知識(shí)要點(diǎn)：高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)數(shù)列

1、精品資源§ 3.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)1.等差、等比數(shù)列:等差數(shù)列等比數(shù)列定義an + -a n d=q(q,。) an遞推公式an =an+d ； an =am_n +mdn _man =anq ； an =amq通項(xiàng)公式an =a1 +(n _-)dn/.八、an =aiq( a-, q #0 )中項(xiàng)a an _k +a n * A =2(n, k w N ,n >k >0 )G =±an_kan« (an_kan* - 0)(n,kWN ,nkA0)前n項(xiàng)和Sn = (a- +an)n(n -1) Sn =na1 +-dSn = "rmnai(q

2、 =1)a'ELaTnq (q 之2)1 -q1 -q重要性質(zhì).*am+an =ap +aq(m,n, p,q = N ,m +n = p +q),一一*,，、am an =ap aq(m,n, p,q 匚 N ,m+n= p+q)看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：an an=d（n之2,d為常數(shù)）2an =an .1 an（n _2） an =kn +b（ n, k 為常數(shù)）.看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：an =anq（n至2,q為常數(shù)，且#0） an =an + an（n 22 , a n an +a n 1- 00）注：i. b=JC,是a、b、c成等比的雙非條件，即

3、b=JaCa、b、c等比數(shù)列.ii. b =Tac （ac>0）-為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要iii. b =±Jac-為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.iv. b =±70c且ac-0f為a、b、c等比數(shù)列的充要.注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac>0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè)an =cqn （c,q為非零常數(shù)）.正數(shù)列 an成等比的充要條件是數(shù)列 log x an （ x -）成等比數(shù)列.Si = a（n = 1）數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：an =1 1Sn -Snj（n _2）注:an三1 qn _1 d =nd +（a1 -

4、d ） （ d可為零也可不為零-為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）-若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.等差an前n項(xiàng)和Sn = An2+Bn = l： n 2 +1 a1 -。 - d可以為零也可不為零為等差的充要條件一若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若 d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件 .非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列） 2 .等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍Sk, S2k Sk ,S3k S2k.;若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2 n（n三N +）,則S偶一S奇= nd,三 =an ;S偶an平若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n 1.

5、EN +）,則S2n=0n 1 ,n,且S奇一S偶=an, S奇二nS 偶 n _1二代入n到2n _1得到所求項(xiàng)數(shù).3 .常用公式：1+2+3+n = n（n +1）2 12 22 32 ./門 1 2n 162 13 23 33 n3 = n n 1一 2n5汪:熟悉常用通項(xiàng)：9, 99, 999, = an =10“ -1 ； 5, 55, 555,n an =一（10n 1） 94 .等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為a,年增長率為r,則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)歹U,aa -(1 - r)n1 一(1 ' r)公比為1十r .其中第

6、n年產(chǎn)量為a（1十r）n，且過n年后總產(chǎn)量為:a - a(1 - r) - a(1 - r) 2 ,，a(1 - r)n,銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存 a元，利息為r ,每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每 月的a元過n個(gè)月后便成為a（1 +r）n元.因此，第二年年初可存款:121110a(1 , r)1 一(1r嚴(yán)a(1 r) a(1 r) a(1 r) a(1 r)=1(1 r)ar(1 + r m二' X =1rm -1分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為 a元；m為m個(gè)月將款全部付清；r為年利率.a1rmf1rm' x1rm，x1 r x= a1 r m

7、-x1-1-5 .數(shù)列常見的幾種形式：q為二階常數(shù)）T用特證根方法求解. a n 七=pa n 由 Pa n（ p、具體步驟：寫出特征方程X2=Px+q （ x2對(duì)應(yīng)an七，x對(duì)應(yīng)an+），并設(shè)二根X1 , X2若X1力2可設(shè) an. 士ixn 把 2x2 ，若 X1=X2 可設(shè) an =(Ci+C2n)X；由初始值 a1,a2 確定 Ci ,C2 .an = Pan* (P、r為常數(shù)) t用轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；逐項(xiàng)選代；消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為a n史=Pan中4qan的形式，再用特征根方法求 an ；an=Ci+C2Pn，(公式法)，Ci ,C2由ai,a2確定.r轉(zhuǎn)化等差，等比：an 1 x =

8、P(an x)= an 1 = Pan Px -x= x .P -1選代法：an =Panr =P(Pan/ r) r -an =(a1 - r )Pn_l- r = (a1 x)Pn-xP -1 P -1=Pnai Pn/ l ，Pr r.a Pa r 用特征方程求斛：*目減，=a n書-an = Pan-Pan=an由=(P+1) an-Pan.an =Panr由選代法推導(dǎo)結(jié)果：C1=r, c2 =a1 + , an =C2Pn1 = (a1+r) Pn,+.1 -PP -1P -11 -P6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn ,在d Y0時(shí)，有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值，有兩種方法：d od一是求使an >0,an+0,成立的n值；二是由Sn =n2+(a1 一一)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求 n的值.22如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前