微積分試題及答案

1、一、選擇題(每題2分)1、設(shè)幾丫)定義域?yàn)?1,2),則/(IgA)的定義域?yàn)?)A. (0,lg2)(0, lg2(10,100) D、(1,2)2、x=-l 是函數(shù) f(x) =C、無(wú)窮間斷點(diǎn)D、不是間斷點(diǎn)3、試求lim等于0A、14XE. 0C、14、卄yx若二+=1,求:/等于0x yA、2x-ye、yfC、272y-x2y-x2x-y5、曲線y =2x二的漸近線條數(shù)為01 一疋N、0E. 1C、2A、跳躍間斷點(diǎn)E、可去間斷點(diǎn)x + 2y2x-y6、下列函數(shù)中，那個(gè)不是映射0E、y2 = -x2 +1D. y = In x (x > 0)A、/ =x (xeRyR)C> y

2、 =x2二、填空題(每題2分)K y=-=L=的反函數(shù)為yj + x22、設(shè)/(x) = limW土，則/(x)的間斷點(diǎn)為y nx +1 已知常數(shù)a. b,limT+“'+"=5,則此函數(shù)的最大值為j -x 己知直線y = 6x-k是y = 3x啲切線，則k= 求曲線xny + y-2x = U在點(diǎn)(1,1)的法線方程是三、判斷題（每題2分）1、函數(shù)）,=亠是有界函數(shù)1 + JC( )( )( )( )2、有界函數(shù)是收斂數(shù)列的充分不必要條件3、若lim£ = s,就說(shuō)0是比a低階的無(wú)窮小a4、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)未必是它的駐點(diǎn)5、曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)四、計(jì)算

3、題（每題6分）1、求函數(shù)y = xSin；的導(dǎo)數(shù)2、已= x arctan x -ln（l + x2）,求令23、已知a;2 -2xy + y3 = 6,確定y是冊(cè)函數(shù)，求y"土 . tan x-sin x4、求 hm；z xshrx5'計(jì)算J（l+去石16、計(jì)算 lim（cosx）v五、應(yīng)用題1、設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品X件時(shí)的總收益為Ma） = 100x-x2，總成本函數(shù)為C（x） = 200 + 50x + x2,問(wèn)政府對(duì)每件商品征收貨物稅為多少時(shí)，在企業(yè)獲得利潤(rùn)最大的情況下，總稅額最大？ （8分） 2、描繪函數(shù)- = x2+丄的圖形（12分）X六、證明題（每題6分）1、

4、用極限的定義證明：設(shè)Hm f(x) = AMhmf(-) = A YT+XX-MT X2、證明方程X/ = 1在區(qū)間（0,1）內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)選擇題1、C 2、c 3、A 4. B 5、D 6. E二、填空題1、x = 02、a = 6,Z? = 73、18 4、35、x+y 2 = 0三、判斷題1、/2、X 3. 74、X 5. X四、計(jì)算題y=(% xy1 z 1 _ 1 . 1sinIn ,vx(e x ycos (- )lnx + sin xx x解:cly = fx)dx-arctan xdx2x-2y-2xy3y2yf = 0f 2x-3y/. y =2x-3/._ (2 - 3

5、/)(2x - 3/> - (2x - 2y)(2 - 6yyf)(2x-3 嚴(yán) y4、解:兀2當(dāng)x T 0時(shí)、x tanx sinx,l-cosx 一2原 limtanA(1C°SX)io xsin" x5、解:原式可=6j厶J 1 +尸j i+尸= 6f(l-)J 1 + f=6r 6 arctan f + C=6yfx 6 arctan >/x + C6、解:原式=limIn cos xlim In cos x其屮：lim - In cos x In cos x=lim5K)十x2(sin x)=iim cos A _“T(產(chǎn)2x.tan x1=lim=“

6、亠十 2x2原式=e五、應(yīng)用題1、解：設(shè)每件商品征收的貨物稅為"，利潤(rùn)為厶(力L(x) = R(x) 一 C(x) 一 ax=lOOx-x2 - (200 + 50x + a 2 ) 一 ax=-2x2 + (50 - a)x - 200Lx) =-4x + 50-6/令Z/(x) = o,Wx =竺0，此時(shí)厶取得最大值4稅收TP,型二®4r = 1(50-26/)令廠=0得O = 25L = -丄v02.當(dāng)“ =25時(shí)，T取得最大值2、解:D = ( yo,0)u(0,+8 )間斷點(diǎn)為 x = 0 y=2x-JC令;/=owijx=-!=返2r=2+-X令)"=

7、0 貝 ljx = -lX(-00,-1)-1(-1,0)01V?y10+yH+0+y拐點(diǎn)無(wú)定義極值點(diǎn)/漸進(jìn)線：lim y = oo /. y無(wú)水平漸近線Xfg *lim y = 0 x = 0是y的鉛直漸近線 x-»0lim= l = o)y無(wú)斜漸近線28 X X六、證明題1、證明： lim/(x) = A:./s >O,BM >0當(dāng)x> M時(shí)，*|/(x)-A<£取歹二丄>0,貝lj當(dāng)0<兀< 丄時(shí)，有丄M MMx/(_)_ < sx即 lim/() = A證明:令/(x) = xex -1/(x)在(0,1)上連續(xù)/(0) = -1<0,/(1) = -1>