的差異要小，面層之間的樣本差異要大，且互不重疊。（2）為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣。（3）在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽樣。四.用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布：1. 頻率分布是指一個(gè)樣本數(shù)據(jù)在各個(gè)小范圍內(nèi)所占比例的大小。一般用頻

5、率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其一般步驟為： （1）計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差（2）決定組距與組數(shù)（3）將數(shù)據(jù)分組（4）列頻率分布表（5）畫(huà)頻率分布直方圖2. 頻率分布折線圖、總體密度曲線頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖?？傮w密度曲線：在樣本頻率分布直方圖中，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。它能夠精確地反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比，給我們提供更加精細(xì)的信息。3. 當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部

6、分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長(zhǎng)出來(lái)的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖。莖葉圖的特征：（1）用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是從統(tǒng)計(jì)圖上沒(méi)有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示。（2）莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒(méi)有表示兩個(gè)記錄那么直觀，清晰。五. 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征：1. 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的求法。六. 變量之間的相關(guān)關(guān)系：1. 相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系（如：函數(shù)關(guān)系），或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量

7、取值一定時(shí)，因變量也確定，則為確定關(guān)系；當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。2. 散點(diǎn)圖的概念：將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫(huà)出來(lái)，得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫做散點(diǎn)圖。 （ 1. 如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來(lái)描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系2. 如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系。3. 如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系）。3. 正相關(guān)與負(fù)相關(guān)概念：如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，稱為正相關(guān)。如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散

8、布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱為負(fù)相關(guān)。（注： 散點(diǎn)圖的點(diǎn)如果幾乎沒(méi)有什么規(guī)則，則這兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系）4. 從散點(diǎn)圖上可以看出，這些點(diǎn)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線。如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這這兩個(gè)變量之間具有線形相關(guān)關(guān)系，直線叫回歸直線。5. 教學(xué)最小二乘法：（1）求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法刻畫(huà) 從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小 （2） 最小二乘法公式： 求回歸直線， 使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法。題型一抽樣方法例 1（1）某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300 名學(xué)生，為了解

9、學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40 名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為（2）利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，從n 個(gè)個(gè)體（ n13）中抽取13 個(gè)個(gè)體，依次抽取，若第二次抽取后，余下的每個(gè)個(gè)體被抽取的概率為361，則在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽取的概率為變式 1:某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200 輛，6000 輛和 2000 輛為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46 輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取 _，2222121()()()nsxxxxxxnl222121()()() nsxxxxxxnln1n1iixx2n1)(xxliixx)(

10、n1yyxxliiixyn1n1iiyy _， _輛變式 2：經(jīng)問(wèn)卷調(diào)查，某班學(xué)生對(duì)攝影分別執(zhí)“喜歡”、 “不喜歡”和“一般”三種態(tài)度，其中執(zhí)“一般”態(tài)度的比“不喜歡”態(tài)度的多12 人，按分層抽樣方法從全班選出部分學(xué)生座談攝影，如果選出的5 位“喜歡”攝影的同學(xué)、1 位“不喜歡”攝影的同學(xué)和3 位執(zhí)“一般”態(tài)度的同學(xué)，那么全班學(xué)生中“喜歡”攝影的比全班人數(shù)的一半還多人題型二統(tǒng)計(jì)圖表問(wèn)題例 2 從一條生產(chǎn)線上每隔30 分鐘取一件產(chǎn)品，共取了n 件，測(cè)得其產(chǎn)品尺寸后，畫(huà)得其頻率直方圖如下 .尺寸在 15,45)內(nèi)的頻數(shù)為46. (1) 求 n 的值；(2) 求尺寸在 20,25) 內(nèi)產(chǎn)品的個(gè)數(shù) .

11、 變式 3: 有一個(gè)容量為100 的樣本，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：12.5，15.5 ，6； 15.5，18.5 ，16； 18.5，21.5 ，18； 21.5，24.5 ， 22；24.5，27.5） ，20； 27.5，30.5） ， 10； 30.5， 33.5） ，8. 列出樣本的頻率分布表；畫(huà)出頻率分布直方圖；估計(jì)數(shù)據(jù)小于30.5 的概率題型三平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差（方差）的計(jì)算問(wèn)題例 3 一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下：9.4 8.4 9.4 9. 9 9.6 9.4 9.7 去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為( ）a9.4，0.484 b9.

12、4，0.016 c9.5，0.04 d9.5，0.016 變式 4:x是12100,xxxk的平均數(shù)，a是1240,x xxk的平均數(shù)，b是4142100,xxxk的平均數(shù)， 則x，a，b之間的關(guān)系為變式 5：某人 5 次上班途中所花時(shí)間（單位：分鐘）分別為x、y、10、11、9已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 10，方差為2，則yx的值為（）a1 b2 c3 d4 題型四線性回歸分析例 4 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù): （1）請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；x3 4 5 6 y2.5 3 4 4.5 （2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程$ybxa$；（3）已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤；試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？變式 6:為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議現(xiàn)對(duì)他前7次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)x、物理成績(jī)y進(jìn)行分析下面是該生