線性代數(shù)課件：4-4 內(nèi)積的定義及性質(zhì)

1、(1)(),(;a bb a=(2)()( ,;,)kka ba b=(3)()(,)();ab ga gb g=+(4)()0,0.,0a aaa a 且當(dāng)時有(),VVVa ba b有唯一的實數(shù)與它們對應(yīng)，記設(shè)是實線性空間，在中定義一種內(nèi)為().內(nèi)積：積必須滿足一、內(nèi)積的定義及性質(zhì)定義定義定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。nR在中,2121 nnyyyyxxxx1 12 2( , )n nx yx yx yx y=+L ,: ( , ).Tx yx yyx=內(nèi)積是向量的一種運算 如果都是列向量 內(nèi)積可用矩陣記號表示為定義定義在該內(nèi)積函數(shù)下的實線性空間稱為歐

2、幾里德空間。定義定義非負性非負性. 1齊次性齊次性. 2三角不等式三角不等式. 322212( , ),nxx xxxx=+L令令 . 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx長度長度范數(shù)范數(shù)向量的長度具有下述性質(zhì)：向量的長度具有下述性質(zhì)：; 0,0; 0,0 xxxx時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng);xx .yxyx 二、向量的長度及性質(zhì)維向量間的夾角維向量間的夾角單位向量及單位向量及n .1 , 5 , 1 , 33 , 2 , 2 , 1的夾角的夾角與與求向量求向量 例例解解( , )cosa bqab=Q2262318 .4 .,11 為為稱稱時時當(dāng)當(dāng)xx 單位向量單位向量( )( , )20,0,arcc

3、osx yxyxyq =當(dāng)時. 的的與與維向量維向量稱為稱為yxn夾角夾角(3) , x yxy-之間的距離定義為3 2ab-= 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念( , )0,.x yxyxy=當(dāng)時 稱向量 與 正交記為., 0,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知 xx 若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向若一非零向量組中的向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組量組為正交向量組三、正交向量組的概念及求法1110(,)0,aa a由.01 從而有從而有. 02 r 同理可得同理可得.,21線性無關(guān)線性無關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有r ,21證明證明112

4、20rrl al al a+=L 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線性無關(guān).線性無關(guān)., , , ,則則非零向量,非零向量,是一組兩兩正交的是一組兩兩正交的, , , ,維向量維向量若若定理定理rrn 2121 11111 1212,)()0rral a al al al a+=L則(例例 已知三維向量空間中兩個向量已知三維向量空間中兩個向量 121,11121 正交，試求正交，試求 使使 構(gòu)成三維空間的一個正構(gòu)成三維空間的一個正交基交基.3 321 , 向量空間的正交基向量空間的正交基., 212121的正交基的正交基向量空間向量空間是是則稱則稱組組是兩兩正交的非零向量是兩兩正交的非零向量且

5、且的一個基的一個基是向量空間是向量空間若若VVrrr 即即1312323123(,)0(,)20 xxxxxxa aa a=+=-+= 解之得解之得. 0,231 xxx則則有有若若令令, 13 x 1013213xxx 由上可知由上可知 構(gòu)成三維空間的一個正交基構(gòu)成三維空間的一個正交基.321 ,則有則有1323(,)(,)0a aa a=解解 ., 0, 213213正正交交且且分分別別與與設(shè)設(shè) Txxx 標準正交基標準正交基 121212 , , .rrrne eeVe eee eeVLLL定義設(shè) 維向量是向量空間的一個基 如果兩兩正交且都是單位向量 則稱是的一個標準正交基.212100

6、,212100,002121,0021214321 eeee例如例如.212100,212100,002121,0021214321 eeee( ,)0,1,2,3,4.( ,)1,1,2,3,4.ijije eiji je eiji j= 且由于且41234,.e e e eR所以為的一個標準正交基.1000,0100,0010,00014321 同理可知同理可知4.R也為的一個標準正交基（1）正交化正交化，取，取 ，11ab 1222111(),()abbbabb=-,21的一個基的一個基為向量空間為向量空間若若Vaaar 求標準正交基的方法求標準正交基的方法1212121212 ,.rr

7、rrrVVe eee eea aaa aaa aaLLLLL設(shè)是向量空間的一個基 要求的一個標準正交基 就是要找一組兩兩正交的單位向量使與等價 這樣一個問題 稱為把這個基標準正交化 121121112211( ,)( ,)(,)( ,)( ,)(,)rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb-=-L.,111等價等價與與且且兩兩正交兩兩正交那么那么rrraabbbb（2）單位化單位化，取，取,222111rrrbbebbebbe .,21的的一一個個規(guī)規(guī)范范正正交交基基為為那那么么Veeer132333121122( ,)( ,)( ,)( ,)b ab ababbb bb

8、b=-例例 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa正交標準化正交標準化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱稱為為的的過過程程向向量量組組構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組rrbbaa施密特正交化過程施密特正交化過程1222111(),()abbbabb=- 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 14

9、81, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再單位化單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得標準正交向量組如下得標準正交向量組如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe132333121122( ,)( ,)( ,)( ,)b ab ababbb bb b=-求一單位向量，使它與求一單位向量，使它與 ,1 , 1, 1 , 11 ,1 , 1, 1, 12 3 , 1 , 1 , 23 正交正交:),( 則由題意可得則由題意可得設(shè)所求向量為設(shè)所求向量為dcbax 解解 . 032, 0, 0, 1 2222dcbadcbadcbadcba)263,261, 0 ,1322(: x解之可得解之可得).263,261, 0 ,1322( x或或例例1231231 1 ,.,1aa aa aa= 已知求一組非零向量使兩兩正交解解123231,0,0. Txxx