2014年全國高中數(shù)學(xué) 青年教師展評課 三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計（青海西寧五中）

1、“三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容解析：三次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)人教版選修2-2第一章第三節(jié)的內(nèi)容。三次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個重要載體，有著重要的地位，圍繞三次函數(shù)命制的試題，近幾年來在全國各地高考及模擬試題中頻繁出現(xiàn)，已成為高考數(shù)學(xué)的一大亮點，特別是文科數(shù)學(xué)。因此學(xué)習(xí)和掌握三次函數(shù)的基本性質(zhì)很有必要。但教材也沒提及三次函數(shù)的這一概念，題型也局限在只是解決系數(shù)為常數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題，各種教輔資料中也往往只從求導(dǎo)、求極值、求單調(diào)區(qū)間等角度進行一些零碎的、淺表的探索，而很少對它作出比較系統(tǒng)地、實質(zhì)性地闡述。本節(jié)課是高三復(fù)習(xí)探究課，具體內(nèi)容是：借助信息技術(shù)、通過幾何畫板的操作生

2、成關(guān)于三次函數(shù)的動態(tài)效果，從而以三次函數(shù)的圖像的形狀特征為主線，探究三次函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，加強學(xué)生對三次函數(shù)圖像與性質(zhì)的感性認(rèn)識、引發(fā)學(xué)生的理性思考，形成經(jīng)驗。同時在此過程中體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與類比等思想方法?；趯滩牡恼J(rèn)識和分析，本節(jié)課的教學(xué)重點和難點分別確定為：重點：（1）探究系數(shù)a,b,c,d的大小的變化與三次函數(shù)圖像之間的變化規(guī)律；（2）根據(jù)圖像探究三次函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性和極值。難點：根據(jù)圖像分析出三次函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性和極值。二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：  根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和地位，讓學(xué)生通過這節(jié)課的教學(xué)達到下列三個目標(biāo)： 1、知識與能力： 

3、60; 加深對三次函數(shù)圖像和性質(zhì)的認(rèn)識，學(xué)會利用三次函數(shù)解決問題；增強分析問題，解決問題的能力。   培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力和利用計算機軟件幾何畫板探求新知識的能力。    掌握一定的多媒體環(huán)境下研究性學(xué)習(xí)的方法和手段，提高現(xiàn)代教育技術(shù)素養(yǎng)。   2、過程與方法：通過對函數(shù)性質(zhì)的研究，引導(dǎo)學(xué)生建立討論函數(shù)性質(zhì)的基本框架，知道函數(shù)性質(zhì)的基本內(nèi)容及其作用，掌握研究函數(shù)性質(zhì)的基本過程和方法。   3、情感態(tài)度與價值觀： 通過直觀的圖形和抽象的函數(shù)性質(zhì)的統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生的辨證唯物主義思想觀；在研究的過程中，通過同學(xué)之間的討論與協(xié)

4、作，培養(yǎng)合作精神。- 1 - / 9三、學(xué)生學(xué)情分析：本節(jié)課，學(xué)生已初步搭建起研究函數(shù)的基本平臺，借助導(dǎo)數(shù)的工具和圖形技術(shù)（幾何畫板）來研究三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，二次函數(shù)是重要的且具有廣泛應(yīng)用的基本初等函數(shù)，學(xué)生對此已有較為全面、系統(tǒng)、深刻的認(rèn)識，并在某些方面具備了把握規(guī)律的能力。三次函數(shù)雖同樣是初等函數(shù)，學(xué)生能通過導(dǎo)數(shù)解決一些三次函數(shù)性質(zhì)相關(guān)的題型，但利用幾何畫板探究三次函數(shù)的性質(zhì)仍顯力不從心。首先學(xué)生對幾何畫板不夠熟悉。其次三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)本身就有一定的難度。對于觀察圖像探究系數(shù)的變化對圖像的影響，學(xué)生通過自己的努力基本能夠解決。但由此歸納

5、總結(jié)性質(zhì)就存在問題，因為函數(shù)的圖像與性質(zhì)本身就很復(fù)雜，對學(xué)生能力方面的要求較高，不僅需要調(diào)動廣泛的知識，而且需要有比較清晰的思路。因此這方面教師要通過設(shè)置問題、追問、恰當(dāng)提示等方法加強引導(dǎo)，從而達到突破教學(xué)難點。   四、教學(xué)策略分析： 根據(jù)這節(jié)課內(nèi)容的特點，本節(jié)課設(shè)計強調(diào)學(xué)生主動探究式的學(xué)習(xí)方式，這也是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念。為突破難點，緊緊圍繞教學(xué)重點，結(jié)合學(xué)生已有的基礎(chǔ)：會用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的性質(zhì)，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，搭設(shè)臺階，并以追問或問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生積極參與教學(xué)。利用多媒體呈現(xiàn)和結(jié)合幾何畫板動態(tài)演示，讓學(xué)生憑借圖象的直覺去發(fā)現(xiàn)、去探索，逐步加深對三次函

6、數(shù)圖象和性質(zhì)的認(rèn)識，實現(xiàn)從具體到抽象，從感性到理性。對于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生，讓他們回答較為基礎(chǔ)的問題，若如需要，適時給予點撥、提示、鼓勵，并給他們充分思考的時間和空間。對于有良好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同學(xué)通過提問和追問的形式滿足他們的求知欲望，激勵他們進行深入學(xué)習(xí)，并適時給他們提供展示的平臺。在探究圖像和性質(zhì)的過程中為充分調(diào)動每個學(xué)生的積極性，讓同學(xué)們在小組內(nèi)通過自主、合作探究達到教學(xué)目標(biāo)。教學(xué)中通過學(xué)生對問題的回答和練習(xí)的情況、以及學(xué)生的精神狀態(tài)的觀察來了解學(xué)生學(xué)習(xí)對知識的理解和掌握情況并判斷其原因、及時調(diào)控教學(xué)進度或采取有針對性的補救教學(xué)。同時為學(xué)生提供反思學(xué)習(xí)過程的機會、引導(dǎo)學(xué)生檢查學(xué)習(xí)效果。五、教學(xué)流

7、程：（一）、設(shè)置情景、導(dǎo)入新課同學(xué)們，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的一般形式？那么你能類比二次函數(shù)給出三次函數(shù)的定義嗎？學(xué)生回答，教師根據(jù)學(xué)生回答歸納：形如的函數(shù)叫做三次函數(shù)。定義域：；思考：三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是什么？答：導(dǎo)數(shù)是：，是二次函數(shù)。思考：判別式是嗎？答：不是，是追問：二次函數(shù)的系數(shù)會對函數(shù)的圖像與性質(zhì)有怎樣的影響？請同學(xué)們回想一下、然后思考并回答以下問題 （同學(xué)們雖說對二次函數(shù)較熟悉，但提高到理論層面仍有點難度：所以通過以下問題串引導(dǎo)。）（1）系數(shù)a是如何影響圖像的？答：開口：a為正時開口向上，a為負(fù)時開口向下 大?。篴的絕對值越大，開口越小。 a的絕對值越小，開口越大。（2）系數(shù)a和b的

8、變化是如何影響圖像的？答：對稱軸的左右平移變化 （3）系數(shù)c對圖像的影響是怎樣的？對函數(shù)的單調(diào)性影響嗎？答：（上下平移、不影響）（4）圖像與軸的交點個數(shù)由誰來確定？（由判別式來確定，這里是個綜合參量）學(xué)生思考回答，教師因勢利導(dǎo)：由剛才的復(fù)習(xí)，我們知道，三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和系數(shù)的變化有關(guān)，不難看出，三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和系數(shù)a,b,c,d的變化有直接的影響。那么系數(shù)是如何影響函數(shù)的圖像與性質(zhì)呢？就讓我們帶著這個問題一同進入今天的學(xué)習(xí)探究中。（引入課題）設(shè)計意圖：旨在引導(dǎo)學(xué)生從熟知的二次函數(shù)的情形出發(fā)，類比聯(lián)想，發(fā)散、拓展學(xué)生思維。為接下來探究三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)作鋪

9、墊。并由此導(dǎo)入新課。（二）、借助工具、嘗試探究：1、探究一：初識系數(shù)a,b,c,d的變化將怎樣影響三次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 例：利用幾何畫板畫出三次函數(shù) 的圖像，觀察圖像并思考一下問題。 思考：你能猜想哪個系數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性沒有影響？ 讓學(xué)生類比二次函數(shù)做出猜想，之后幾何畫板演示驗證 結(jié)論：系數(shù)d不影響函數(shù)的單調(diào)性 觀察系數(shù)a變化時函數(shù)圖像有何特征？（教師通過幾何畫板演示讓學(xué)生觀察，教師適時提示引導(dǎo)學(xué)生思考、歸納圖像的特征）當(dāng)系數(shù)a >0時，系數(shù)b和c分別變化時，圖像有何特征？追問：（1）當(dāng)系數(shù)a >0時，系數(shù)b和c都變化呢？（2）那么當(dāng)系數(shù)a >0時，系數(shù)a,b,c三個都變化時

10、，圖像特征會變化嗎？引導(dǎo)學(xué)生分析得出結(jié)論：分析函數(shù)的圖像時只要看兩個量：系數(shù)a和導(dǎo)函數(shù)的判別式。（3）那么當(dāng)系數(shù)a<0時，請同學(xué)們類比a>0猜想一下圖像變化的規(guī)律？（學(xué)生類比 a>0猜想，教師通過幾何畫板演示驗證）（4）根據(jù)系數(shù)a和導(dǎo)函數(shù)的判別式的不同情況，完成下表。（鑒于學(xué)生的不同認(rèn)知程度，教師在通過幾何畫板演示，讓學(xué)生認(rèn)真觀察，自主探究或同桌或前后討論交流、合作研究。教師適時加以點撥、歸納總結(jié)）歸納總結(jié)：三次函數(shù)圖象a>0a<0>00>00圖象y 0X y xxy0xy0設(shè)計意圖：本題探究系數(shù)對單調(diào)性的影響，讓學(xué)生觀察圖像有多種情形下引導(dǎo)學(xué)生明確探

11、究思路和方向，并正確進行分類。2、探究二：三次函數(shù)的單調(diào)性、極值問題：由探究一不難發(fā)現(xiàn)，三次函數(shù)單調(diào)性和極值。其中：兩種情形下三次函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，另外兩種不是單調(diào)函數(shù)。那么它在上一定有幾個單調(diào)區(qū)間，如何來確定單調(diào)區(qū)間？答：利用導(dǎo)函數(shù)來確定。（教師根據(jù)學(xué)生回答情況引導(dǎo)學(xué)生思考三次函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像間的關(guān)系）追問：觀察下面圖像，你能說出它們的單調(diào)區(qū)間嗎？追問：圖中的的值如何來確定呢？x1x2x1x2x（鑒于學(xué)生抽象思維的局限，教師通過幾何畫板演示三次函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的圖像，讓學(xué)生直觀感知。明確的實際意義和求法）注： =，記=，（其中x1,x2是方程=0的根，且x1<x2，用求根公式不難求得

12、：，）根據(jù)上圖能說三次函數(shù)的極值情況嗎？學(xué)生回答，教師引導(dǎo)歸納、并完成下表。歸納總結(jié)：函數(shù)的圖像與性質(zhì)（單調(diào)性、極值）。a>0a<0>00>00圖象x1x2xx0x2xx0x單調(diào)區(qū)間在上,是增函數(shù)；在上,是減函數(shù)；在R上是增函數(shù)在上，是增函數(shù)；在上，是減函數(shù)在R上是減函數(shù)極值無極值無極值設(shè)計意圖：利用多媒體呈現(xiàn)三次函數(shù)的圖象，從感性到理性，憑借圖象的直覺去發(fā)現(xiàn)、去探索，從數(shù)形結(jié)合層面進行思考逐步加深對三次函數(shù)圖象與性質(zhì)的認(rèn)識。3、探究應(yīng)用、加深理解：xyO12例1、已知三次函數(shù)f(x) ax3+bx2+cx+d的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖所示,則y =f (x)的圖象最有可能的

13、是 （ C） yO12x y yx yx12O121 2 xOO設(shè)計意圖：直接給出導(dǎo)函數(shù)圖像，然后設(shè)計了四個選項，意在通過對圖像的觀察，問題的判斷，直接考查三次函數(shù)的性質(zhì)。同時也培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識和能力。例2、（2010北京卷） 設(shè)定函數(shù)，且方程的兩個根分別為1，4。（）當(dāng)a=3且曲線過原點時，求的解析式；（）若在無極值點，求a的取值范圍。解：由，得：因為的兩根分別是1，4所以： - （）當(dāng)時，由（1）式得：解得：又因為所以：（）由于，所以若在無極值點等價于在內(nèi)恒成立。也即： -（2）又由（1）式得：所以：，解得：4、深化練習(xí)、鞏固提升：（2010江西卷）設(shè)函數(shù).（1）若的兩個極值點為，且

14、，求實數(shù)的值；（2）是否存在實數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù)？若存在,求出的值；若不存在，說明理由。解：由 得： （1）由已知有，所以，解得：； （2）由，所以不存在實數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù). 設(shè)計意圖：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等基本知識。通過練習(xí)，加深對所學(xué)內(nèi)容的理解，推進了三次函數(shù)性質(zhì)的深化與三次函數(shù)方法的研究。同時也提升學(xué)生運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的能力。5、課堂小結(jié)：1，請學(xué)生對今天所學(xué)內(nèi)容進行小結(jié)。2，本節(jié)課涉及的思想方法有哪些？3、同學(xué)們通過學(xué)習(xí)本節(jié)課還有什么體會和疑惑，通過整理下面的數(shù)學(xué)日志反饋上來。數(shù)學(xué)日志：_年_月_日 星期_天氣_學(xué)習(xí)課題_ 自我評價_ 知識歸納與整理： 數(shù)學(xué)思想和方法： 寫給老師的話：（對老師說說你的收獲與困惑） 設(shè)計意圖：讓學(xué)生系統(tǒng)化、條理化所學(xué)知識。并引導(dǎo)學(xué)生體會幾何畫板的作用，和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，并將研究的方法遷移到其他函數(shù)的研究之中。數(shù)學(xué)日志的設(shè)計意圖：通過學(xué)生的數(shù)學(xué)日記，溝通教師與學(xué)生的交流，從中了解到學(xué)生理解問題的方式，看到學(xué)生的解題思路、推理過程、數(shù)學(xué)方法的掌握情況以及還存在的問題，這不但有利于教師及時掌握各個學(xué)生的學(xué)習(xí)情況并加以幫助，更有利于提高教師自己對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的把握能力以及教學(xué)調(diào)控能力。重要的還可以通過疑惑解答使學(xué)生再生知識，激起探究未知的欲望。6、作業(yè)：1、完成課本P33習(xí)題22、設(shè)函數(shù)，其中a為