應(yīng)用概率統(tǒng)計之隨機變量的數(shù)字特征

1、本資料來源第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 在前面的課程中，我們討論了隨機變量在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分的概率分布，那么布，那么X的全部概率特性也就知道了的全部概率特性也就知道了. 然而，在實際問題中，概率分布一般然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的是較難確定的. 而且在一些實際應(yīng)用中，而且在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.例如例如考察考察某型號電視機的質(zhì)量：某型號電視機

2、的質(zhì)量： 平均壽命平均壽命1800018000小時小時200200小時小時. . 考察一射手的水平考察一射手的水平: 既要看他的平均環(huán)數(shù)是既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高否高, 還要看他彈著點的范圍是否小還要看他彈著點的范圍是否小, 即數(shù)據(jù)的即數(shù)據(jù)的波動是否小波動是否小. 由上面例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些由上面例子看到，與隨機變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機變量但能清晰地數(shù)值，雖不能完整地描述隨機變量但能清晰地描述隨機變量在某些方面的重要特征描述隨機變量在某些方面的重要特征, , 這些數(shù)這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義字特征在理論和實踐上都具有重要意義. .q r.v.的平均取值

3、數(shù)學期望 q r.v.取值平均偏離均值的情況 方差本本章章內(nèi)內(nèi)容容隨機變量某一方面的概率特性 都可用數(shù)字數(shù)字來描寫4.1 隨機變量的數(shù)學期望隨機變量的數(shù)學期望例.,100：乙擊中的環(huán)數(shù)：甲擊中的環(huán)數(shù)下：次，他們的射擊結(jié)果如甲、乙兩人各射擊YX平較高？試問哪一個人的射擊水為甲、乙的平均環(huán)數(shù)可寫5 . 96 . 0103 . 091 . 0810060103091081 . 93 . 0105 . 092 . 081003010509208的好，甲的射擊水平要比乙因此，從平均環(huán)數(shù)上看5 . 96 . 0103 . 091 . 08EX1 . 93 . 0105 . 092 . 08EYX8910P

4、0.10.30.6Y8910P0.20.50.3用分布列表示設(shè) X 為離散 r.v. 其分布列為, 2 , 1,)(kpxXPkk若無窮級數(shù)1kkkpx其和為 X 的數(shù)學期望，記作 E( X ), 即1)(kkkpxXE1. 數(shù)學期望的定義數(shù)學期望的定義絕對收斂, 則稱定義定義1設(shè)連續(xù) r.v. X 的 d.f. 為)(xf若廣義積分dxxxf)(絕對收斂, 則稱此積分為 X 的數(shù)學期望記作 E( X ), 即dxxxfXE)()(定義定義22 0.40 0.32 0.30.2EX P86.1 設(shè)隨機變量 X 的分布律為()E X求例例 X B ( n , p ), 求 E( X ) .解解n

5、kknkknppkCXE0)1 ()(nkknkppknknnp1)1()1(1)1 ()!()!1()!1(10) 1(1)1 (nkknkknppCnpnp特例 若X B ( 1 , p ), 則 E(X) p例例 X P (), 求 E( X ) .)(PX, 0, 2 , 1 , 0,!)(kekkXPk00!)(kkkkekkkpXE11)!1(kkke0!kkkeee例例3 設(shè)設(shè)r.v X服從幾何分布，服從幾何分布，P(X=k)=p(1- -p)k-1, k=1,2,，其中其中0p1,求求E(X)解：解：記記q=1- -p11)(kkkpqXE1)(kkqp1)(kkqp)1(qq

6、pp1求和與求導求和與求導交換次序交換次序等比級數(shù)等比級數(shù)求和公式求和公式0, 00,)(xxexfx0)(dxexXEx例例 X E () , 求 E( X ) .|00dxexexx1|10 xe例例 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .解解dxexXEx222)(21)(dueuuux2221）（令常見分布的數(shù)學期望常見分布的數(shù)學期望分布期望概率分布0-1分布pXPpXP1)0() 1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1 ()(npP(), 2 , 1 , 0!)(kkekXPk分布期望概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布其它, 0,1)(bxa

7、abxf2ba E()其它, 0, 0,)(xexfx1N(, 2)222)(21)(xexf注意注意 不是所有的不是所有的 r.v.都有數(shù)學期望都有數(shù)學期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為xxxf,)1 (1)(2dxxxdxxfx)1 (|)(|2但發(fā)散它的數(shù)學期望不存在!2.隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 設(shè)已知隨機變量設(shè)已知隨機變量X的分布，我們需要計的分布，我們需要計算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個函數(shù)的期的某個函數(shù)的期望，比如說望，比如說g(X)的期望的期望. 那么應(yīng)該如何計算那么應(yīng)該如何計算呢？呢？如何計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望如何計算隨

8、機變量函數(shù)的數(shù)學期望? 一種方法是一種方法是: 因為因為g(X)也是隨機變量，也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由X的分布的分布求出來求出來. 一旦我們知道了一旦我們知道了g(X)的分布，就可的分布，就可以按照期望的定義把以按照期望的定義把Eg(X)計算出來計算出來. 使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的的分布，一般是比較復(fù)雜的 .是否可以不求是否可以不求g(X)的分布而只的分布而只根據(jù)根據(jù)X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的下面的基本公式指出，答案是肯定的

9、. 公式的重要性在于公式的重要性在于: 當我們求當我們求Eg(X)時時, 不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的的分布就可以了分布就可以了. 這給求隨機變量函數(shù)的期這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便望帶來很大方便.q 設(shè)離散 r.v. X 的概率分布為, 2 , 1,)(ipxXPii 若無窮級數(shù)1)(iiipxg絕對收斂，則1)()(iiipxgYE (1) Y = g(X ) 的數(shù)學期望的數(shù)學期望q 設(shè)連續(xù) r.v. X 的 d.f. 為 f (x)dxxfxg)()(絕對收斂, 則dxxfxgYE)()()(若廣義積分4 .13P86.1 設(shè)隨機變量 X 的分

10、布律為)53(2XE求3 . 05233 . 05034 . 05)2(3)53(2222XE 0,00,)(xxexfx220( )( )xxxE Yef x dxee dx310313 xe例 設(shè)隨機變量 X 的概率密度為求Y = e2X 的數(shù)學期望. 市場上對某種產(chǎn)品每年需求量為 X (t)，X U (2000,4000), 每出售1t可賺3萬元 , 若售不出去，則每臺需保管費1萬元，問應(yīng)該組織多少貨源, 才能使平均利潤最大？最大期望值為多少？ 解解其它, 0,40002000,20001)(xxfX設(shè)組織n t貨源, 利潤為 Y 顯然，2000 n 0，引入新的隨機變量)()(*XDXEXX驗證E (X* )=0，D (X* )=10)()()(1)()(*)(XEXEXDXDXEXEXE1)(1)()(1XDDXXEXDXD*)(XD標準化隨機變量標準化隨機變量設(shè)隨機變量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X) 0, 則稱)()(XDXEXX為 X 的標準化隨機變量. 1)(,0)(XDXE41,0;( )40,0.tetf tt1401(1)0.22.4tpP Tedt)(ETP874.10習題解析10010030011002000.780.22Ypp則利潤( )34E Y (0)?P X