線代習題答案第四章(精)

1、1.求下列向量間的夾角：(1 (TT122, 101=-=aB；(2 (T T3410, 2120=-aB解 1.(1 ,cos 29=aBBEB_面故 4n9 =。(2 ,cos 09 =aBaB也廬故 2n0 =。2用施密特正交化方法將下列向量組正交化T123111, 123, 149=aaa;(2 (T T T123111, 110, 100=ao2zx解(1 取(T11111=萌2122111(, 101(,=-=-aBBaBBB(T313233121122(, (, 1121(, (, 3-=-aBaBBaBBBBBB(2取(T1111仁=Ba(T：(1 (T2122111(, 11

2、12(, 3=-=-aBBaBBB(T313233121122(, (, 1110(, (, 2-=-aBaBBaB所得的23,黒是與 123, ,a等價的正交向量組.3.判斷下列矩陣是否為正交矩陣：(1 210112003?=-? A (2 112005123? =?A (3 122333212333221333? - ? - ? A 3.解(1 T2102105121101121220230032218?二二? -?A A 由于 T工 A A E 故所給矩陣不是正交矩陣。(2 T1011122351020053582531235838?=?A A 由于 T工 A A E 故所給矩陣不是正交

3、矩陣(3 T122122333333100212212010333333001221221333333?=-=? ?A A E 故所給矩陣為正交矩陣。4求下列矩陣的特征值與特征向量(1 211020413-?=? -? A (2 212533102-?=-? - ? A (3 123213336?=?A (4 110430102-?=- ?A 4.(1 解:2211020(2 (1 0413 入入入入入入-=-+=-A E 故 1231,2入入入=對于 11-=入解方程 0Ex (A=+4114112000000411000A E - ?=? - ?得基礎(chǔ)解系 1101 ?=?所以對應于 11

4、-=入的全部特征向量為 11nk 1(0 考 k對于 232 入笊時,解方程 2(- 0A E x =4114112000000411000- ? - =? - ?A E得基礎(chǔ)解系 23011,014?=?n所以對應于 232 入入的全部特征向量為 2233k k +(2 解:3212533(1 0102XX X X X-=-+=-A E 故 1231XXX=-1231XXX=時，解方程(+=0-?nn(23,不同時為 0 .A E x ?- =+000110101101325213E A 得基礎(chǔ)解系111? =?-?n所以對應于 1231XXX=全部特征向量為(0 k kn.(3 解:123

5、213(1(9 0336XXXXXXX-=-+-=-A E 故 1230, 1, 9XXX=當=10X時，解方程 0Ax=123123123101213033011011336033000000?=- ?A 得基礎(chǔ)解系 1111?=?-?_ ?n所以對應于 10X=全部特征向量為 111(0 k k當諂 1 入=時，解方程(+=022322311022300100133700000? +=?A E 得基礎(chǔ)解系 2110?=- ?n所以對應于 21 入二的全部特征向量為 222（0 k k 當洛 9 入時，解方程（-9 =0A Ex11028231111111928382301050123332

6、830105000-? -一?A E 得基礎(chǔ)解系 3211? =?n所以對應于 39X=全部特征向量為 333(0 k k 。耳(4 解:2110430(2(1 0入入入入入=-=-A E 故 12 入=23, 1?入入當=12 入時,解方程組（2 -=0A E x 得基礎(chǔ)解系 1001?=?X =n所以對應于 12 入的全部特征向量為 11kn1(0 k。當 231XX=，解方程組 (-=0A E x 得基礎(chǔ)解系 2121?=? - ?n所以對應于 231XX的全部特征向量為 222(0k kn5.矩陣 A 滿足 2235-0A A E =,求 A 的特征值5.解:設X是 A 的特征值,對應

7、的特征向量設為Mn則，X=Ann由已知 2235-0A A E =得222(235 235(235XX=-0A A E =A A Ennnnn由于 工耳故 2235XX-=0 解得 52或 1X=。6.已知 3 階矩陣 A 的特征值為 1,2,-2,求 3+A E 的特征值。6. 解:令(3f =+A A E ,則(31f 入又因為 A 的特征值為 1,2,-2,故 3+A E 的特征值為(1314f =+=; (2617f =+=; (2 615f -=-+=-所以 3+A E 的特征值為 4, 7,-5.7. 設 3 階矩陣 A 的特征值為 1,2, 3,求*2+A A E。7.解:由于

8、A 的特征值為 1,2, 3,故 1236=XX=A 令 *(2f =+A A A E ,則 6(2121f 入入入入入+=+A ,故 *2+A A E 的特征值為(16219f =+=; (23418f =+=; (32619f =+=所以 *2989648+=X=A A E。8. 設 A 為正交矩陣，若 仁-A ,求證 A 一定有特征值-1.8.證明:設矩陣 A 的特征 多項式為(|f 入入 E,|f -=+A E ,又因為 A 為正交陣所以 T =AA E ,于是(1 llllll(|1111( IIIT T T T f -=+=+=-=-+=-+=-+/A AA A E A A A E

9、 A E A E 由(1 f -兩個方程? |0+=A E，即 |(1 |0-=A E 故-1 為 A 的一個特征根9.設,A B都是 n 階矩陣，證明 AB 與 BA 具有相同的特征值。9. 證明:設 0 入是 AB 的任一特征值,豐是 cAB 與入對應的特征向量，即（入=ABaa,（1 用 B 左乘上式兩端，有（入=BA B Baa,（2若記=BBai（2 式可寫成（入=BA由（1 式知=工 0BB否則就有=0a因此入是矩陣 BA 特征值.設 0 入是 AB 的 特征值,豐（是 AB 與入對應的特征向量，即（0=? =ABaa0 亦即a是齊次方程組 （=ABa0,的非零解，于是齊次方程組的

10、系數(shù)行列式|0? =AB A B BA .因而齊次方程組（=BA x 0 有非零解B所以B滿足（0=? BA故 0 入是矩陣 BA 的特征值.綜上所述，矩陣 AB 的特征值都是矩陣 BA 的特征值，同理可證 BA 的特征值都 是AB 的特征值,故結(jié)論成立.10. 設 3 階矩陣 A 與 B 相似，其中 A 的特征值為 2, 12,1-,求 12-+B E。10. 解:由于 A 與 B 相似，故 A 與 B 具有相同的特征值，所以 B 的特征值為 2, 1,1-。令 1(2f -=+B BE ,則 1(2f 入入+,故 12-+B E 的特征值為 15(2222f =+=; 1(2242f =+

11、=; (1 121f -=-+=所以 15241102-+=x=B E。11. 判斷下列矩陣是否可對角化，說明理由? =?A ; (2 133353664-? =-? - ?A ; (3 1011?=?(1 200120012?-?A 11.解:(1 先求 A 的特征值3200120(2 012 入入入入入-=-=-=-A E 所以 A 的特征值為 1232入入入=0002100010? - ?=A E (2 2330R -= 工-=A故A 不能對角化(2 233353(2 (4 0664 入入入入入入-=+-=-A E 所以 A 的特征值為 1232, 4入入入對于 122入入=-33311

12、12333000666000?+-? -?=A E (2 132R +=-A E ,故 A 能對角化。(3 20(1 011 入入入入=-=-A E 所以 A 的特征值為 121入入=00?)-?-?A E =( 122R -= 工-A 故 A 能對角化。12. 設矩陣 A B ,其中 11120024202033500a -? =_= ? _ ?A ,B ,試求 a。12.解:由于AB故 ( ( tr tr =A 即B,14522a+=+所以 6a =o13. 31a?=-?n是矩陣 10212113a -?=-?A 的特征向量，試求 ao13. 解:設入是矩陣 A 的特征值，為矩陣 A 的

13、屬于特征值 入的特征向量.有入=An即,102331211113a a a ?-? _=-?即230233233a a a a ?； + = ?-+ = ?解得 0a =o14. 已知 100252241? =_ ? ?A，求 100Ao14.解:先求 A 的特征值200252(1 (3 0241 入入入入入入-=-=-=-A E所以矩陣 A 的特征值為 1231, 3入入入對于 121 入入=,000121242000242000-? -一? _ ?=A E 由于(132R -=-A E ,故 A 可對角化。解上述方程組得基礎(chǔ)解系為12211,001-? =?n對于 33入=20010010

14、0322211101124401100?-?=A E 得基礎(chǔ)解系3011?-? =?n取(123210, , 101011n?n?=?P 則有 1(1,1,3diag -=P AP從而, 1-=A P PA,1001001-=A P P 即A,1001100210121010111010113011- ?=?A 100210111110111220113121-?=-?-?10010010010010010010013123131322323? =_+ ? - ? _ ?-?15. 已知 3 階矩陣 A 的特征值為 1,-1,0,對應的特征向量分別為1231020, 3, 1121-?nn求矩

15、陣 A。15.解:因為 A 有 3 個不同的特征值,所以 A 可相似對角化，有112311,(,0- ? =_= ?P AP PA n于是11102110203110311210121- ?=-?-?A P PA546333768?=- ? - ?16. 試求正交矩陣 Q ,使得 1-AQ Q 為對角矩陣。(1 220212020A -?=-? - ?；(2 101020101?=?A 16.解:(1入入入入-=-20212022E A 2(4(1(+-=入故得特征值為 4, 1,2321=-=X當 21-=入時，由0220232024321=?-x x x 解得?=?2211321k x x

16、 xA P PA546333768?=- ? - ?單位特征向量可?。?322n?=?當 12=入時,由0120202021321=?-x x x 解得？? - =?2122321k x x x 單位特征向量可?。?2323n?=? - ?當 43=入時,由0420232022321=?_ x x x 解得? - =?1223321kxxx.單位特征向量可?。?23n?=-? 得正交陣 12212123221Q?-=?-? 1200010004Q AQ - ?=?(2 先求 A 的特征值2101020(2 011 入入入入入入-=-=-=-A E 得到 A 的特征值為 1230, 2入入入對于

17、 10 入=,101101002001010100(? - ?=A E得基礎(chǔ)解系? =?1101? =? - ?n 對于 232 入入=,1011012000000101000- ? - ? - ?=A E 得基礎(chǔ)解系23011,001? =?n 注意到 2 n 與 3 n 已經(jīng)正交,故只需將各向量單位化即可 令I(lǐng)hJIhill31212312300, 1,0(?=?kl hJI?nnn 以單位正交向量 123,00100為列得正交矩陣Q 使得1022-? =?Q AQ 17. (06 設 3 階實對稱矩陣 A 的各行元素之和均為 3,向量 12(1,2, 1 , (0,1,1 TT=-=-a

18、o是線性方程組=0Ax 的兩個解.(1 求 A 的特征值和特征向量；(2 求正交矩陣 Q 和對角矩陣A,使 T=AQ QA；17. 解:(1 由題設 A 的行和均為 3,有?=?=?1113333111A ,所以,(T1, 1, 13= 是 xA 的屬于特征值 3 的特征向量.又 21,a是 0=Ax 的線性無關(guān)的兩個解，即 21,a是 A 的屬于特征值 0 的兩個 線性無關(guān)的特征向 量.由此可知,特征值 0 的代數(shù)重數(shù)不小于 2.綜合之,A 的特征值 為 0, 0, 3.屬于 0 的特征向量為 2211aak k +其中 21, k k 是不全為零的常數(shù)；屬于 3 的特征向量為 3ak 其中

19、 k 是非零常數(shù).16131062312161Q ,?(2將 21,a正交化,令 11aB=,?(T 1,2, 11111-=BBY, (T 10, 121222-=1BB Y3 , (T1333=BB令？?？?- =312?-=?-=-=2102112163110 ,(1111222單位化? =A30(則有？?？?=300AQ Q T.18.已知 A 是 3 階實對稱矩陣，特征值是 3, 6,0-, 3 的特征向量是 1(1,1 , 6T a 入=-的特征 向量是 2(, 1,1 Ta a =+求矩陣 A。18. 解:因為 A 是實對稱 矩陣，不同特征值的特征向量相互正交，故12(1 10T

20、 a a a =+= 所以1a =-設 0 入的特征向量 3123(, , Tx x x =則，31123321300T TX X X X X ? =-+= ? =-+= ?aaaa解出 3(1,2,1 T=口由 12312(, , (3, 6, =-0A得aaaa1112123360111214(, 2, (, , 300102111360111412- ?0Aa a a a已知 9 巨陣 A B , 200200001, 0001001b aA B (1 求參數(shù),a b ;(2 求正交矩陣 Q ,使得 1-AQ Q =Bo解:(1 顯然,B 的特征值為 2, , 1b -,220001(2

21、(1 01a a 入入入入入入入-=-=-=-A E 由于A B ,所以，A B 具有相同的特征值，將 1 入=代入上式 得 0a=，由此可得 A 的特征值為 2, 1,-1 所以 1b =o(2 對于 2 入=解齊次線性方程組(2 -0A E x =0000002021010012001? -=- ? - ?AE 得基礎(chǔ)解系?=?-?10000?1100=n對于 1 入=解齊次線性方程組(-0A E x =100100011011011000? -=_ ? - ?AE 得基礎(chǔ)解系(T2011 =n對于 1 入二-解齊次線性方程組(+0A E x =30010001101101100CP? +

22、=?AE 得基礎(chǔ)解系(T3011=-n123,兩兩n交，只需將其單位化即可得 Q ,=?-?Q 使得 1-Q AQ =Bo自測題一、填空題（本大題共 5 小題,每小題 2 分，共 10 分1. 矩陣 1111111111111111?=?A 的非零特征值是_ 案:42. 設 3 階矩陣 A 的特征值是 1,2, 3 則矩陣 22=-+B A A E 的特征值為_答案：0, 1,43.1 是 21253112a-?=? - ?A 的特征值，則a =_答案：-44. 設矩陣A B , A 的特征值為 1111,2345，則 1-=B E_ 答案:245. 實對稱矩陣 A 的屬于不同特征值的特征向量

23、_答案:正交二、單項選擇（本大題共 5 小題,每小題 2 分，共 10 分1. 設 3 階矩陣 A 的特征值為 1, 0,-1,2（21f x x x =-,則（f A 的特征值為（A .-2,-1,2B .-2,-1,-2C . 2, 1,-2D . 2, 0,-2答案:A2. n 階矩陣 A 有 n 個不相等的特征值是矩陣 A 可相似對角化的（A .充分條件 B .必要條件 C .充要條件 D .既不充分也不必要條件 答案:A3.下列命題錯誤的是（A .屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān) B .屬于同一特征值的特征向量線性相關(guān) C .相似矩陣必有相同的特征值 D .特征值相同的矩陣不一定相似

24、 答案:B4.設 A 為 3 階矩陣,A的特征值為 12, ,22-,則下列矩陣中可逆的是（A . 2+E A B . 32+E AC.2+EAD . 2-A E答案:B 5.與矩陣 1203?=?A 不相似的矩陣是（A . 1023?B . 3501?C.1133?D . 2112?答案:C三、計算（本大題共 6 小題,每小題 10 分,共 60 分1.求矩陣 111023001-?=-?A 的特征值與特征向量。1.解：（21102312001 入入入入入入-二二A E得特征值 2,1321=入對于 121=入解齊次線性方程組（-0A E x =,011010013001000000-?二?

25、AE 得基礎(chǔ)解系（T1100=nA.的屬于特征值 1 的全部特征向量為 111（0 k k 工耳.對于 23=入解齊次線性方程組（2 -0A E x =1111102003001001000- ? _=_ ? - ?A E得基礎(chǔ)解系(T2110=-nA.的 屬于特征值 2 的全部特征向量為 222(0 k k 工耳2.設 A 是 n 階實對稱矩陣，滿足 32332-+-=0A A A E ,求 A 的特征值。2.解:設入是 A 的特征值,工(是 A 的屬于特征值 入的特征向量，即有入=An則,3232332(332 入入入-+-=-+-=( 0A A A En由于工 0n故 323320 入入

26、入-+-=，解得12,32,入入=因為實對稱矩陣的特征值必為實數(shù)，所以 A 的特征值為 2 入=3.設矩陣 1333366a b -?=?- ?A 有特征值 122, 4 入入試求參數(shù),ab 的值。提示:本題只給出特征值而沒有 給出特征向量，一般用特征方程 0 入-=A E 求解。3.解:由于 122, 4 入入=-=A 的特征 值，有 20,40+=-=A E A E ,即33333323230503(5(4 0662004a a a b b b -+=+=+=+-=-+-A E 33333343430763(7(2 7206640122a a a b b b =-=+=-+=+A E解軍彳

27、得 5, 4a b =-=。4.判斷 200121101? =- ?A 矩陣是否可對角化，若可以對角化，求出可逆矩陣 P ,使得 1-=P APA為對角 陣。4.解:先求特征值2200121(2 (1 011 入入入入入入-二二二A E所以 A 的特征值為 1231,2 入入入。=對于二重特征值 232XX=判斷是否有（2 321R -=- =A E 0000002101000101101?A E 顯然（2 321R -=-=A E ,所以矩陣 A 可以對角化。解齊次線性方程組（2-0A E x =,得基礎(chǔ)解系（T T23010, 10仁=nn于 11X=求解齊次線性方程組（-0A E x =,即10010011101110000CP? _ ?=A E 得基礎(chǔ)解系（T101仁n?。?23001110101? =?二?-?Pnn則,1100020002-?=?P APA5 設矩陣 211121112- ? =-? - ?A，求正交矩陣 Q,使得 1-Q AQ 為對角矩陣。5.解:先求特征值2111210112 入入入入-=-=-A E 特征值為 1231,4入入入對于 121XX=求解齊次線性方程組（-0A E x =111111111001111000- ?二? - ?AE 得基礎(chǔ)解系(T T12110, 101=nn對于 34 入=求解齊次線性方程組(