2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學(課標全國卷)理 (2)

1、1 / 12 課標全國課標全國(理理) 1.(2012 課標全國,理 1)已知集合 a=1,2,3,4,5,b=(x,y)|xa,ya,x-ya,則 b中所含元素的個數為( ). a.3 b.6 c.8 d.10 d 由 xa,ya 得 x-ya,得(x,y)可取如下:(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),故集合 b 中所含元素的個數為 10. 2.(2012 課標全國,理 2)將 2名教師,4名學生分成 2 個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由 1名教師和 2名學生組成,不同的安排方案共有(

2、 ). a.12 種 b.10 種 c.9種 d.8 種 a 將 4 名學生均分為 2個小組共有224222c ca=3種分法, 將 2個小組的同學分給兩名教師帶有22a=2 種分法, 最后將 2個小組的人員分配到甲、乙兩地有22a=2種分法, 故不同的安排方案共有 3 2 2=12 種. 3.(2012 課標全國,理 3)下面是關于復數 z=21 i +的四個命題: p1:|z|=2, p2:z2=2i, p3:z 的共軛復數為 1+i, p4:z 的虛部為-1, 其中的真命題為( ). a.p2,p3 b.p1,p2 c.p2,p4 d.p3,p4 c z=2(-1 i)(-1 i)(-1

3、 i)+=-1-i,故|z|=2,p1錯誤;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正確;z的共軛復數為-1+i,p3錯誤;p4正確. 4.(2012 課標全國,理 4)設 f1,f2是橢圓 e:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦點,p為直線 x=32a上一點,f2pf1是底角為 30的等腰三角形,則 e 的離心率為( ). a.12 b.23 c.34 d.45 c 設直線 x=32a與 x 軸交于點 m,則pf2m=60,在 rtpf2m中,pf2=f1f2=2c,f2m=32a-c, 故 cos 60=22mfpf=3ac22c=12, 解得ca=34,故離心率 e=34.

4、 2 / 12 5.(2012 課標全國,理 5)已知an為等比數列,a4+a7=2,a5a6=-8,則 a1+a10=( ). a.7 b.5 c.-5 d.-7 d an為等比數列, a5a6=a4a7=-8, 聯立47472,8aaa a+= 可解得474,2aa= 或472,4,aa= = 當474,2aa= 時,q3=-12,故 a1+a10=43aq+a7q3=-7; 當472,4aa= =時,q3=-2,同理,有 a1+a10=-7. 6.(2012 課標全國,理 6)如果執(zhí)行下邊的程序框圖,輸入正整數 n(n2)和實數 a1,a2,an,輸出 a,b,則( ). a.a+b為

5、a1,a2,an的和 b.2ab+為 a1,a2,an的算術平均數 c.a 和 b分別是 a1,a2,an中最大的數和最小的數 d.a和 b分別是 a1,a2,an中最小的數和最大的數 c 隨著 k 的取值不同,x 可以取遍實數 a1,a2,an,依次與 a,b 比較,a 始終取較大的那個數,b 始終取較小的那個數,直到比較完為止,故最終輸出的 a,b 分別是這 n 個數中的最大數與最小數. 7.(2012 課標全國,理 7)如圖,網格紙上小正方形的邊長為 1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為( ). 3 / 12 a.6 b.9 c.12 d.18 b 由三視圖可推知,幾何體

6、的直觀圖如下圖所示,可知 ab=6,cd=3,pc=3,cd垂直平分 ab,且 pc平面 acb,故所求幾何體的體積為1316 32 3=9. 8.(2012 課標全國,理 8)等軸雙曲線 c 的中心在原點,焦點在 x 軸上,c 與拋物線 y2=16x的準線交于 a,b兩點,|ab|=43,則 c 的實軸長為( ). a.2 b.22 c.4 d.8 c 設雙曲線的方程為22xa-22ya=1,拋物線的準線為 x=-4,且|ab|=43,故可得 a(-4,23),b(-4,-23),將點 a 坐標代入雙曲線方程得 a2=4,故 a=2,故實軸長為 4. 9.(2012 課標全國,理 9)已知

7、0,函數 f(x)=sin4x+在,2單調遞減,則 的取值范圍是( ). a.1 5,2 4 b.1 3,2 4 c.10,2 d.(0,2 a 結合 y=sin x的圖像可知 y=sin x 在3,22單調遞減,而 y=sin4x+=sin4x+,可知y=sin x 的圖像向左平移4個單位之后可得 y=sin4x+的圖像,故 y=sin4x+在5,44單調遞減,故應有,25,44,解得1254. 10.(2012 課標全國,理 10)已知函數 f(x)=1ln(1)-xx+,則 y=f(x)的圖像大致為( ). 4 / 12 b 當 x=1時,y=1ln2 1-1,故-1x0時,f(x)0,

8、故 y=f(x)在(-1,0)上單調遞減,故選 b. 11.(2012 課標全國,理 11)已知三棱錐 s-abc的所有頂點都在球 o的球面上,abc是邊長為 1 的正三角形,sc 為球 o的直徑,且 sc=2,則此棱錐的體積為( ). a.26 b.36 c.23 d.22 a sc是球 o的直徑, cas=cbs=90. ba=bc=ac=1,sc=2,as=bs=3. 取 ab的中點 d,顯然 abcd,absd, ab平面 scd. 在cds中,cd=32,ds=112,sc=2,利用余弦定理可得 coscds=222ss2?cddccdsd+=-133, 故 sincds=4 233

9、, scds=12321124 233=22, v=vb-cds+va-cds=13 scds bd+13scds ad=13scds ba=1322 1=26. 12.(2012 課標全國,理 12)設點 p 在曲線 y=12ex上,點 q 在曲線 y=ln(2x)上,則|pq|的最小值為( ). a.1-ln 2 b.2(1-ln 2) c.1+ln 2 d.2(1+ln 2) 5 / 12 b 由題意知函數 y=12ex與 y=ln(2x)互為反函數,其圖像關于直線 y=x對稱,兩曲線上點之間的最小距離就是 y=x與 y=12ex最小距離的 2 倍,設 y=12ex上點(x0,y0)處的

10、切線與 y=x 平行,有01e2x=1,x0=ln 2,y0=1,y=x與 y=12ex的最小距離是22(1-ln 2), |pq|的最小值為22(1-ln 2) 2=2(1-ln 2). 13.(2012 課標全國,理 13)已知向量 a,b 夾角為 45,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|= . 32 a,b的夾角為 45,|a|=1, a b=|a| |b|cos 45=22|b|, |2a-b|2=4-422|b|+|b|2=10, |b|=32. 14.(2012 課標全國,理 14)設 x,y滿足約束條件1,3,0,0,xyxyxy +則 z=x-2y 的取值范圍為 . -

11、3,3 作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線 l0:x-2y=0,在可行域內平移知過點 a時,z=x-2y取得最大值,過點 b 時,z=x-2y 取最小值. 由10,30,xyxy+ =+=得 b點坐標為(1,2), 由0,30,yxy=+=得 a點坐標為(3,0). zmax=3-2 0=3,zmin=1-2 2=-3. z-3,3. 15.(2012 課標全國,理 15)某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成,元件 1或元件 2正常工作,且元件 3正常工作,則部件正常工作.設三個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布 n(1 000,502),且各個元件能否正常工作相互獨立

12、,那么該部件的使用壽命超過 1 000小時的概率為 . 6 / 12 38 設元件 1,2,3 的使用壽命超過 1 000 小時的事件分別記為 a,b,c,顯然 p(a)=p(b)=p(c)=12, 該部件的使用壽命超過 1 000 的事件為(ab+ab+ab)c. 該部件的使用壽命超過 1 000 小時的概率為 p=1212+1212+121212=38. 16.(2012 課標全國,理 16)數列an滿足 an+1+(-1)nan=2n-1,則an的前 60 項和為 . 1 830 an+1+(-1)nan=2n-1, a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+

13、a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1, a1+a2+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a57+a58+a59+a60) =10+26+42+234=15 (10234)2+=1 830. 17.(2012 課標全國,理 17)已知 a,b,c 分別為abc三個內角 a,b,c的對邊,acos c+3asin c-b-c=0. (1)求 a; (2)若 a=2,abc 的面積為3,求 b,c. 解:(1)由 acos

14、c+3asin c-b-c=0及正弦定理得 sin acos c+3sin asin c-sin b-sin c=0. 因為 b=-a-c, 所以3sin asin c-cos asin c-sin c=0. 由于 sin c0,所以 sin6a=12. 又 0a,故 a=3. (2)abc 的面積 s=12bcsin a=3,故 bc=4. 而 a2=b2+c2-2bccos a,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2. 18.(2012 課標全國,理 18)某花店每天以每枝 5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝 10元的價格出售.如果當天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理. (1)若花

15、店一天購進 16枝玫瑰花,求當天的利潤 y(單位:元)關于當天需求量 n(單位:枝,nn)的函數解析式; (2)花店記錄了 100 天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 頻數 10 20 16 16 15 13 10 以 100 天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率. 7 / 12 若花店一天購進 16枝玫瑰花,x表示當天的利潤(單位:元),求 x的分布列、數學期望及方差; 若花店計劃一天購進 16枝或 17枝玫瑰花,你認為應購進 16 枝還是 17枝?請說明理由. 解:(1)當日需求量 n16時,利潤 y=80. 當日需

16、求量 n16時,利潤 y=10n-80. 所以 y 關于 n的函數解析式為 y=1080,16,80,16nnn(nn). (2)x可能的取值為 60,70,80,并且 p(x=60)=0.1,p(x=70)=0.2,p(x=80)=0.7. x 的分布列為 x 60 70 80 p 0.1 0.2 0.7 x 的數學期望為 ex=60 0.1+70 0.2+80 0.7=76. x 的方差為 dx=(60-76)2 0.1+(70-76)2 0.2+(80-76)2 0.7=44. 答案一: 花店一天應購進 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天購進 17 枝玫瑰花,y表示當天的利潤(單位:

17、元),那么 y的分布列為 y 55 65 75 85 p 0.1 0.2 0.16 0.54 y 的數學期望為 ey=55 0.1+65 0.2+75 0.16+85 0.54=76.4. y 的方差為 dy=(55-76.4)2 0.1+(65-76.4)2 0.2+(75-76.4)2 0.16+(85-76.4)2 0.54=112.04. 由以上的計算結果可以看出,dxdy,即購進 16枝玫瑰花時利潤波動相對較小. 另外,雖然 exey,但兩者相差不大. 故花店一天應購進 16枝玫瑰花. 答案二: 花店一天應購進 17 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天購進 17 枝玫瑰花,y表示當天的

18、利潤(單位:元),那么 y的分布列為 y 55 65 75 85 p 0.1 0.2 0.16 0.54 y 的數學期望為 ey=55 0.1+65 0.2+75 0.16+85 0.54=76.4. 由以上的計算結果可以看出,exey,即購進 17 枝玫瑰花時的平均利潤大于購進 16 枝時的平均利潤.故花店一天應購進 17 枝玫瑰花. 19.(2012 課標全國,理 19)如圖,直三棱柱 abc-a1b1c1中,ac=bc=12aa1,d是棱 aa1的中點,dc1bd. 8 / 12 (1)證明:dc1bc; (2)求二面角 a1-bd-c1的大小. 解:(1)證明:由題設知,三棱柱的側面為

19、矩形. 由于 d為 aa1的中點,故 dc=dc1. 又 ac=12aa1,可得 d21c+dc2=c21c, 所以 dc1dc. 而 dc1bd,dcbd=d,所以 dc1平面 bcd. bc平面 bcd,故 dc1bc. (2)由(1)知 bcdc1,且 bccc1, 則 bc平面 acc1, 所以 ca,cb,cc1兩兩相互垂直. 以 c 為坐標原點,ca的方向為 x 軸的正方向,|ca|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系 c-xyz. 由題意知 a1(1,0,2),b(0,1,0),d(1,0,1),c1(0,0,2). 則1da=(0,0,-1),bd=(1,-1,1),1dc=

20、(-1,0,1). 設 n=(x,y,z)是平面 a1b1bd的法向量, 則1 bd0, a d0,nn=即0,0.xyzz+= 可取 n=(1,1,0). 同理,設 m 是平面 c1bd 的法向量, 則1 bd0, dc0.mm=可取 m=(1,2,1). 從而 cos=| |nmn m=32. 故二面角 a1-bd-c1的大小為 30. 9 / 12 20.(2012 課標全國,理 20)設拋物線 c:x2=2py(p0)的焦點為 f,準線為 l,a為 c 上一點,已知以 f 為圓心,fa為半徑的圓 f 交 l于 b,d兩點. (1)若bfd=90,abd 的面積為 42,求 p 的值及圓

21、 f 的方程; (2)若 a,b,f 三點在同一直線 m 上,直線 n與 m平行,且 n與 c 只有一個公共點,求坐標原點到 m,n 距離的比值. 解:(1)由已知可得bfd為等腰直角三角形,|bd|=2p,圓 f 的半徑|fa|=2p. 由拋物線定義可知 a到 l的距離 d=|fa|=2p. 因為abd 的面積為 42, 所以12|bd| d=42, 即12 2p2p=42, 解得 p=-2(舍去),p=2. 所以 f(0,1),圓 f 的方程為 x2+(y-1)2=8. (2)因為 a,b,f三點在同一直線 m上, 所以 ab 為圓 f 的直徑,adb=90. 由拋物線定義知|ad|=|f

22、a|=12|ab|, 所以abd=30,m的斜率為33或-33. 當 m 的斜率為33時,由已知可設 n:y=33x+b,代入 x2=2py得 x2-2 33px-2pb=0. 由于 n 與 c只有一個公共點,故 =43p2+8pb=0. 解得 b=-6p. 因為 m的截距 b1=2p,1|bb=3,所以坐標原點到 m,n距離的比值為 3. 當 m 的斜率為-33時,由圖形對稱性可知,坐標原點到 m,n 距離的比值為 3. 21.(2012 課標全國,理 21)已知函數 f(x)滿足 f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+12x2. (1)求 f(x)的解析式及單調區(qū)間; (2)若 f(x)

23、12x2+ax+b,求(a+1)b 的最大值. 解:(1)由已知得 f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x. 所以 f(1)=f(1)-f(0)+1,即 f(0)=1. 又 f(0)=f(1)e-1,所以 f(1)=e. 10 / 12 從而 f(x)=ex-x+12x2. 由于 f(x)=ex-1+x, 故當 x(-,0)時,f(x)0. 從而,f(x)在(-,0)單調遞減,在(0,+)單調遞增. (2)由已知條件得 ex-(a+1)xb. ()若 a+10,則對任意常數 b,當 x0,且 x11ba+時,可得 ex-(a+1)x0,設 g(x)=ex-(a+1)x, 則 g(x)=ex-

24、(a+1). 當 x(-,ln(a+1)時,g(x)0. 從而 g(x)在(-,ln(a+1)單調遞減,在(ln(a+1),+)單調遞增. 故 g(x)有最小值 g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1). 所以 f(x)12x2+ax+b 等價于 ba+1-(a+1)ln(a+1). 因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1). 設 h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1), 則 h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1). 所以 h(a)在(-1,12e-1)單調遞增, 在(12e-1,+)單調遞減, 故 h(a)在 a=12e-1 處取得最大值. 從而

25、h(a)e2,即(a+1)be2. 當 a=12e-1,b=12e2時,式成立, 故 f(x)12x2+ax+b. 綜合得,(a+1)b的最大值為e2. 22.(2012 課標全國,理 22)選修 41:幾何證明選講 如圖,d,e 分別為abc邊 ab,ac 的中點,直線 de交abc 的外接圓于 f,g兩點.若 cfab,證明: 11 / 12 (1)cd=bc; (2)bcdgbd. 證明:(1)因為 d,e 分別為 ab,ac的中點,所以 debc. 又已知 cfab,故四邊形 bcfd 是平行四邊形, 所以 cf=bd=ad. 而 cfad,連結 af, 所以 adcf是平行四邊形,故 cd=af. 因為 cfab,所以 bc=af,故 cd=bc. (2)因為 fgbc,故 gb=cf. 由(1)可知 bd=cf,所以 gb=bd. 而dgb=ef