金融計量經(jīng)濟第三講ARCH模型的理論與應用

1、第三講ARCH模型的理論與應用第一節(jié)ARCH模型：檢驗及估計 第二節(jié)GARCH模型的檢驗與估計 第三節(jié)其它ARCH類模型ARCH模型的具體形式恩格爾(Engle) 1982年提岀的“條件異方差 自回歸模型(AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) ” ,簡稱ARCH模型。ARCH理論是目前國際上前沿的用于金融市場 資產(chǎn)定價的理論。與傳統(tǒng)的CAPM、APT理論 相比，ARCH是一種動態(tài)非線性的股票定價模 型，它突破了傳統(tǒng)的方法論和思維方式，摒棄 了風險與收益呈線性關(guān)系的假定，反映了隨機 過程的一個特殊性質(zhì)方差隨時間變化而變 化。ARCH模型描述

2、了在前t-1期的信息集合給定的條件下隨機 誤差項的分布。一般的ARCH模型表述如下：出一1 = X1，兀1，X2，兀2，給定時,對于回歸模型：y=X卩七5沁一N(O,/0(3.1)呂2q人二兔+厶字一 (3.2)% >0,0 >0，ande <1z=l/=!即方差&和滯后1期、2期及至q期的解釋變量有關(guān)。ARCH的統(tǒng)計特征起初的ARCH（q）指回歸模型的隨機誤差項的平方分 服從AR（q）過程,即有：=a0+z12_1 +勺0爲 + 匕（3.3）其中，匕服從E（匕）=0 ， »（匕）=才稱（3.3）'式為自回歸條件異方差模型（ARCH）,記序列

3、7; ARCH®（3.2）為（3.3）的拓展形式，也是現(xiàn)在常用的寫法。主要從條件期望值和條件方差考慮。條件期望值：EG E_1 )=揚£(匕)=0 (3.4)條件方差值：E&殆(3.5)由(3.5)式可知，ARCH模型的隨機誤差項 的方差值非固定，也就是條件異方差。ARCH(q)的檢驗一種是直接利用定義，對模型Y = XB + U進行 回歸分析后，再對殘差值平方的序列k2作序 列自回歸檢驗。可用輔助函數(shù)，也可直接在回歸 命令后加上AR(q)o另一種常用的檢驗方法就是前一講提到的拉格朗 日乘數(shù)檢驗(Lagrange multiplier test),就是 Eviews

4、軟件中的ARCHLM檢驗。輔助模型為：該檢驗的原假設(shè)峯備選假澳是：h, = «0 + «i-i + - -，+aq£t-q + vt (*6)H。:=禺=a = 0; 比:3oCj H 0,1 <i<q Eviews命令：在方程結(jié)臬輸比窗口述律View/Residual Tests/ARCH IM Test即可。例3仁 開放式基金與股價指數(shù)因果關(guān)系分析選指數(shù)型基金一家，上證180指數(shù)為解釋變 量，討論之間是否有ARCH特征。直接利用軟件進行回歸Eviews軟件中有專門的ARCH回歸功能，估 計ARCH模型的參數(shù)時，采用極大似然法。菜單方式：在主窗口擊Q

5、uick/Estimate equation,再在方程選擇框中選method為 ARCH即可。第二節(jié) GARC H模型的檢驗與估計1986年，波勒斯勒夫(Bollerslev)提出了條件方 差函數(shù)的拓展形式，即廣義ARCH模型 GARCH (Generalized Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity ) 一般的GARCH模型可表達為兒=Xt 3+8tqp人二十工字二+工卩jh_j (3.7)/=1J=1(3.7)表示階數(shù)為p和q的GARCH過程,記作GARCH (p3q)為保證條件方差人0£（氣）= 0,2）（叫）=1E（嶺匕

6、）= 0（工巧；勺 >0,勺0/ -0, J = I,-,pqi=lXa<i，參數(shù)滿足條件:相對于ARCH, GARCH模型的優(yōu)點在于： 可以用較為簡單的GARCH模型來代表一個 高階ARCH模型，從而使得模型的識別和估 計都變得比較容易。最常見的用法是GARCH (1, 1) o Eviews軟件中ARC H的估計實際上是 GARCH, ARCH是p=0時的GARCH。GARCH模型的特征對于隨機誤差項服從(3.7)式的GARCH模型，可 以證明隨機誤差項6的方差為：k=-，心>° (3.8)1 (亍匕+亍0)/=! j=l若要保證方差大于0,要求分母>0,

7、即有：qp2>+工0<1 (3.9)匸i戶1上式成立時，隨機誤差項6為一平穩(wěn)過程。否則 隨機誤差項的方差將趨向無窮大。實際應用中，(3.9)式代表的條件可以看成是外 部沖擊對隨機誤差現(xiàn)6的邈動所產(chǎn)生的影響隨時 間的滯后而變?nèi)?，士w + f角 可視作外部沖擊Z=1/ = 1對指數(shù)波動影響的衰減系數(shù)，其值越小，衰減越 快。 Porterba & summers (1986)的研究表明，美國 旳衰減系數(shù)約為0.97,史代敏(2002)的研究顯 示滬深兩市1996年以后的衰減系數(shù)為0.970.98, 而這以前是0.860.88。以上研究均采用GARCH (1,1) O外部影響的持續(xù)

8、性有所增加。例題：上證綜指的衰減系數(shù)計算記為上證綜指日收盤價（練習時可選用周收 盤），一般用隨機游走模型對股指、價格這一類 特殊序列進行特征描述，所以理論模型為：% = 1+® （*）實際回歸模型一般采用log（x） = a log（x_i） + 習（* *）（*）和（*）有何區(qū)別？此方法可以用于期貨價格、自由匯率等時間序列 的計算，不同問題結(jié)果分析時有所側(cè)重。不同階段的時間序列的結(jié)果（當堂演算）.從95年12月到98年12月，衰減系數(shù)=0.92； 98年12月到今，衰減系數(shù)=0.97第三節(jié)其它ARCH類模型1、ARCH-M模型ARCH-M模型就是在模型中將隨機誤差項的方差 直接作為

9、解釋變量，這也表明了投資收益與風險(波動性-即方圭或標準差)肴關(guān)。具祐寫應.同樣有.X=X,0 + +爲(3.10st=4'vt ，匕為白噪聲序列I如果巾有(3.2)的結(jié)構(gòu)，稱模型為ARCH-M(q). 如果人有(3.7)的結(jié)構(gòu)，稱模型為GARCH-M(p,q) ARCH-M模型在Eviews中可直接實現(xiàn)。2、非對稱ARCH模型一TARCH和EGARCH模型對股票市場的研究發(fā)現(xiàn)，股份下跌和上漲的幅度 相同時，價格的波動性不是對稱的，下跌時刻的 價格波動更劇烈。為了表達這種非對稱性，Zakoian1990年提出了TARCH模型，在模型中引 入一虛擬變量用來表示上漲和下跌的情況。模型 的條

10、件方差為：qpht=aQ + 工字二+總Qt+工刀心（3.11）=1>1其中：Dt=勺<°, Dt=1表示股價下跌。指數(shù)(Exponential)GARCH-EGARCH 模型該模型由Nelson在1991年提出。模型的條件方差 表達式為qi=s,-i(心)(3.12模型的條件方差采用自然對數(shù)方式，保證不小于0。 若說明信息作用非對稱，若0<0 ,杠桿 效應顯著。非對稱模型都可在軟件上實現(xiàn)。用上證指數(shù)的例子來說明。時間序列分析上機練習參考有用的時間序列數(shù)據(jù)：各市場中的股價指數(shù)、行 業(yè)指數(shù)、個股價格、成交量；開放式基金或封閉 式基金凈值與價格，開放式基金規(guī)模；期貨價格、 蒔倉量、父易量；處亡父身彳介格;CPI； GDP； 其它金融時間序列；練習目的：掌握并熟練ADF檢驗、單整與協(xié)整檢 疏、EMC> Granger囪臬檢驗、ARCH系列應用建模參考：A、B市場關(guān)聯(lián)性、基金與股價指數(shù)的 關(guān)聯(lián)性、購買力平價模型、股價與CPI或GDP的 關(guān)系，基金規(guī)模與股價或凈值的關(guān)系等；選擇一些建模主題，尋找數(shù)據(jù)，進行各項檢驗及 回歸分析。討論課內(nèi)容 1、利用證券市場指數(shù)數(shù)據(jù)分析股票市場的 袁減系數(shù)； 2、非對稱ARCH模型TARCH和EGARCH模型的應