金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)第三講ARCH模型的理論與應(yīng)用

1、第三講ARCH模型的理論與應(yīng)用第一節(jié)ARCH模型：檢驗(yàn)及估計(jì) 第二節(jié)GARCH模型的檢驗(yàn)與估計(jì) 第三節(jié)其它ARCH類模型ARCH模型的具體形式恩格爾(Engle) 1982年提岀的“條件異方差 自回歸模型(AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) ” ,簡(jiǎn)稱ARCH模型。ARCH理論是目前國(guó)際上前沿的用于金融市場(chǎng) 資產(chǎn)定價(jià)的理論。與傳統(tǒng)的CAPM、APT理論 相比，ARCH是一種動(dòng)態(tài)非線性的股票定價(jià)模 型，它突破了傳統(tǒng)的方法論和思維方式，摒棄 了風(fēng)險(xiǎn)與收益呈線性關(guān)系的假定，反映了隨機(jī) 過程的一個(gè)特殊性質(zhì)方差隨時(shí)間變化而變 化。ARCH模型描述

2、了在前t-1期的信息集合給定的條件下隨機(jī) 誤差項(xiàng)的分布。一般的ARCH模型表述如下：出一1 = X1，兀1，X2，兀2，給定時(shí),對(duì)于回歸模型：y=X卩七5沁一N(O,/0(3.1)呂2q人二兔+厶字一 (3.2)% >0,0 >0，ande <1z=l/=!即方差&和滯后1期、2期及至q期的解釋變量有關(guān)。ARCH的統(tǒng)計(jì)特征起初的ARCH（q）指回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)的平方分 服從AR（q）過程,即有：=a0+z12_1 +勺0爲(wèi) + 匕（3.3）其中，匕服從E（匕）=0 ， »（匕）=才稱（3.3）'式為自回歸條件異方差模型（ARCH）,記序列

3、7; ARCH®（3.2）為（3.3）的拓展形式，也是現(xiàn)在常用的寫法。主要從條件期望值和條件方差考慮。條件期望值：EG E_1 )=揚(yáng)£(匕)=0 (3.4)條件方差值：E&殆(3.5)由(3.5)式可知，ARCH模型的隨機(jī)誤差項(xiàng) 的方差值非固定，也就是條件異方差。ARCH(q)的檢驗(yàn)一種是直接利用定義，對(duì)模型Y = XB + U進(jìn)行 回歸分析后，再對(duì)殘差值平方的序列k2作序 列自回歸檢驗(yàn)。可用輔助函數(shù)，也可直接在回歸 命令后加上AR(q)o另一種常用的檢驗(yàn)方法就是前一講提到的拉格朗 日乘數(shù)檢驗(yàn)(Lagrange multiplier test),就是 Eviews

4、軟件中的ARCHLM檢驗(yàn)。輔助模型為：該檢驗(yàn)的原假設(shè)峯備選假澳是：h, = «0 + «i-i + - -，+aq£t-q + vt (*6)H。:=禺=a = 0; 比:3oCj H 0,1 <i<q Eviews命令：在方程結(jié)臬輸比窗口述律View/Residual Tests/ARCH IM Test即可。例3仁 開放式基金與股價(jià)指數(shù)因果關(guān)系分析選指數(shù)型基金一家，上證180指數(shù)為解釋變 量，討論之間是否有ARCH特征。直接利用軟件進(jìn)行回歸Eviews軟件中有專門的ARCH回歸功能，估 計(jì)ARCH模型的參數(shù)時(shí)，采用極大似然法。菜單方式：在主窗口擊Q

5、uick/Estimate equation,再在方程選擇框中選method為 ARCH即可。第二節(jié) GARC H模型的檢驗(yàn)與估計(jì)1986年，波勒斯勒夫(Bollerslev)提出了條件方 差函數(shù)的拓展形式，即廣義ARCH模型 GARCH (Generalized Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity ) 一般的GARCH模型可表達(dá)為兒=Xt 3+8tqp人二十工字二+工卩jh_j (3.7)/=1J=1(3.7)表示階數(shù)為p和q的GARCH過程,記作GARCH (p3q)為保證條件方差人0£（氣）= 0,2）（叫）=1E（嶺匕

6、）= 0（工巧；勺 >0,勺0/ -0, J = I,-,pqi=lXa<i，參數(shù)滿足條件:相對(duì)于ARCH, GARCH模型的優(yōu)點(diǎn)在于： 可以用較為簡(jiǎn)單的GARCH模型來代表一個(gè) 高階ARCH模型，從而使得模型的識(shí)別和估 計(jì)都變得比較容易。最常見的用法是GARCH (1, 1) o Eviews軟件中ARC H的估計(jì)實(shí)際上是 GARCH, ARCH是p=0時(shí)的GARCH。GARCH模型的特征對(duì)于隨機(jī)誤差項(xiàng)服從(3.7)式的GARCH模型，可 以證明隨機(jī)誤差項(xiàng)6的方差為：k=-，心>° (3.8)1 (亍匕+亍0)/=! j=l若要保證方差大于0,要求分母>0,

7、即有：qp2>+工0<1 (3.9)匸i戶1上式成立時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)6為一平穩(wěn)過程。否則 隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差將趨向無(wú)窮大。實(shí)際應(yīng)用中，(3.9)式代表的條件可以看成是外 部沖擊對(duì)隨機(jī)誤差現(xiàn)6的邈動(dòng)所產(chǎn)生的影響隨時(shí) 間的滯后而變?nèi)?，士w + f角 可視作外部沖擊Z=1/ = 1對(duì)指數(shù)波動(dòng)影響的衰減系數(shù)，其值越小，衰減越 快。 Porterba & summers (1986)的研究表明，美國(guó) 旳衰減系數(shù)約為0.97,史代敏(2002)的研究顯 示滬深兩市1996年以后的衰減系數(shù)為0.970.98, 而這以前是0.860.88。以上研究均采用GARCH (1,1) O外部影響的持續(xù)

8、性有所增加。例題：上證綜指的衰減系數(shù)計(jì)算記為上證綜指日收盤價(jià)（練習(xí)時(shí)可選用周收 盤），一般用隨機(jī)游走模型對(duì)股指、價(jià)格這一類 特殊序列進(jìn)行特征描述，所以理論模型為：% = 1+® （*）實(shí)際回歸模型一般采用log（x） = a log（x_i） + 習(xí)（* *）（*）和（*）有何區(qū)別？此方法可以用于期貨價(jià)格、自由匯率等時(shí)間序列 的計(jì)算，不同問題結(jié)果分析時(shí)有所側(cè)重。不同階段的時(shí)間序列的結(jié)果（當(dāng)堂演算）.從95年12月到98年12月，衰減系數(shù)=0.92； 98年12月到今，衰減系數(shù)=0.97第三節(jié)其它ARCH類模型1、ARCH-M模型ARCH-M模型就是在模型中將隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差 直接作為

9、解釋變量，這也表明了投資收益與風(fēng)險(xiǎn)(波動(dòng)性-即方圭或標(biāo)準(zhǔn)差)肴關(guān)。具祐寫應(yīng).同樣有.X=X,0 + +爲(wèi)(3.10st=4'vt ，匕為白噪聲序列I如果巾有(3.2)的結(jié)構(gòu)，稱模型為ARCH-M(q). 如果人有(3.7)的結(jié)構(gòu)，稱模型為GARCH-M(p,q) ARCH-M模型在Eviews中可直接實(shí)現(xiàn)。2、非對(duì)稱ARCH模型一TARCH和EGARCH模型對(duì)股票市場(chǎng)的研究發(fā)現(xiàn)，股份下跌和上漲的幅度 相同時(shí)，價(jià)格的波動(dòng)性不是對(duì)稱的，下跌時(shí)刻的 價(jià)格波動(dòng)更劇烈。為了表達(dá)這種非對(duì)稱性，Zakoian1990年提出了TARCH模型，在模型中引 入一虛擬變量用來表示上漲和下跌的情況。模型 的條

10、件方差為：qpht=aQ + 工字二+總Qt+工刀心（3.11）=1>1其中：Dt=勺<°, Dt=1表示股價(jià)下跌。指數(shù)(Exponential)GARCH-EGARCH 模型該模型由Nelson在1991年提出。模型的條件方差 表達(dá)式為qi=s,-i(心)(3.12模型的條件方差采用自然對(duì)數(shù)方式，保證不小于0。 若說明信息作用非對(duì)稱，若0<0 ,杠桿 效應(yīng)顯著。非對(duì)稱模型都可在軟件上實(shí)現(xiàn)。用上證指數(shù)的例子來說明。時(shí)間序列分析上機(jī)練習(xí)參考有用的時(shí)間序列數(shù)據(jù)：各市場(chǎng)中的股價(jià)指數(shù)、行 業(yè)指數(shù)、個(gè)股價(jià)格、成交量；開放式基金或封閉 式基金凈值與價(jià)格，開放式基金規(guī)模；期貨價(jià)格、 蒔倉(cāng)量、父易量；處亡父身彳介格;CPI； GDP； 其它金融時(shí)間序列；練習(xí)目的：掌握并熟練ADF檢驗(yàn)、單整與協(xié)整檢 疏、EMC> Granger囪臬檢驗(yàn)、ARCH系列應(yīng)用建模參考：A、B市場(chǎng)關(guān)聯(lián)性、基金與股價(jià)指數(shù)的 關(guān)聯(lián)性、購(gòu)買力平價(jià)模型、股價(jià)與CPI或GDP的 關(guān)系，基金規(guī)模與股價(jià)或凈值的關(guān)系等；選擇一些建模主題，尋找數(shù)據(jù)，進(jìn)行各項(xiàng)檢驗(yàn)及 回歸分析。討論課內(nèi)容 1、利用證券市場(chǎng)指數(shù)數(shù)據(jù)分析股票市場(chǎng)的 袁減系數(shù)； 2、非對(duì)稱ARCH模型TARCH和EGARCH模型的應(yīng)