《黃金分割》專題練習(xí)

1、安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱打 造 中 國(guó) 一 流 的 學(xué) 習(xí) 資 料黃金分割專題練習(xí)一、選擇題1已知 C 是線段 AB 的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則 ACAB 為（ ）A5 -12B3 - 52C5 +1 5 -1 3 - 5D 或2 2 22若x -yy +1=x黃金數(shù)，則 的值是（ ） yA55B12C52D 53把 2 米的線段進(jìn)行黃金分割，則分成的較短的線段長(zhǎng)為（ ）A3 - 5B5 -1C1 + 5D3 + 54 美是一種感覺，本應(yīng)沒有什么客觀的標(biāo)準(zhǔn)，但在自然界里，物體形狀的比例卻提供了在勻稱與協(xié)調(diào)上的一種美 感的參考，在數(shù)學(xué)上，這個(gè)比例稱為黃金分割。在人體軀干（由腳底至肚臍的長(zhǎng)度）與身高的比

2、例上，肚臍是 理想的黃金分割點(diǎn)，也就是說(shuō)，若此比值越接近 0.618，就越給別人一種美的感覺。如果某女士身高為 1.60m， 軀干與身高的比為 0.60，為了追求美，她想利用高跟鞋達(dá)到這一效果，那么她選的高跟鞋的高度約為（ ） A2.5cm B5.1cm C7.5cm D8.2cm5 如圖，在正五邊形 ABCDE 中，對(duì)角線 AD、AC 與 EB 分別相交于點(diǎn) M、N下列命題：1 四邊形 EDCN 是菱形；2 四邊形 MNCD 是等腰梯形；3 AEN 與EDM 全等；4 AEM 與CBN 相似；5 點(diǎn) M 是線段 AD、BE、NE 的黃金分割點(diǎn)，其中假命題有（ ）A0 個(gè) B1 個(gè) C2 個(gè)

3、D4 個(gè)二、填空題1C 是 AB 的黃金分割點(diǎn)，則AABB=。2 P 為線段 AB10cm 的黃金分割點(diǎn)，則 AP cm（保留兩個(gè)有效數(shù)字）。3 當(dāng)人的肚臍到腳底的距離與身高的比等于黃金分割比 0.618 時(shí)，身材是最完美的。一位身高為 165cm，肚臍到 頭頂高度為 65cm 的女性，應(yīng)穿鞋跟為 cm 的高跟鞋才能使身材最完美（精確到 1cm）。4 如圖，節(jié)目主持人現(xiàn)站在舞臺(tái) AB 的一端 A 點(diǎn)，在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處可獲得最佳美學(xué)效果， 若舞臺(tái) AB 長(zhǎng) 20 米，主持人要想站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處，她應(yīng)走到距 A 點(diǎn)至少 米處，如果向 B 點(diǎn)再走 米，也處在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)

4、處（結(jié)果精確到 0.1 米）1安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱打 造 中 國(guó) 一 流 的 學(xué) 習(xí) 資 料5如圖，在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E 是邊 BC 上的黃金分割點(diǎn)，且 BECE，AE 與 BD 相交于點(diǎn) F那么 BF：FD 的 值為 。6如圖，在ABC 中，點(diǎn) D 是 AB 的黃金分割點(diǎn)（ADBD），BCAD，如果ACD90°，那么 tanA 。三、 解答下列各題1在人體軀干(腳底到肚臍的長(zhǎng)度)與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即比例越接近 0.618 越給人以美感。張女士的身高為 1.68 米，身體軀干(腳底到肚臍的高度)為 1.02 米，那么她應(yīng)選擇約多大的高跟鞋看起

5、來(lái)更美。(精確到十分位)2一般認(rèn)為，如果一個(gè)人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，則這個(gè)人好看。如圖，是一個(gè)參加 空姐選拔的選手的身高情況，那么她應(yīng)穿多高的鞋子才能好看？（精確到 1cm）參考數(shù)據(jù)：黃金分割比為5 12，52.236。2安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱打 造 中 國(guó) 一 流 的 學(xué) 習(xí) 資 料3要設(shè)計(jì)一座 2m 高的維納斯女神雕像（如圖），使雕像的上部AC（肚臍以上）與下部 BC（肚臍以下）的高度比， 等于下部與全部的高度比，即點(diǎn) C（肚臍）就叫做線段 AB 的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值叫做黃金分割比。試求出雕 像下部設(shè)計(jì)的高度以及這個(gè)黃金分割比？（結(jié)果精確到 0.001）4如圖，

6、在ABC 中，ABAC，A36°，12，請(qǐng)問點(diǎn) D 是不是線段 AC 的黃金分割點(diǎn)。請(qǐng)說(shuō)明理由。5如圖，ABC 中，ABAC，BAC108°，在 BC 邊上取一點(diǎn) D，使 BDBA，連接 AD。求證： （1）ADC BAC（2）點(diǎn) D 是 BC 的黃金分割點(diǎn)。6如圖 1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果AC BC=AB AC，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)。某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S ， S1 2，如果S S1 = 2S S1，那么稱直線l為該圖形

7、的黃金分割線。（1）研究小組猜想：ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖 2），則直線CD是 ABC的黃金分割線。你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？3安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱打 造 中 國(guó) 一 流 的 學(xué) 習(xí) 資 料（2） 請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3） 研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C 任作一條直線交 AB 于點(diǎn) E ，再過點(diǎn) D 作直線 DF CE ，交 AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖 3），則直線EF也是 ABC的黃金分割線。請(qǐng)你說(shuō)明理由。（4）如圖 4，點(diǎn) E 是ABCD的邊 AB 的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn) E 作 EFAD，交 DC 于點(diǎn) F，顯然直線 EF 是ABCD的

8、黃金分割線。請(qǐng)你畫一條ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過ABCD各邊黃金分割點(diǎn)。7（2013黃石）如圖 1，點(diǎn) C 將線段 AB 分成兩部分，如果AC BC=AB AC，那么稱點(diǎn) C 為線段 AB 的黃金分割點(diǎn) 。某數(shù)學(xué)興趣小組在進(jìn)行課題研究時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線 l 將一個(gè)面積為 S 的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為 S 、S ，如果1 2圖形的黃金分割線。S S1 = 2S S1，那么稱直線 l 為該（1） 如圖 2，在ABC 中，A36°，ABAC，C 的平分線交 AB 于點(diǎn) D，請(qǐng)問點(diǎn) D 是否是 AB 邊上的黃金分 割

9、點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；（2） 若ABC 在（1）的條件下，如圖 3，請(qǐng)問直線 CD 是不是ABC 的黃金分割線，并證明你的結(jié)論；（3） 如圖 4，在直角梯形 ABCD 中，DC90°，對(duì)角線 AC、BD 交于點(diǎn) F，延長(zhǎng) AB、DC 交于點(diǎn) E，連接 EF 交梯形上、下底于 G、H 兩點(diǎn)，請(qǐng)問直線 GH 是不是直角梯形 ABCD 的黃金分割線，并證明你的結(jié)論。8已知線段 AB，求作線段 AB 的黃金分割點(diǎn) C，使 ACBC。4安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱打 造 中 國(guó) 一 流 的 學(xué) 習(xí) 資 料相似形專題練習(xí)答案一、選擇題 1D2 D3 A4 C5 B二、填空題15 -1 5 +1 或2

10、2；2 6.2 或 3.8。3 解：設(shè)她應(yīng)選擇高跟鞋的高度是 xcm，則 解得：x5cm。故答案為：5。4 7.6，4.8。(165 -65) +x 165 +x=0.61855 -12。6解：點(diǎn) D 是 AB 的黃金分割點(diǎn)（ADBD），AD 5 -1=AB 2，AD2ABBD，BCAD，BC2ABBD，BC AB=BD BC，又BB， BCD BACCD BC AD 5 -1 = = =AC AB AB 2。在ACD 中，ACD90°，tanACD 5 -1=AC 2。故答案為5 -125安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱 三、 解答下列各題1設(shè)張女士應(yīng)該選擇 xcm 高的高跟鞋，則打 造

11、中 國(guó) 一 流 的 學(xué) 習(xí) 資 料102 +x168 +x=0.618 ，解得 x 4.8（cm）。2解：設(shè)應(yīng)穿 xcm 高的鞋子，根據(jù)題意，得6595 +x=5 -12。解得 x10cm。3解：設(shè)維納斯女神雕像下部的設(shè)計(jì)高度為 xm，那么雕像上部的高度為（2x）m。依題意，得2 -x x=x 2，解得x =-1+ 5 »1.236 1，x =-1- 5 1（不合題意，舍去）。經(jīng)檢驗(yàn)x =-1+ 5 1是原方程的根。答：維納斯女神雕像下部的高度為 1.236m。故這個(gè)黃金分割比為：5 -12»0.618。4解：D 是 AC 的黃金分割點(diǎn)理由如下： 在ABC 中，ABAC，A

12、36°，ABCACB12，12（180°36°）72°。1212ABC36°。在BDC 中，BDC180°2C72°， CBDC，BCBD。A1，ADBC。ABC 和BDC 中，2A，CC， ABC BDCAB BC=BD CD，又ABAC，ADBCBD，AC AD=AD CD，AD2ACCD，即 D 是 AC 的黃金分割點(diǎn)。5證明：（1）ABAC，BAC108°，BC36°，BDBA，BAD72°，CAD36°，CADB， 6BDC ABC12安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱 CC，ADC

13、BAC（2）ADC BAC打 造 中 國(guó) 一 流 的 學(xué) 習(xí) 資 料AC BC=CD AC，AC2BCCD，ACABBD，BD2BCCD，點(diǎn) D 是 BC 的黃金分割點(diǎn)。6（1）直線CD是 ABC的黃金分割線。理由如下：設(shè) ABC的邊AB上的高為h。S = ADC121 1AD gh ， S = BDgh ， S = AB gh2 2，所以，S AD S BD ADC = ， BDC = 。AB S AD ABC ADC又因?yàn)辄c(diǎn)D為邊AB的黃金分割點(diǎn)，所以有AD BD S S = 因此 ADC = BDCAB AD S ABC ADC。所以，直線 CD 是 ABC 的黃金分割線。（2）因?yàn)槿?/p>

14、形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時(shí)1s =s = s2，即s s1 ¹ 2s s1，所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線。（3）因?yàn)镈F CE，所以DEC和FCE的公共邊CE上的高也相等，所以有SDEC=SFCE。設(shè)直線EF與CD交于點(diǎn)G所以SDGE=SFGC所以S ADC=S四邊形 AFGD+S FGC=S四邊形 AFGD+S DGE=S AEF，S BDC=S四邊形 BEFC。又因?yàn)镾 S ADC = BDCS ABC ADC，所以S S AEF = 四邊形 BEFC S S ABC AEF。因此，直線EF也是 ABC的黃金分割線。（4）畫法不惟一，現(xiàn)提供兩種畫法

15、；畫法一：如答圖 1，取 EF 的中點(diǎn) G ，再過點(diǎn) G 作一條直線分別交 AB ， DC 于 M ， N 點(diǎn)，則直 線 MN 就是 ABCD 的黃金分割線畫法二：如答圖 2，在 DF 上取一點(diǎn) N ，連接 EN ，再過點(diǎn) F 作 FM NE 交 AB 于點(diǎn) M ，連接 MN ，則直線MN就是ABCD的黃金分割線。7ACDBCD安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱打 造 中 國(guó) 一 流 的 學(xué) 習(xí) 資 料D N FCD N FCGA E MBA E MB（第 6 題答圖 1） （第 6 題答圖 2）7解：（1）點(diǎn) D 是 AB 邊上的黃金分割點(diǎn)理由如下：ABAC，A36°，BACB72°

16、;。CD 是角平分線，ACDBCD36°，AACD，ADCD。CDB180°BBCD72°，CDBB，BCCD。BCAD。在BCD 與BCA 中，BB，BCDA36°，BCDBCABC BD=AB BC，ADAB=BDAD，點(diǎn) D 是 AB 邊上的黃金分割點(diǎn)。（2）直線 CD 是ABC 的黃金分割線理由如下： 設(shè)ABC 中，AB 邊上的高為 h，則S ABC12ABh1 1 ADh，S BDh。 2 2S AD：AB，S BD：AD。ACD ABC BCD ACDAD BD由（1）知，點(diǎn) D 是 AB 邊上的黃金分割點(diǎn)， =AB AD：SACD ABC

17、BCD ACDCD 是ABC 的黃金分割線。（3）直線不是直角梯形 ABCD 的黃金分割線理由如下： BCAD，EBGEAH EGCEHD，BG EG GC EG= ， =AH EH HD EH，BG GC BG AH= ，即 =AH HD GC HD同理，由BGF DHF CGFAHF 得：BG GC BG HD= ，即 =HD AH GC AH由、得：AHHD，AH HD=，HD AH8安徽滁州市第五中學(xué)胡大柱打 造 中 國(guó) 一 流 的 學(xué) 習(xí) 資 料BGGC。梯形 ABGH 與梯形 GCDH 上下底分別相等，高也相等，S S 梯形 ABGH 梯形 GCDH12S 。梯形 ABCDGH 不是直角梯形 A