第二 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1第二第二 連續(xù)連續(xù)(linx)系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的時域分析第一頁，共38頁。第1頁/共38頁第二頁，共38頁。y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)一、微分方程一、微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)的經(jīng)的經(jīng)典解典解第2頁/共38頁第三頁，共38頁。特征根齊次解yh(t)單實(shí)根et ？ r重實(shí)根 (Cr-1 tr-1+ Cr-2 tr-2+ C1 t1+C0) et一對共軛復(fù)根1,2=je tCco

2、s(t)+Dsin(t)或Acos(t-)其中A e j =C+jDr重共軛復(fù)根Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+ Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+ A0 cos(t+0) e t齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵f(t)的函數(shù)形式無關(guān)(wgun)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；第3頁/共38頁第四頁，共38頁。問：若問：若f(t)=c（常數(shù)（常數(shù)(chngsh)），特解形式？），特解形式？第4頁/共38頁第五頁，共38頁。例描述某系統(tǒng)(xtng)的微分方程為y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（1）當(dāng)f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2

3、，y(0)= -1時的全解；（2）當(dāng)f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。第5頁/共38頁第六頁，共38頁。全解為：全解為： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 注意：自由響應(yīng)的系數(shù)注意：自由響應(yīng)的系數(shù)CjCj由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵由系統(tǒng)的初始狀態(tài)和激勵(jl)(jl)信號共同來確定信號共同來確定 自由(zyu)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)第6頁/共38頁第七頁，共38頁。（2）當(dāng)f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0時的全解。第7頁/共38頁第八頁，共38頁。若輸入(shr)f(t)是在t=0時接入系統(tǒng)，

4、則確定待定系數(shù)Ci時用t = 0+時刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了輸入(shr)信號的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。第8頁/共38頁第九頁，共38頁。例：描述例：描述(mio sh)(mio sh)某系統(tǒng)的微分方程為某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2y(0-)=2，y(0-)= 0y(0-)= 0，f(t)=(t)f(t)=(t)，求，求y(0+)y(0+)和和y(0+)y(0+)。第9頁

5、/共38頁第十頁，共38頁。對式對式(1)(1)兩端兩端(lin dun)(lin dun)積分有積分有于是由上式得于是由上式得y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2因?yàn)橐驗(yàn)閥(0+) = y(0-)=2 y(0+) = y(0-)=2 ，所以，所以y(0+) y(0-) = 2 y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2 y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可見，當(dāng)微分方程等號右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時，響應(yīng)由上可見，當(dāng)微分方程等號右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時，響

6、應(yīng)(xingyng)y(t)(xingyng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時，則不會躍變。含時，則不會躍變。第10頁/共38頁第十一頁，共38頁。njtzijzijeCty1)(由于由于(yuy)(yuy)激勵為零，故有激勵為零，故有yzi(j)(0+)= yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-), (j=0,1,n-1)yzi(j)(0-) = y (j)(0-), (j=0,1,n-1)第11頁/共38頁第十二頁，共38頁。)()(1tyeCtyptnjzsjzsCzsj

7、為待定系數(shù)為待定系數(shù)(xsh)，yp(t)為方程的特解為方程的特解第12頁/共38頁第十三頁，共38頁。例：描述某系統(tǒng)(xtng)的微分方程為y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求該系統(tǒng)(xtng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。注意此時注意此時(c sh)系數(shù)系數(shù)C的的求法！求法！第13頁/共38頁第十四頁，共38頁。（2）零狀態(tài)(zhungti)響應(yīng)yzs(t) 滿足因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2對t0時，有yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6不難求得其齊次解為C

8、zs1e-t + Czs2e-2t，其特解為常數(shù)(chngsh)3，于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3代入初始值求得yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0第14頁/共38頁第十五頁，共38頁。 零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng))()()(111tyecectyectypnjtzsjnjtzijpnjtjjjj第15頁/共38頁第十六頁，共38頁。雖然自由響應(yīng)和零輸入響應(yīng)都是齊次方程的解，雖然自由響應(yīng)和零輸入響應(yīng)都是齊次方程的解，但兩者的系數(shù)各不相同，但兩者的系數(shù)各不相同，czijczij僅由系統(tǒng)僅由系統(tǒng)(xtng)(xtng)的初始狀態(tài)所決定，

9、而的初始狀態(tài)所決定，而cjcj由系統(tǒng)由系統(tǒng)(xtng)(xtng)的初始的初始狀態(tài)和激勵信號共同來確定。狀態(tài)和激勵信號共同來確定。也就是說，自由響應(yīng)包含零輸入響應(yīng)的全部和零也就是說，自由響應(yīng)包含零輸入響應(yīng)的全部和零狀態(tài)響應(yīng)的一部分。狀態(tài)響應(yīng)的一部分。第16頁/共38頁第十七頁，共38頁。第17頁/共38頁第十八頁，共38頁。因方程右端有因方程右端有(t)(t)，故利用系數(shù)，故利用系數(shù)(l yn x sh)(l yn x sh)平衡法。平衡法。h”(t)h”(t)中含中含(t)(t)，h(t)h(t)含含(t)(t)，h(0+)h(0-)h(0+)h(0-)，考慮(kol)h(0+)= h(0-

10、)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1對t0時，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t - e-3t)(t)第18頁/共38頁第十九頁，共38頁。例2 描述某系統(tǒng)(xtng)的微分方程為y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。第19頁/共38頁第二十頁，共38頁。a”(t) + b

11、(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)第20頁/共38頁第二十一頁，共38頁。對對t0時，有時，有h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0故h(0+) = 3， h(0+) =12第21頁/共38頁第二十二頁，共38頁。沖激響應(yīng)示意圖沖激響應(yīng)示意圖 x(0)=0第22頁/共38頁第二十三頁，共38頁。階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)(xingyng)(xingyng)示意示意圖圖* *階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍響應(yīng)是激勵為單位(dnwi)(dnwi)階躍函數(shù)階躍函數(shù)(t)(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)

12、響應(yīng)，如下圖所示。時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，如下圖所示。線性非時變系統(tǒng)g(t)x(0)001t(t)g(t)0t(t)(,0)(tTtgdef用用g(t)表示階躍響應(yīng)表示階躍響應(yīng)第23頁/共38頁第二十四頁，共38頁。01)(atgp式（式（1 1）的）的特解為特解為) 1 ()()()()()(01)1(1)(ttgatgatgatgnnn其初始值為其初始值為:0)0()0( )0()0()2()1(ggggnn注：注：除g(n)(t)外？第24頁/共38頁第二十五頁，共38頁。y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (

13、m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)若微分方程的特征若微分方程的特征(tzhng)(tzhng)根根i(i=1i(i=1，2 2，n)n)均為均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式單根，則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式(nm)(nm)為為 )()1()(01taectgnitii若描述系統(tǒng)(xtng)的微分方程是式可根據(jù)可根據(jù)LTI系統(tǒng)的線性性質(zhì)系統(tǒng)的線性性質(zhì)(xngzh)和微積分特性求出階躍響和微積分特性求出階躍響應(yīng)：應(yīng)：dttdt)()(tdxxt)()(dttdgth)()(tdxxhtg)()(第25頁/共38頁第二十六頁，共38頁。例例2.2-3 如圖如圖2.2-3 所示的所示的

14、LTI系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)，求其階躍響應(yīng)，求其階躍響應(yīng) y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t) x(t) x(t)第26頁/共38頁第二十七頁，共38頁。右端加法器的輸出(shch)為 y(t)=- x(t)+2 x(t)x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t); （1）y(t)=- x(t)+2 x(t) （2）階躍響應(yīng)(xingyng)若設(shè)（1）式所述系統(tǒng)的階躍響應(yīng)(xingyng)為gx(t),則有 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)第27頁/共38頁第二十八頁，共38頁。解得解得 C1-1；C20.5第28頁/共38頁第二十九頁，共38頁。解法二：由（解法二：由

15、（1）、（）、（2）式求得系統(tǒng)）式求得系統(tǒng)(xtng)的的微分方程為：微分方程為： y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)當(dāng)f(t)=(t)時，有)3()(2)( )(2)( 3)( ttththth0)0()0( hh先求h(0+)和h(0+)第29頁/共38頁第三十頁，共38頁。)6()()()5()()()( )4()()()( )( 210trthtrtathtrtbtath由（由（4）式從）式從0-到到0+積分積分(jfn)得得5)0( )0( hh將上三式將上三式(sn sh)代入（代入（3）式得）式得)(2)( )(2)(3)(3)()()( 210tttrtr

16、tatrtbta23 ; 1baa5; 1ba5)0( h由（由（5）式從）式從0-到到0+積分積分(jfn)得得1)0(h第30頁/共38頁第三十一頁，共38頁?？梢钥梢?ky)求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 h(t)=(3e-t-4e-2t) (t) 0)(2)( 3)( ththth當(dāng)當(dāng)t0,有有所以所以(suy)ttececth221)(5)0( h1)0(h由由)()123()()(2teedxxhtgttt第31頁/共38頁第三十二頁，共38頁。問f1(t) = ? p(t)第32頁/共38頁第三十三頁，共38頁。(2) 任意信號任意信號(xnho)分解分解nntpnftf)()()(dtftftf)()()()(lim0第33頁/共38頁第三十四頁，共38頁。根據(jù)(gnj)h(t)的定義：(t) h(t)由時不變性： (t -) h(t -)由齊次性：f ()(t -) f () h(t -)由疊加性：第3