第十一章 全等三角形

1、第十一章 全等三角形111 全等三角形【例題解析】A典型例題分析例。如圖ABCDCB，若和是對(duì)應(yīng)角，寫出其他各對(duì)應(yīng)角，BCD12例：如圖ABCDCB，若1和2是對(duì)應(yīng)角，寫出其他各對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊（用“=”表示出來(lái)），并說(shuō)明理由.分析：根據(jù)三角形全等式就可確定對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，由對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊相等.解：ABCDCBACB=DBC （即1=2）A=D ABC=DCBAB=DC AC=DB BC=CB （全等三角形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等）點(diǎn)評(píng)：記兩個(gè)三角形全等時(shí)，一定要注意“對(duì)應(yīng)”，把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫在對(duì)應(yīng)的位置上.【課堂練習(xí)】一、基礎(chǔ)填空1、如果ABCA'B'C

2、',如圖，那么AB= ，BC= ，AC= . BDEAC第3題 A= ，B= , C= COBAD第2題ABCA'B'C'第1題 2、如圖，AOBCOD，OA=OC，則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 ，A的對(duì)應(yīng)角是 , AB的對(duì)應(yīng)邊是 .3、如圖，ABEACD，則對(duì)應(yīng)邊為 ， ， ，對(duì)應(yīng)角為 ， ， .4、已知ABCFED, ABC的周長(zhǎng)為32,AB=8,BC=12，則FD= .二、基礎(chǔ)選擇1、如圖，ABDCDB，ABD=40°，CBD=30°，則C等于( )BACD第1題ABCD第2題CABDEF第3題ABCDE第4題A20° B.100

3、6; C.110° D. CDA2、如圖，ABDBAC，若AD=BC，則BAD的對(duì)應(yīng)角是（ ）A.ABC B. BCD C. ADB D. CDA3.、如圖，ABCDEF，已知AB=3，AC=5，EC=4，則BF為（ ）。A. 3 B. 4 C. 5 D. 不確定4、已知，如圖，ABDACE，以下四個(gè)等式：AB=AC，AD=AE，BD=CE，BE=CD，其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）BACDEF第1題A1 B. 2 C. 3 D. 4三、解答題1、如圖，ABCDFE，且BC=7cm, EC=4cm, 求CF的長(zhǎng).ABCDE第2題2、如圖，ABC中，D、E是BC上的兩點(diǎn)，且ABDACE， BA

4、C=80°，求B和C 的度數(shù).【課后鞏固】1、如圖，沿直線AC對(duì)折，ABC與ADC重合，則ABC ，AB的對(duì)應(yīng)邊是 ，AC的對(duì)應(yīng)邊是 ，BCA的對(duì)應(yīng)角是 .第3題ADBC第2題第4題DCBABACDE第1題DCBA2、如圖，ABCCDA，AB=CD，BC= ，CA= .3、如圖，ACBAED，ACB=E，B= ，BAC= .4、如圖，已知ABCDCB，若CD=4cm，A=28°，DBC=35°，則AB= ， D= ，ABC= .FDCBAE第5題5、 如圖，ABCDEF，A=85°，B=60°，求DFE.DEABC第6題6、如圖，ABDACE，

5、求證：BE=CD.【能力提高】BCDEFA 如圖所示，ABFDCE，由此你可得到哪些結(jié)論？盡可能多地寫出這些結(jié)論.11.2 三角形全等的判定（一）【例題解析】例：如圖，已知AC=FE，BC=DE，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，且AD=FB.求證：（1）ABCFDE；（2）ACFE.分析：要證ABCFDE，已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，把注意力集中到第三邊AB和FD上，因AD=BF，ABCDEF故AD+DB=BF+DB。證明：（1）AD=FB AD+DB=BF+DB 即 AB=FD 在ABC和FDE中， AC=FE BC=DE AB=FD ABCFDE （SSS） （2）ABCFDE A=F ACFE點(diǎn)評(píng)：

6、利用“邊邊邊”公理證明三角形全等時(shí)，要根據(jù)已知條件，通常會(huì)根據(jù)等式性質(zhì)進(jìn)行線段相加或相減得出相等的對(duì)應(yīng)線段；另外要發(fā)現(xiàn)公共邊隱藏的條件.【課堂練習(xí)】一、基礎(chǔ)填空1、邊邊邊公理指的是：有 邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形 , 簡(jiǎn)寫為 和 .2、如圖，已知AB=DC，AC=DB，CBD=35°，則1= .3、在ABC和DEF中，已知AB=DE，AC=DF，只要補(bǔ)充條件 , 就可得到ABCDEF. BCDBDEC4、如圖，AB=AD，CB=CD，B=30°，BAD=46°，則ACB= .AACABDO1第2題CDB第4題CBDE第5題 5、已知，如圖，ABC中，AB=AC，D、E

7、是BC上兩點(diǎn)，且AD=AE，要使ABDAEC， 要補(bǔ)充的條件是 .二、基礎(chǔ)選擇1、已知，如圖，AB=DC，AD=BC，則以下寫法適當(dāng)?shù)氖牵?）ACBDMNBACDEABCD第1題第3題第2題BCAED第4題 AABDCDB B. ABDCBD C. ABDBCD D.ABDDBC2、如圖，ABC中，AB=AC，EB=EC，則由“SSS”可以判定（ ） A、ABDACD B、ABEACE C、BDECDE D、以上都不對(duì)3、已知，如圖，點(diǎn)A、C、B、D在一條直線上，AC=BD，AM=CN，BM=DN，則下列不正確的是（ ） AAMCN B. BMDN C.M=N D. BM=CN4、已知，如圖，

8、AC=AD，BC=BD，CE=DE，E是AB上一點(diǎn)，則圖中全等三角形共有（ ）對(duì)A1 B. 2 C.3 D. 4三、解答題CABD1、如圖，AB=AC，BD=CD，求證：（1）ABDACD （2）ADBCDCBA第1題【課后鞏固】1、如圖，AB=AC，BD=CD，求證：AD平分BAC.ABCDEF第2題2、如圖，AB=CD，BE=DF，AF=CE，求證：B=DAOCD12B第3題3、已知，如圖，AC與BD交點(diǎn)于點(diǎn)O，AB=DC，AC=DB.求證：1=2ABCD第4題4、已知，如圖，AB=DC，AD=BC，求證：ADBC【能力提高】ABCDE第1題1、 已知，如圖，A、B、C在同一條直線上，AD

9、=CB，AB=CE，BD=EB.求證：A=C=DBEABC第2題2、已知，如圖，ABC中，AB=AC，求證：B=C11.2 三角形全等的判定（二）【例題解析】例：已知，如圖，AB=AD，AC=AE，1=2，求證：E=C分析：只要證明ABCADE，就得到E=C；在ABC和ADE中，AB=AD，AC=AE，只須證明CAB=EAD即可。12ABCDE證明：1=2 1+BAE=2+BAE 即BAC=DAE 在ABC和ADE中， AB=AD BAC=DAE AC=AE ABCADE E=C點(diǎn)評(píng)：在利用“邊角邊”公理證明三角形全等時(shí)，要根據(jù)已知條件尋找兩邊一夾角對(duì)應(yīng)相等；若已知兩邊相等，通?？此鼈兊膴A角是

10、否對(duì)應(yīng)相等；若已知一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，通?？催@個(gè)角的兩邊是否對(duì)應(yīng)相等.【課堂練習(xí)】一、基礎(chǔ)填空第2題ABDE第1題CAEBCDFABCDABCD12第3題第4題1、如圖，如果AB=AC，根據(jù)SAS，只需 = ，即可判定ABDACE2、如圖，已知BD=CD，ADBC，B=35°，則C= .3、如圖，已知AD=BC，1=2，AC=3，則BD= .4、如圖，已知AC=DB，EAAD于A，F(xiàn)DAD于D，AE=FD，則 .二、基礎(chǔ)選擇1、如圖，已知AC=AD，1=2，則ABC與ABD（ ）ACD第3題第1題AD12C第4題ABCDOBB第2題EABCD21 A全等 B. 不一定全等 C. 不全等

11、D. 以上都不對(duì)2、如圖，已知AB=AC，AD=AE，欲證ABDACE，須補(bǔ)充的條件是（ ）A、B=C B、D=E C、1=2 D、CAD=ADB3、如圖，已知ADBC，AD=CB，則ABC與CDA（ ） A不一定全等 B. 一定全等 C. 一定不全等 D. 以上都不對(duì)4、如圖，已知AC與BD相交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD，以下四個(gè)關(guān)系：AODCODAOBAOD，COBCOD，AOBCOD其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）ABCO12第1題A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)三、解答題1、如圖，AO=CO，1=2，求證：OABOCBABCDE2已知，如圖，AB=AC，BD=CE，B=C，求證：ABE

12、ACD第2題ABCDO第3題3已知：如圖，AO=BO，CO=DO，求證：AC=BD【課后鞏固】第1題BAPOCD1、如圖，OP是AOC和BOD的平分線，OA=OC，OB=OD.求證：AB=CD第2題EDCBA2、已知：如圖，C是BE上一點(diǎn)，點(diǎn)A、D分別在BE的兩側(cè)，ABED，AB=CE， BC=DE.求證：AC=CD第3題M3、已知，如圖，M是AB的中點(diǎn)，MC=MD，1=2，求證：AC=BDABCDEF第4題4、如圖，AF=CE，AD=CB，ADBC，求證：D=B【能力提高】ABCDEF第1題1、如圖，已知四邊形ABCD中，AB=CD，BC=DA，EF是AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF，求證：BF=

13、DE。第2題DEBCA2、如圖，已知ABBD，EDBD，BC=DE，AB=CD，求證：ACCE11.2 三角形全等的判定（三）【例題解析】例：如圖，在ABC中，C=90°，AC=4，AB=7，AD是角平分線，DEAB，垂足為E，求BE的長(zhǎng)。分析：要求BE的長(zhǎng)，只須求出AE的長(zhǎng)；AE和AC是否存在某種關(guān)系？在ACD和AED中可找到哪些對(duì)應(yīng)相等的條件，適用哪種判定它們?nèi)?？證明：DEAB DEA=C=90°AD平分CAB1=2 CDEBA21C=DEA在ACD和AED中， 1=2 AD=ADACDAED （AAS）AE=AC=4 BE=ABAE=7-4=3（）點(diǎn)評(píng)：在利用“角邊

14、角”和“角角邊”證明三角形全等時(shí)，要根據(jù)已知條件尋找兩角一夾邊對(duì)應(yīng)相等；若已知兩角相等，通?？此鼈兊膴A邊是否對(duì)應(yīng)相等（ASA）或看其中一角的對(duì)邊是否對(duì)應(yīng)相等（AAS）【課堂練習(xí)】一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1如圖，1=2，B=C，則ABCADC，根據(jù)是 .第3題PCBAOED第1題BA21DC45°105°62如圖中的兩個(gè)三角形全等嗎？答： （填“全等”或“不一定全等”）.30°45°6第2題3、 已知，如圖，OC平分AOB，P是OC上一點(diǎn)，PDOA，PEOB，垂足分別是D、E， PD=2，則PE= .4、已知，ABC中，B=C，AD是BC邊上的高，若BC=6，則BD=

15、 .二、基礎(chǔ)選擇ABCDE第1題ABCDCDABE第4題第2題第3題1、已知，如圖，AB=AC，B=C，則ABD與ACE（ ） A一定全等 B. 不一定全等 C. 不全等 D. 以上都不對(duì)2、如圖，已知ABCD，ADCB，則ABCCDA的依據(jù)是（ ） ASAS B. ASA C. AAS D. 以上都不對(duì)3、如圖，1=2，BC=EF，要使ABCDEF，還要補(bǔ)充的條件是（ ） A、AB=DE B、ACE=DFC C、B=E D、BF=EC4、已知，如圖，ABC中，AB=AC，BD、CE是高，則以下說(shuō)法不正確的是（ ）。 AABDACE B.AD=AE C. BD=CE D. AD=BDBCAOD

16、第1題三、解答題1已知，如圖，DCAB，AO=CO.求證：AOBCODP第2題21FOE2、已知，如圖，1=2，E=F. 求證：PE=PFCADBE第3題3已知，如圖，BDAC，CEAB， D、E為垂足，AD=AE. 求證：BE=CD【課后鞏固】1已知：如圖，AE=BE，AEB=CED，C=D.求證：EC=EDABCDE第1題EABCD第2題2已知：如圖，ABD=CBD，ADE=CDE，求證：AB=CBAFBCDE第3題3、如圖,要測(cè)量河流兩岸相對(duì)的兩建筑物A和B的距離,可從B點(diǎn)出發(fā)沿河岸畫一射線BF,在BF上截取BC=CD,過(guò)D作DEAB,使E、C、A在同一直線上,測(cè)得DE的長(zhǎng)度就是A、B之

17、間的距離.請(qǐng)說(shuō)明理由. 4如圖，ABCD，AB=CD，E、F分別為DC，AB的中點(diǎn)，EF交DB于O。求證：OE=OFFABCDEO第4題【能力提高】EBCDA已知，如圖，ABC中，C=90°，BE平分ABC，DEAB于D，且BD=AD，求A的度數(shù).11.2 三角形全等的條件（四）【例題解析】FABCDE例：已知，如圖，AB=CD，AEBC，DFBC，CE=BF.求證：ABCD分析：若證得B=C，就可得到ABCD；在RtABE和RtDCF中，已知AB=CD，考慮找另一邊對(duì)應(yīng)相等，找哪一對(duì)應(yīng)邊呢？證明：CE=BF CE+EF=BF+EF 即BE=CF AEBC， DFBC AEB=DFC

18、=RtAB=DCBE=CF 在RtABE和RtDCF中， RtABERtDCF（ HL ）B=C ABCD點(diǎn)評(píng)：在利用“斜邊、直角邊”證明直角三角形全等時(shí)，要注意它的適用范圍是直角三角形且條件是必須斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)相等.ABCEF第1題D【課堂練習(xí)】B一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1、如圖，已知A=D=90°，AB=DE，把下列說(shuō)明RtABCRtDEF的條件補(bǔ)充完整： （1） (AAS)，（2） （SAS）， （3） （ASA）（4） (HL).2已知：如圖C=D=90°，AD=BC，1=35°，則1D第2題CBA2BACD第4題E第3題DACB2的度數(shù)為 . 3、已知，如圖，B

19、AC=DCA=90°，AD=BC，ACB=20°，則DAC= .4、已知，如圖，在ABC中，C=90°，DEAB 交BC于E，AC=AE，若CD=3cm，則DE 的長(zhǎng)為 cm.二、基礎(chǔ)選擇1、兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形( ).A一定全等 B. 不一定全等 C. 一定不全等 D. 以上都不對(duì)2、如圖，已知E為CD的中點(diǎn)，AE=BE，ACCD于C，BDCD于D，則ACEBDE（ ）的理由是（ ） A、SSS B、ASA C、AAS D、HL3、 如圖,已知CEAB,DFAB,垂足分別為E、F,AC=BD,AF=BE,則CE=( ).AAE B. BF C. DF

20、 D. BD 4、如圖,已知AOB=60°,P是AOB內(nèi)一點(diǎn),PCOA,PDOB,垂足分別為C、D,且PC=PD,則AOP=( )ABCDBPACDO BACDE第2題第5題第4題FABCDE第3題 A、60° B、50° C、40° D、30° 5、已知,如圖, ABC中,AB=AC,AD是高,結(jié)論:B=C,BAD=CAD,BD=DCAB=BC,其中正確的有( ).A1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)ABCD三、解答題如圖,已知CBAB,CDAD,AB=AD,求證:AC平分BAD.【課后鞏固】OABCD第1題1、 如圖,已知DOBC,O

21、A=OC,AB=CD,求證: C=OAB.FADECB第2題2、如圖,已知ABAC,BDAB,AC=DB,EC=FD,求證:AF=EB. ABCDE第3題3、如圖, ABC中, CDAB于D, BEAC于E,CD=BE,求證:BD=ECABC第4題4、如圖, ABC中,AC=AB, 求證:B=CMABCD第5題5、如圖,已知AC=CD,AB=CM, ABBC, DMAC,求證: ABCD【能力提高】1、如圖,AC=BD,ADAC, BCBD,求證:AD=BCABCD第1題2、如圖，已知ADBC于D，F(xiàn)為AD上一點(diǎn)，BF=AC，BD=AD，BF的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E.第2題EDCBAF 求證：BE

22、AC 11.3 角的平分線的性質(zhì)（一）【例題解析】例：如圖，CFAB于F，BEAC于E，BE交CF于O，AO平分BAC.求證：BO=COOABCEF分析：要證明BO=CO，可通過(guò)證明OFBOEC來(lái)實(shí)現(xiàn)，OFB和OEC中，已知有一直角一銳角（對(duì)頂角）對(duì)應(yīng)相等，還需要找一對(duì)應(yīng)邊相等，分析已知條件，確定哪對(duì)線段對(duì)應(yīng)相等呢？證明：AO平分BAC， OFAB，OEAC OF=OE，BFO=CEO=90°BFO=CEOOF=OEBOF=COF 在BOF和COE中 BOFCOE （ASA） BO=CO點(diǎn)評(píng)：“點(diǎn)到直線的距離”就是點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，在書(shū)寫時(shí)一定要將垂直寫出.【課堂練習(xí)】一、基礎(chǔ)

23、填空第4題ABCDE第3題O12ABCEF第1題AOECDFPB1、如圖，請(qǐng)完成推理：1=2， ，CE=CF。2、三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形的 距離相等.3、如圖，C=90°，AD是ABC的角平分線，CD=5，則點(diǎn)D到AB的距離DE= 4、如圖，P是AOB的平分線OE上的一點(diǎn)，PCOA于C，PDOE于P，PFOB于F，則PF= .二、基礎(chǔ)選擇1、已知，如圖OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，D、E分別是OA、OB上的點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）ABCDEF第4題第1題AOBPDE A、PD=PE B、PDPE C、PDPE D、PD與PE的大小關(guān)系不能確定B第3題AC

24、DE第2題PCBADEFC2、如圖，已知BP平分ABC，PDAB，PEBC，PFAC，垂足分別為D、E、F，則有（ ） A、PD=PE B、PE=PF C、PD=PF D、PD=PE=PF3、如圖，ABC中，ACB=90°，BE平分ABC，DEAB于D，若AC=3cm，則AE+DE=（ ） A、2cm B、3cm D、4cm 5、5cm4、如圖，ABC 中，AB=AC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F下列結(jié)論：ADBC，BD=DC，BDE=CDF，DE=DF，B=C.其中正確的有（ ）A2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè)三、解答題第1題CBAO1、如圖，兩根

25、長(zhǎng)度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面的兩個(gè)木樁上.（1）兩個(gè)木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）點(diǎn)O到兩根繩子的距離相等嗎？為什么？2、如圖，在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，則：（1）圖中相等的線段有哪些？相等的角呢？（2）哪條線段與DE相等？為什么？AEDCB（3）若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的長(zhǎng)和AED的周長(zhǎng)第2題3、如圖，ABC中，AD是它的角平分線，DEAB于E，DFAC于F，且BE=CF.ABCD第3題FE求證：BD=DC【課后鞏固】第1題BDCA1、在ABC中，ACBC，AD為BAC的平分線，DEAB，AB7，AC3，求BE的長(zhǎng)

26、E第2題FBDCAE2、如圖：在ABC中，C=90° AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF. 求證：CF=EBDCBA第3題FE3、如圖，ABC中，AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，DEAB，DFAC.求證：DE=DFPABCDMN第4題4、如圖，BD平分ABC，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PMAD于M，PNCD于N，求證：PM=PN【能力提高】MCBDAEF如圖，已知ABCD，BAC的平分線與DCA的平分線交于點(diǎn)M，經(jīng)過(guò)M的直線EFAB于F，EF交CD于E.求證：點(diǎn)M為EF的中點(diǎn). 113 角的平分線的性質(zhì)（二）【例題解析】KABCDEFH例：如圖，已知D、E、F分別為ABC三邊上的點(diǎn)，且CE=BF，DEC和DBF的面積相等，求證：AD平分BAC.分析：要證AD平分BAC，只要證得點(diǎn)D到AC、AB的距離相等.因此，須作出D到AC、AB的距離，利用DEC和DBF的面積相等這一條件證明點(diǎn)D到AC、AB的距離相等。證明：過(guò)D點(diǎn)作DHAB于H，DKAC于K SDBF=BF·DH，SDCE=CE·DK SDCE=SDFB BF·DH= CE·DK CE=BF DH=DK D點(diǎn)在BAC的平分線上 即AD平分BAC點(diǎn)評(píng)：在判斷有關(guān)到角的兩邊距離相等的