微積分極限法所依賴的極限在導數(shù)點根本不存在

1、 微積分極限法（標準分析）的本質及問題詳析 沈衛(wèi)國 （西北工業(yè)大學前邏輯與人工智能研究所，西安 710072）摘要：為了解決牛頓、萊布尼茲求導法所產生的貝克萊悖論問題，微積分極限法（標準分析）被提出。但后者成立的前提是這個極限必須存在。筆者經分析得到結論，增量比值函數(shù)在0點的極限與函數(shù)值一樣，也不存在。于是極限法并沒有也不可能解決根本問題。此問題的解決，必須要有新的思想。關鍵詞：微積分；標準分析；極限；增量比值函數(shù)；貝克萊悖論；導數(shù) 一、以二次函數(shù)為例對傳統(tǒng)微積分極限法求導過程的分析 微積分極限法（標準分析）的提出是為了解決（而且通常也被“主流”看法認為已經解決）牛頓、萊布尼茲求導法產生的貝克

2、萊悖論的。在極限存在的前提下，單純從邏輯上講，這沒有問題。但極限法的全部合理性，徹底依賴于這個極限在0點的存在性。過去包括筆者在內的所有文獻，均未見對此提出異議。但在此文中，筆者經分析發(fā)現(xiàn)，增量的比值函數(shù)在0點的極限根本就不存在，于是極限法賴以成立的依據(jù)就不存在了。以往那種本來就很牽強的以極限值（盡管還是永不可達的）取代增量比值函數(shù)在0點本無定義的函數(shù)值（為0/0）的做法也隨之徹底不能成立了。 筆者在【文獻4】圍繞該文中的公式11也就是下面的公式1，已經對此進行了討論，實際上幾乎已經得到正確的結論了，但可惜尚未明確。下面詳細分析這個問題。 上面公式1就是極限法求二次函數(shù)=2的導數(shù)的最經典的式子

3、。由此式右數(shù)第二個等號兩邊可知，當x趨于0時，其自身也就是x本身的極限明確等于0。由此上式中左數(shù)第一個等號的右邊項，只能等于0/0。因為同理，當x趨于0時，此項無論分子還是分母中的x的極限均為0，也就是當x趨于0時，整個比式的極限為0/0，也就是沒有“有意義”的極限或極限值不定。即該比式在x=0時根本就不存在有意義的極限值。這從兩個極限之比的極限存在的必要條件為分母的極限不能為0的極限運算法則也可印證。當然，有教科書中也有一條規(guī)定（也算極限運算“法則”之一）：“對于0/0型的極限，因式分解約去分母上的零因子后求解”。但此“規(guī)定”或“法則”在一句話中就前后自相矛盾：先是得到“0/0型極限”也就是

4、極限為0/0，而后馬上又令消去分子分母上的共同的“零因子”而“求解”出另一個非0/0型的極限。而這個所謂的“約去”，不過是對分母上為0的因子進行相除，也就是0除以0（即0/0）于是上面的這條“規(guī)定”不能不變成“對于0/0型的極限，因式分解后進行0/0類型的相除操作，然后求出非0/0型的極限”。顯然，這個對原式本質上自相矛盾的加工、改動后求出的“極限”只能是一個新的脫離原式而等于加工后的式子的極限（有意義的一個數(shù)），而非原式的極限（0/0），否則只有自相矛盾。此外，一個分式，哪怕分子、分母中有共同因子，也沒有必須相除（無論有沒有共同因子）成為非分式的道理，始終保持分式形式無任何問題。如此，即使在

5、零點函數(shù)根本沒有定義（函數(shù)的定義域不包括零點），也可以有極限值0/0，盡管此時它無意義也罷。同時，分子、分母相除“以約去分母上的零因子”，其本質就是零除以零后還要等于1，即0/0=1，這根本就不合理。退一步說，就算該比值函數(shù)的定義域一開始就不包括零點（事先規(guī)定、定義的），或者由于在零點出現(xiàn)0/0型函數(shù)值和極限值因此被“認為”定義域不應包括零點（由因果關系導致的），此時雖然可以分子、分母相除了（分母不為0了。相除后自然可以得到一個有意義的非0/0型極限）。但前已論及，這種“相除”不是必須的，因此極限不能排除、也就是完全可以仍舊是0/0。如此，這種定義域不包括0點的分母上為自變量的比值函數(shù)，根據(jù)分

6、子、分母的相除與不相除（當然都可以），竟然可以分別得到兩個邏輯上都說的通的、不同的、而且直接矛盾的結果（極限值），一個是0/0型的，一個是非0/0型的。這本質上仍就是一個隱性的貝克萊悖論。其根本原因是：人為“規(guī)定”函數(shù)在=0點無定義本身是有問題的。因為前已述及此時雖然函數(shù)本身在該點無定義，但在該點卻可以有極限0/0（盡管是無意義的極限），從而也應該可以定義函數(shù)值0/0（按連續(xù)函數(shù)的性質）。同理，對非0/0型極限也可得到一個非0/0型的函數(shù)值。于是不但這兩個結果之間互相矛盾，而且我們一開始把=0點從函數(shù)的定義域中排除變得沒有什么意義和道理（反倒得到在該點可以有函數(shù)值的結果）。可見，前述有些教科書

7、中對“0/0型極限”的“求解”得到有意義極限值的方法、規(guī)定根本就不能成立，也就是不能確定地得到一個非0/0型的有意義的極限值，進而也就不能最終排除一個0/0型的并無意義（僅在此意義上，它還是有其特殊的“意義”的，也就是明確知道在此點會得到這么一個“無意義的”結果，以區(qū)別于直接把該點排除在定義域之外）的極限值。此外，上面公式1中左起第一個等號的右項是導數(shù)的直接定義式，其“優(yōu)先級”顯然高于上式中左數(shù)第二個等號右邊那項，注意：前者的原始“定義域”是包括=0那點的，也就是并沒有“事先”人為地規(guī)定該比值函數(shù)不能到達=0點或在該點無值，只是“后來”無論是函數(shù)值進而還是極限值在=0點都是無意義的0/0（而這

8、正是比值函數(shù)的性質所決定的），也只有在這個結果或前提下，我們才可以說該比值函數(shù)和其極限函數(shù)在=0點無定義（無有意義的值），或其定義域不包括=0點。但這顯然并不意味著在=0點（注意：此時該點是包括在定義域里面的）就不能有“無意義”的0/0型函數(shù)值進而極限值。從公式1左邊優(yōu)先的不成文規(guī)定可以看到，這個在=0點（此時包括在定義域中）客觀存在的0/0型函數(shù)值與極限值，從邏輯上是優(yōu)先的，而公式1的右邊必須無條件地“服從”其本源式本身所具有的、或由此為其所限定的前提條件【二者顯然必須一致，等式才能嚴格成立。而此處在求極限前已經事先進行了消去分母中的x操作，而如此操作只有在默許該比值函數(shù)的原始定義域并不包括

9、=0點才行（因為分母上就有本身），顯然，這個額外的假設及建立在這個假設上的操作有意無意間等于人為取消了原導數(shù)定義式（公式1左起第一個等號兩邊）在x趨于0時在=0點（此時無論該函數(shù)還是極限函數(shù)值的定義域并沒有事先人為地排斥=0這一點）根本就沒有極限值（其值為0/0）的基本事實，因此就求極限而言，只能認為是無效的】。而事實上嚴格地說，公式1左數(shù)第二個等號根本就不成立，因為其等號兩邊并不嚴格相等，只是有條件地相等。而一個必須附加限制條件才能成立的等式，卻不去或沒有注明這個條件，該等式嚴格說是不能成立的，因此必須用“”而不是“=”來連接式子的兩邊。在這個具體問題上，公式1的“潛臺詞”不能不是：由于在=

10、0點的定義域包括該點且分母上有本身的比值函數(shù)值及其極限值都是無意義的不定式0/0，因此在該點沒有有意義的也就是非0/0類型的函數(shù)值和極限值。也就是對非0/0類型的函數(shù)值和極限值而言，也可以認為該函數(shù)的定義域不包括=0點。而既然定義域不包括=0點，那么這個分母中包括本身的比值式就可以選擇相除（注意：這里充其量也不過是“可以”，而絕不是“必須”。此時不去相除也完全可以，如此其在零點的極限仍為0/0），以消去分母上的，于是就可以得到一個有意義的非0/0型的極限值。顯然，上述推理是錯的！因為上面推理得到“有意義的非0/0型”的極限值的前提即“函數(shù)和極限函數(shù)的定義域不包括=0點”此時不是無前提的，而這個

11、前提正好就是該比值函數(shù)和極限函數(shù)在=0點恰好已經有無意義的0/0型函數(shù)值和極限值。因此再不能有非0/0型的有意義的函數(shù)值和極限值了。更何況前面已經論及，函數(shù)的定義域不包括零點，也并不就意味著一定要分子分母相除以消去分母上的。因此，公式1中的等號必不成立。依據(jù)這個思路我們可以作一個簡單的證明，來證明在=0點沒有有意義的非0/0型的極限值存在：設有這樣的極限值存在，則必沒有無意義的0/0型極限存在。但實際上由上面的分析可知這個無意義的0/0型極限是存在的，因為在=0點該比值函數(shù)的0/0類型的函數(shù)值是存在的，否則牛頓、萊布尼茲就已經解決問題了，根本不用再有什么極限法，因為0/0函數(shù)值的問題正是牛頓、

12、萊布尼茲法所產生的，也是人們尋求極限法所要解決的。而由連續(xù)函數(shù)在某點有值則必有相同極限值的原則，該點必然也有與函數(shù)值一樣的0/0極限值。此外，既然比值函數(shù)是分數(shù)形式的，也就是有分子、分母，那么，其任何值及極限也應該是、起碼是可以是分數(shù)形式的，哪怕這個極限是無意義的0/0形式。這是“比值函數(shù)”的性質所決定的。因此，如果一個極限不能表示為分數(shù)形式，則必不是這個分數(shù)函數(shù)的極限值。綜上，由反證法，原設非0/0型極限必不存在。得證。也就是：公式1的等式如果要絕對地成立，則不但要附加上限制條件：該函數(shù)值在=0點為0/0，而且還要特別要強調：必須還要充分地“尊重”其“本源”式即公式1中左數(shù)第一個等號的右邊項

13、沒有有意義的極限(或極限為0/0）這一點，即必須加上在x=0時沒有有意義的極限（或極限為0/0）這個限制條件（本文新發(fā)現(xiàn)的），等式才可成立。而如此一來，當然就得不到最后的“有意義的”極限值2x了。因此對原始意義的導函數(shù)式（公式1左邊）而言，它只能是個“偽極限”。于是，皮之不存毛將焉附？極限都沒有了，還有什么極限法？還有什么建立其上的“標準分析”？如果硬要說最后得到的2x是個極限值，那也是另一個函數(shù)（盡管與原增量比值函數(shù)在0點完全一樣）的極限，而絕不是原增量比值函數(shù)也就是導函數(shù)的極限（式1左數(shù)第一個等號的右項）。于是傳統(tǒng)的所謂極限法（標準分析）的本質，不過是把一個本不是原增量比值函數(shù)的“極限值”

14、，去充當根本就沒有極限值（x趨于0時，為0/0）的原增量比值函數(shù)的所謂極限值。這當然不應被允許?？傊瑯O限原式也就是公式1左數(shù)第一個等號的右邊項，顯然具有兩個“特性”：比值特性和分子、分母共同趨0（盡管0點無有意義的值或值為0/0）特性。但公式1左數(shù)第二個等號的右邊項卻只剩下比值特性了（0點有有意義的非0/0型極限值），“分子、分母共同趨0特性”被有意無意地“丟失”或“隱匿”了。顯然，由公式1左數(shù)第二個等號相連接的這兩個式子并不等價，相較于左邊而言，右邊丟失了關鍵信息，所以等號右邊不能取代左邊，等號嚴格講必須換成不等號。而作為導數(shù)的定義式，顯然左邊的比值式（分母有x）才是所有討論必須依賴的出發(fā)

15、點。此外，我們可以再梳理一下傳統(tǒng)微積分極限法（標準分析）在求導問題上的具體做法，以看清其運作的本質：1、 承認牛頓、萊布尼茨法會產生貝克萊悖論；2、為了解決這個悖論，傳統(tǒng)極限法（標準分析）首先“悄悄地”或無意中消去公式1左起第二個等號左邊項分母中的x，得到該等號的右邊項，這就等于人為地也是武斷地取消了導數(shù)的原始公式（公式1左起第一個等號的右邊項）作為一個增量比值函數(shù)在x=0點既無有意義的非0/0型函數(shù)值、也無有意義的非0/0型極限值的原始屬性，把兩個原本不絕對相等（也可以認為由于數(shù)學中“相等”所要求的絕對性，這里根本就不相等）的數(shù)學項，用等號聯(lián)系了起來（公式1左起第二個等號兩邊）；3、令公式1

16、中左起第二個等號的右邊項中的x0（其實這里根本就不用兜什么圈子，干脆就是x=0），得到“它”的極限值2x，再一次強調，這個所謂的“極限值”不過是公式1左起第二個等號右邊項的極限值，而絕對不是該等號左邊項也就是導數(shù)的原始定義式的極限值，因此對此定義式而言只能認為是個“偽極限”；4、明明這個“偽極限”就是在令x=0（牛頓、萊布尼茲法）或令趨向于0的極限值0（極限法）時求出來的，卻又把這個明明已經得到的“偽極限”（假設為A），只說成是“存在一個數(shù)A”，再由所謂說法“論證”這個A就是那個所需要的極限（實際是偽極限），這是典型的循環(huán)論證。與其說由法確定了極限A，還不如說正是由于有了這個偽極限A才可以有這

17、個法。同時，人們還完全有意無意地忽略了對x=0時出現(xiàn)的函數(shù)值0/0、以及以0/0為“極限”值時我們同樣可以運用說法，也就是當x0時函數(shù)趨向于0/0，但0/0卻不能被看成是有意義的極限；5、以這個“偽極限”去充當（或代替）公式1左數(shù)第一個等號的右邊項也就是那個在x=0點根本就沒有極限值（或說極限值為無意義的0/0）的增量比值函數(shù)在x=0點的極限值；6、令這個“偽極限值”再去充當原增量比值函數(shù)（在x=0點無函數(shù)值）在x=0點之函數(shù)值，實際上得到一個新的連續(xù)函數(shù)，已取代了原先的那個在x=0點無有意義的值（0/0）因此間斷的函數(shù)；7、宣稱貝克萊悖論被解決或者原先根本就不存在貝克萊悖論（認為這個悖論的存

18、在，是沒有發(fā)現(xiàn)上述那個“偽極限”作用的緣故）。簡評：可以看出，“極限法”（標準分析）聲稱的用增量比值函數(shù)在x=0的極限值來充當該函數(shù)在x=0點本不存在之值來消除貝克萊悖論是不行的，因為在該點既無函數(shù)值，也無極限值（都是無意義的0/0）。它實際做到的，是用前述“偽極限”來“代換”該點根本就不存在的“極限”，再用這個所謂的”極限“去”代換“該點同樣不存在的增量比值函數(shù)值。如果這種做法成立，那么，牛頓直接用消去原函數(shù)中的分母中x再令這個新的式子中的x=0得到2x去充當該點的函數(shù)值的做法也沒有什么理由不成立（根本無須繞個大圈子以實際上的“偽極限”來解決貝克萊悖論問題）。但顯然貝克萊悖論并沒有因為牛頓的

19、做法而消失，恰恰相反，正因為這種做法而產生。以上討論可以看作是“極限法”（現(xiàn)在看嚴格講應該是“偽極限法”）沒有消除貝克萊悖論的一個證明。 二、對一個簡單函數(shù)/的極限、求導問題的分析 再舉一個簡單但明確的例子：設有特殊的比值函數(shù)x/x，顯然，這是函數(shù)y=x的導函數(shù)。它當然可以在x0的前提下分子、分母相除后等于1（因此不是所謂“恒等于1”！因其在=0點等于0/0這個無意義的值。此外，1也不是必須的，不去相除仍為/不但是“未嘗不可”，而且還更“本源”一些）。顯然，x/x與1是兩個不同的函數(shù)。前者在=0點無值（0/0)，后者有值（仍為1）。而且按前述，我們沒有權利要求當x0時只能寫成1而不能寫成.5/

20、5，2/2，1/1，0.1/0.1，0.01/0.01，.等等（當x趨于0時）。而且后者按這個比值函數(shù)/的定義是本源的。況且即使將其寫成1，我們也必須牢記該比值函數(shù)在x=0時不但是無值的（“值”為0/0），并且其在x=0時也是沒有極限值的（極限值也是0/0），除非在該點這個函數(shù)本身的值也等于1。因為其“本源”函數(shù)也就是x/x在=0點（注意，此時該函數(shù)并沒有限制該點不能為其定義域中之點）的極限就是0/0，也就是沒有“有意義的”極限。因此，當x趨于0時（注意：此時無論定義域包括不包括0點都無關系）函數(shù)x/x（始終不去分子、分母相除而保持分式形態(tài)）的極限與當x趨于0時1這個特殊的函數(shù)（x=0時也有值

21、且等于1）的極限當然不是一回事。后者與x其實無關（無論其為0還是不為0），因此當然還是1，而前者極限為0/0，也就是根本沒有有意義的極限。我們說函數(shù)本身在x=0時無值，對應于牛頓、萊布尼茨時代的貝克萊悖論的本質；而在該點該函數(shù)也沒有極限值（本文徹底闡明的），則對應于所謂極限法（標準分析）下的更為隱蔽的貝克萊悖論的本質（因此特別要強調：極限法并沒有如其所愿地解決牛頓、萊布尼茲所沒有解決的問題）。它們的產生或存在，正像一個悖論所通常顯示的那樣：說明理論在什么地方出了問題。而指出了這個問題后，悖論自然消除。具體到求導數(shù)這個問題（無論牛頓法還是極限法），悖論的產生是沒有意識到不能隨意地消去分母的自變量

22、x再令其為0（或者趨于0然后取極限）。所以貝克萊悖論的解決，竟是弄明白了在x=0之點，既不存在有意義的增量的比值函數(shù)值，也不存在其有意義的極限值（都是0/0），因此也就不能允許隨便消去分母上的x。如此，也就沒有了什么悖論，有的只是理論非常明確的錯誤。這是悖論產生的根源。至于如何解決所暴露出的問題，則是另一項任務了（詳見文獻1、4、5）。具體到這里的例子，也就是極限雖然沒有，但函數(shù)y=x的導數(shù)卻有，這就是1，因此，有人也許會提出疑問：這么說傳統(tǒng)極限法根本就不應該可以求出導數(shù)的，它怎么可以的？怎么做到的？詳見下文。 三、傳統(tǒng)微積分極限法雖有問題，但卻可以得到正確結果的本質原因 參見【參考文獻1】中

23、的圖1、圖4，我們通常所說的y/x，其中無論函數(shù)的增量y還是自變量的增量x，都只涉及曲線上的兩個點。這個增量是曲線上二點間的縱坐標值之差與橫坐標值之差。這個增量之比y/x在數(shù)值上等于該曲線上過此二點的割線的斜率，我們令其為g/f，其中g與f，是這個割線上的任意二點間縱、橫坐標值的增量。注意這里是“任意”，不受曲線上那兩個點的限制，受該二點限制的是“割線段”，也就是割線與曲線的兩個交點之間線段，它的“長度”是會隨二點重合而為0的。但顯然一般意義的割線上的二點在求斜率時不應重合成一點，因為“斜率”不可能僅僅由一個點來求得。在0時，當然有y/x=g/f，但由于在x=0時f0，也就是當曲線上的兩點（與

24、割線的交點）“收縮”成一點時，原先是過曲線上二點的割線，此時變成了切線。因此，不失一般性，為明確起見我們可以就令fx，gy，于是，當x=0時雖然有y/x=0/0，無意義，但此時f0，因此g/f仍有確定的值，也就是原先是割線、現(xiàn)在已是切線的那根線的斜率。我們求的實際就是它，而不是通常被誤解而會產生諸多邏輯問題的y/x。也就是說，當x0時，我們實際求的并不是y/x（會產生0/0)，而是g/f(不會產生0/0）。這也就是我們說極限法有邏輯問題，但卻可以“歪打正著”產生正確結果的“理論”原因。簡單嗎？總之，在x=0時，意味著曲線上的兩個點合二為一了。但增量的比值函數(shù)本身要求必須一定要有兩個點，這是非0

25、增量的本質性要求，于是，在曲線上那個唯一點（由兩點重合得到的）處還能夠滿足兩個點要求的，只有過該點的切線上的兩個點。也就是這個增量的比值是切線的斜率，它只涉及曲線上的一個點，也就是所求導數(shù)點。而只要涉及曲線上的兩個點，無論它們靠得多近，哪怕是無窮小，也會產生問題。當然，如果僅僅涉及曲線上的一個點，而不涉及切線上的兩個點，也不行（有0/0的問題）。所以盡管很多教科書中早就簡單地把導數(shù)看成切線斜率了，但那只是指的數(shù)值相等，只在本身就有問題的無窮小區(qū)段或極限時才成立（所謂微分三角形），以往沒人認為它會是一個普普通通的宏觀量。因此，也可以本質地認為，傳統(tǒng)微積分求導中的問題，是把導數(shù)看成是曲線上二點間的

26、割線“段”（只是整個割線的一部分）的縱、橫坐標增量的比值，于是，當曲線上二點趨于一點時，這個“線段”必然趨于0，因此產生0/0的問題。但如果曲線上的二點不趨于一點，則必有誤差，哪怕是無窮小；而筆者的求導，不過是只要求“過”曲線上二點的那個割線上的“任意”二點，如此涉及的點的總數(shù)，不僅僅是原先理論中的曲線與割線的兩個交點了，還有割線上的另外兩個任意點，也就是一共涉及4個點。于是在曲線上的二點趨于一點時，涉及的切線上的另外二點不受此限制，不會趨于一點，因此仍有求斜率的條件，也就是過曲線上一點的切線的斜率。同時，既然不過是切線的斜率，就不必一定采用這種重新被解釋的“極限法”（此時僅有形式、過程本身了

27、）來求導數(shù)，筆者提出的代數(shù)法起碼在理論上也可以【1】?？傊瑐鹘y(tǒng)微積分（無論牛頓法還是“極限法”，本質一樣）貝克萊悖論的產生本質，還是源于導數(shù)定義中的雙點要求，同時導數(shù)又嚴格定義在曲線上一個點的基本事實。這兩個導數(shù)的基本要素間的表觀矛盾沒有被澄清。如果僅僅拘泥于在曲線上，二點合一與不合一，都不行。而把問題分解到曲線上的一個點（切點，當然也是切線上的一個點）與切線上的另外兩個點，則矛盾自消。事實上，我們可以將導函數(shù)看成一個特殊類型的泛函，只不過其過曲線上每點的函數(shù)，為線性且等值函數(shù)（等比函數(shù)，x/t不變，但t可以隨意取值）而已。 四、芝諾“飛矢不動”悖論與微積分貝克萊悖論（即0/0問題）的關聯(lián)性

28、分析及矛盾的化解 事實上，微積分求導問題中的貝克萊悖論與古希臘的芝諾悖論中的“飛矢不動”悖論是同構的。再以自函數(shù)x/x為例。都知道其有導數(shù)恒為1，按物理解釋，就是速度為1。其量綱為“距離/時段”。從這個量綱也可以看出，時段x0。飛矢不動悖論，就是問的在x=0時，以恒定速度1運動（在這個具體的例子中）的“飛矢”，究竟是靜止還是運動？按以往極限論的觀點，x=0時，雖然沒有函數(shù)值，也就是恒定速度值，但因為有這個恒定速度的“極限”，也就是令這個極限值為x=0點之值，并命名其為 “瞬時速度”。極限論者認為只要進行了這個“代換”，問題就算徹底解決了，而全然不顧在x=0時，分母為0，從速度的量綱上也可以看的

29、出來，此時這個函數(shù)值為0/0，根本就沒有有意義的所謂“速度”。極限論成立的前提條件，顯然是先要有這個“極限”值，但由前文分析我們現(xiàn)在知道，這個極限值根本就不存在（在x=0點），它與速度本身的值一樣，也是0/0，無意義。因此想以這個本不存在的“極限值”去填補原速度函數(shù)在x=0點不存在的值是不能成立的。也就是它沒有也不可能解決貝克萊悖論的問題。當然，對極限論的徹底分析，也有助于我們解決著名的芝諾悖論中的飛矢不動悖論。芝諾認為x=0時飛矢不動就等于速度為0，但這是錯的，因為所謂“不動”可以是速度為0（指的是在時段x0時運動距離為0，而不是時段為0時的運動距離為0），也可以是時段本身就是0，也就是時刻

30、、瞬時（可以想象成理想化的、現(xiàn)實中不可能實現(xiàn)的時間的靜止狀態(tài)）時的飛矢狀態(tài)，此時它當然沒有移動。但后者不叫速度為0，而是在一個“瞬時”或時刻（不是時段，或時段為0）上，時間沒有“移動”，飛矢自然也不會“移動”。但這不可能定義速度。因為它與速度的定義不符。這以在此點它的值為0/0體現(xiàn)出來。至于之所以會有“瞬時速度”之說，那只是一個重新定義的問題。是把本質上依賴于時段的本原的速度定義，重新定義在時刻上。是個次級定義。也必須重新解釋【1】。 五、一點說明和對“甲函數(shù)、乙函數(shù)”理論的簡評 1、應該強調的是：即使微積分極限論（標準分析）以至于非標準分析都無錯，都成立，也不就是筆者的“增量分析理論”【1、

31、4、5】就有錯、不成立。也就是，如果極限論等有問題，只有筆者這個方法可以消除其矛盾（消除矛盾依賴于筆者這個理論）；但反之，并不就是筆者這個方法依賴于極限論的錯誤。也就是不存在它不錯筆者就錯的情況。我這個增量分析方法如果無矛盾地解釋了導數(shù)、微分等等，并且可以簡化理論，那起碼也是可以和極限論的標準分析以致非標準分析等平行的一個方法。這點提請讀者注意。換言之，即使有些人仍然不認可我對極限論矛盾的揭示，那也不意味著我提出的增量分析就不對。這是兩個問題。 2、有學者提出“本質上不同于極限或無窮小的道路通向微積分”的“甲函數(shù)、乙函數(shù)”的“第三代微積分理論”【6】，盡管頗有新意，但仔細分析可知：第一，并不能

32、用該理論直接求出導數(shù)，而只是借用早已得到的導數(shù)，去求證導數(shù)就是乙函數(shù)。第二、如果該理論真的不需要極限或無窮小，所涉及的曲線上的兩個點就是不必互相靠近以致重合之類，但如此，二點間可以有無窮條曲線，也就是可以有無窮個乙函數(shù)，導數(shù)不定，顯然不行。第三、如其不然，而乙函數(shù)又是定義在全域上的，也就是在任何點都有定義。于是【文獻6】中的公式4、5中“甲函數(shù)的差商是乙函數(shù)的中間值”的那個中間值本身的乙函數(shù)是什么？怎么得到？只有該文公式4、5中的等號成立才可，于是曲線上的二點合一，三值合一。但如此，必然產生中間值分母為0的老問題，于是該文公式6的消去分母中自變量的增量的做法不再被允許，于是得不到有效的乙函數(shù)（

33、導數(shù)），而只能如傳統(tǒng)作法一樣得到一個0/0。第四、為了得到有意義的乙函數(shù)（非0/0型的），按照該理論的潛在思路及實質，唯一的做法又是不得不依賴于傳統(tǒng)的也就是尚處于所謂“第二代”的極限理論，以這個極限去充當或定義乙函數(shù)。但極限理論的問題本文前文已經給出詳盡的分析，不再重復。第五、該文的主旨就是回避極限理論的，所以在該文中并沒有涉及乙函數(shù)與極限的實質上存在的隱含關系。由于前述第三、第四點表述的理由，于是該理論的完備性甚至還沒有達到傳統(tǒng)的、也就是被該文稱作是“第二代微積分”的極限論也就是標準分析的水準。本質上，它只是停留在該文所稱的“第一代微積分”的牛頓、萊布尼茲理論階段，不過換了一套反而更不直觀的表述形式而已。第六、由于該理論不去直接針對導數(shù)的直觀定義（物理上是“瞬時速度”，幾何上是“切線斜率”），想繞個彎子回避（也就是故意不去提）通常的教學難點也就是極限或無窮小概念，本質上是試圖以回避矛盾的方式去解決矛盾，結果由于乙函數(shù)概念過于抽象，反而是不借助傳統(tǒng)導數(shù)概念很難為學生理解（坦率而言，不要說學生，就是教師、專家又有多少真正把該理論的實質搞清楚了的？），這也是作者推出這個理論試圖簡化教學的目的顯然沒有達到預期的根本原因