2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(江西卷)理 (2)

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江西卷)數(shù)學(xué)(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分.第卷1至2頁(yè),第卷3至4頁(yè),滿分150分,考試時(shí)間120分鐘.考生注意:1.答題前,考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.第卷每小題選出答案后,用2b鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).第卷用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫作答.若在試題卷上作答,答案無(wú)效.3.考試結(jié)束,監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回.第卷一、選擇題:本大題

2、共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2013江西,理1)已知集合m=1,2,zi,i為虛數(shù)單位,n=3,4,mn=4,則復(fù)數(shù)z=(). a.-2ib.2ic.-4id.4i答案:c解析:由mn=4,得zi=4,z=4i=-4i.故選c.2.(2013江西,理2)函數(shù)y=xln(1-x)的定義域?yàn)?).a.(0,1)b. 0,1)c.(0,1d.0,1答案:b解析:要使函數(shù)有意義,需x0,1-x>0,解得0x<1,即所求定義域?yàn)?,1).故選b.3.(2013江西,理3)等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,的第四項(xiàng)等于().a.-2

3、4b.0c.12d.24答案:a解析:由題意得:(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或-1.當(dāng)x=-1時(shí),3x+3=0,不滿足題意.當(dāng)x=-3時(shí),原數(shù)列是等比數(shù)列,前三項(xiàng)為-3,-6,-12,故第四項(xiàng)為-24.4.(2013江西,理4)總體由編號(hào)為01,02,19,20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開(kāi)始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字,則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481a.08b.07c.02d.01答案:d

4、解析:選出的5個(gè)個(gè)體的編號(hào)依次是08,02,14,07,01,故選d.5.(2013江西,理5)x2-2x35展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為().a.80b.-80c.40d.-40答案:c解析:展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr+1=c5rx2(5-r)(-2)rx-3r=c5r(-2)rx10-5r.令10-5r=0,得r=2,所以t2+1=c52(-2)2=40.故選c.6.(2013江西,理6)若s1=12 x2dx,s2=12 1xdx,s3=12 exdx,則s1,s2,s3的大小關(guān)系為().a.s1<s2<s3b.s2<s1<s3c.s2<s3<s1d.s3<s2&

5、lt;s1答案:b解析:s1=12 x2dx=13x3|12=73,s2=12 1xdx=ln x|12=ln 2,s3=12 exdx=ex|12=e2-e=e(e-1)>e>73,所以s2<s1<s3,故選b.7.(2013江西,理7)閱讀如下程序框圖,如果輸出i=5,那么在空白矩形框中應(yīng)填入的語(yǔ)句為().a.s=2*i-2b.s=2*i-1c.s=2*id.s=2*i+4答案:c解析:當(dāng)i=2時(shí),s=2×2+1=5;當(dāng)i=3時(shí),s=2×3+4=10不滿足s<10,排除選項(xiàng)d;當(dāng)i=4時(shí),s=2×4+1=9;當(dāng)i=5時(shí),選項(xiàng)a,b

6、中的s滿足s<10,繼續(xù)循環(huán),選項(xiàng)c中的s=10不滿足s<10,退出循環(huán),輸出i=5,故選c.8.(2013江西,理8)如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且abcd,正方體的六個(gè)面所在的平面與直線ce,ef相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m,n,那么m+n=().a.8b.9c.10d.11答案:a解析:由ce與ab共面,且與正方體的上底面平行,則與ce相交的平面?zhèn)€數(shù)m=4.作fo底面ced,一定有面eof平行于正方體的左、右側(cè)面,即fe平行于正方體的左、右側(cè)面,所以n=4,m+n=8.故選a.9.(2013江西,理9)過(guò)點(diǎn)(2,0)引直線l與曲線y=1-x2相交于a,b兩點(diǎn),

7、o為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)aob的面積取最大值時(shí),直線l的斜率等于().a.33b.-33c.±33d.-3答案:b解析:曲線y=1-x2的圖象如圖所示:若直線l與曲線相交于a,b兩點(diǎn),則直線l的斜率k<0,設(shè)l:y=k(x-2),則點(diǎn)o到l的距離d=-2kk2+1.又saob=12|ab|·d=12×21-d2·d=(1-d2)·d21-d2+d22=12,當(dāng)且僅當(dāng)1-d2=d2,即d2=12時(shí),saob取得最大值.所以2k2k2+1=12,k2=13,k=-33.故選b.10.(2013江西,理10)如圖,半徑為1的半圓o與等邊三角形abc夾在

8、兩平行線l1,l2之間,ll1,l與半圓相交于f,g兩點(diǎn),與三角形abc兩邊相交于e,d兩點(diǎn).設(shè)弧fg的長(zhǎng)為x(0<x<),y=eb+bc+cd,若l從l1平行移動(dòng)到l2,則函數(shù)y=f(x)的圖像大致是().答案:d第卷注意事項(xiàng):第卷共2頁(yè),須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫作答.若在試題卷上作答,答案無(wú)效.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.11.(2013江西,理11)函數(shù)y=sin 2x+23sin2x的最小正周期t為. 答案:解析:y=sin 2x+3(1-cos 2x)=2sin2x-3+3,t=22=.12.(2013江西,理12)設(shè)e1,e2為單

9、位向量,且e1,e2的夾角為3,若a=e1+3e2,b=2e1,則向量a在b方向上的射影為. 答案:52解析:a·b=(e1+3e2)·2e1=2e12+6e1·e2=2+6×12×cos3=5,a在b上的射影為a·b|b|=52.13.(2013江西,理13)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f'(1)=. 答案:2解析:令ex=t,則x=ln t,f(t)=ln t+t,f'(t)=1t+1,f'(1)=2.14.(2013江西,理14)拋物線x2=2py(p&

10、gt;0)的焦點(diǎn)為f,其準(zhǔn)線與雙曲線x23-y23=1相交于a,b兩點(diǎn),若abf為等邊三角形,則p=. 答案:6解析:拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-p2,設(shè)a,b的橫坐標(biāo)分別為xa,xb,則|xa|2=|xb|2=3+p42,所以|ab|=|2xa|.又焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p,由等邊三角形的特點(diǎn)得p=32|ab|,即p2=34×4×3+p42,所以p=6.三、選做題:請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答.若兩題都做,則按第一題評(píng)閱計(jì)分.本題共5分.15.(2013江西,理15)(1)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)設(shè)曲線c的參數(shù)方程為x=t,y=t2(t為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極

11、點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則曲線c的極坐標(biāo)方程為. 答案:cos2-sin =0解析:由參數(shù)方程x=t,y=t2得曲線在直角坐標(biāo)系下的方程為y=x2.由公式x=cos,y=sin得曲線c的極坐標(biāo)方程為cos2=sin .(2)(不等式選做題)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),不等式|x-2|-1|1的解集為. 答案:0,4解析:原不等式等價(jià)于-1|x-2|-11,即0|x-2|2,解得0x4.四、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.(2013江西,理16)(本小題滿分12分)在abc中,角a,b,c所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cos c+

12、(cos a-3sin a)cos b=0.(1)求角b的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范圍.解:(1)由已知得-cos(a+b)+cos acos b-3sin acos b=0,即有sin asin b-3sin acos b=0,因?yàn)閟in a0,所以sin b-3cos b=0,又cos b0,所以tan b=3,又0<b<,所以b=3.(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos b.因?yàn)閍+c=1,cos b=12,有b2=3a-122+14.又0<a<1,于是有14b2<1,即有12b<1.17.(2013江西,理17)(本小題滿分

13、12分)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足:sn2-(n2+n-1)sn-(n2+n)=0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)令bn=n+1(n+2)2an2,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為tn.證明:對(duì)于任意的nn*,都有tn<564.(1)解:由sn2-(n2+n-1)sn-(n2+n)=0,得sn-(n2+n)(sn+1)=0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列,所以sn>0,sn=n2+n.于是a1=s1=2,n2時(shí),an=sn-sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.綜上,數(shù)列an的通項(xiàng)an=2n.(2)證明:由于an=2n,bn=n+1(n+2)2an2,則bn=n+14n2(n+2

14、)2=1161n2-1(n+2)2.tn=1161-132+122-142+132-152+1(n-1)2-1(n+1)2+1n2-1(n+2)2=1161+122-1(n+1)2-1(n+2)2<1161+122=564.18.(2013江西,理18)(本小題滿分12分)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊(duì).游戲規(guī)則為:以o為起點(diǎn),再?gòu)腶1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8(如圖)這8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為x.若x=0就參加學(xué)校合唱團(tuán),否則就參加學(xué)校排球隊(duì).(1)求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率;(2)求x的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:

15、(1)從8個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)為向量終點(diǎn)的不同取法共有c82=28種,x=0時(shí),兩向量夾角為直角共有8種情形,所以小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率為p(x=0)=828=27.(2)兩向量數(shù)量積x的所有可能取值為-2,-1,0,1,x=-2時(shí),有2種情形;x=1時(shí),有8種情形;x=-1時(shí),有10種情形.所以x的分布列為:x-2-101p1145142727ex=(-2)×114+(-1)×514+0×27+1×27=-314.19.(2013江西,理19)(本小題滿分12分)如圖,四棱錐pabcd中,pa平面abcd,e為bd的中點(diǎn),g為pd的中點(diǎn),dabdcb,ea

16、=eb=ab=1,pa=32,連接ce并延長(zhǎng)交ad于f.(1)求證:ad平面cfg;(2)求平面bcp與平面dcp的夾角的余弦值.解:(1)在abd中,因?yàn)閑是bd中點(diǎn),所以ea=eb=ed=ab=1,故bad=2,abe=aeb=3,因?yàn)閐abdcb,所以eabecb,從而有fed=bec=aeb=3,所以fed=fea,故efad,af=fd,又因?yàn)閜g=gd,所以fgpa.又pa平面abcd,所以cfad,故ad平面cfg.(2)以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則a(0,0,0),b(1,0,0),c32,32,0,d(0,3,0),p0,0,32,故bc=12,32,0,cp=-

17、32,-32,32,cd=-32,32,0.設(shè)平面bcp的法向量n1=(1,y1,z1),則12+32y1=0,-32-32y1+32z1=0,解得y1=-33,z1=23,即n1=1,-33,23.設(shè)平面dcp的法向量n2=(1,y2,z2),則-32+32y2=0,-32-32y2+32z2=0,解得y2=3,z2=2.即n2=(1,3,2).從而平面bcp與平面dcp的夾角的余弦值為cos =|n1·n2|n1|n2|=43169·8=24.20.(2013江西,理20)(本小題滿分13分)如圖,橢圓c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)p1,32

18、,離心率e=12,直線l的方程為x=4.(1)求橢圓c的方程;(2)ab是經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)f的任一弦(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)p),設(shè)直線ab與直線l相交于點(diǎn)m,記pa,pb,pm的斜率分別為k1,k2,k3.問(wèn):是否存在常數(shù),使得k1+k2=k3?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.解:(1)由p1,32在橢圓上得,1a2+94b2=1,依題設(shè)知a=2c,則b2=3c2,代入解得c2=1,a2=4,b2=3.故橢圓c的方程為x24+y23=1.(2)方法一:由題意可設(shè)ab的斜率為k,則直線ab的方程為y=k(x-1),代入橢圓方程3x2+4y2=12并整理,得(4k2+3)x2-8k2x+4(k2-3)=0.設(shè)a

19、(x1,y1),b(x2,y2),則有x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4(k2-3)4k2+3,在方程中令x=4得,m的坐標(biāo)為(4,3k).從而k1=y1-32x1-1,k2=y2-32x2-1,k3=3k-324-1=k-12.注意到a,f,b共線,則有k=kaf=kbf,即有y1x1-1=y2x2-1=k.所以k1+k2=y1-32x1-1+y2-32x2-1=y1x1-1+y2x2-1-321x1-1+1x2-1=2k-32·x1+x2-2x1x2-(x1+x2)+1.代入得k1+k2=2k-32·8k24k2+3-24(k2-3)4k2+3-8k24k2+3

20、+1=2k-1,又k3=k-12,所以k1+k2=2k3.故存在常數(shù)=2符合題意.(2)方法二:設(shè)b(x0,y0)(x01),則直線fb的方程為:y=y0x0-1(x-1),令x=4,求得m4,3y0x0-1,從而直線pm的斜率為k3=2y0-x0+12(x0-1).聯(lián)立y=y0x0-1(x-1),x24+y23=1,得a5x0-82x0-5,3y02x0-5,則直線pa的斜率為:k1=2y0-2x0+52(x0-1),直線pb的斜率為:k2=2y0-32(x0-1),所以k1+k2=2y0-2x0+52(x0-1)+2y0-32(x0-1)=2y0-x0+1x0-1=2k3,故存在常數(shù)=2符

21、合題意.21.(2013江西,理21)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=a1-2x-12,a為常數(shù)且a>0.(1)證明:函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=12對(duì)稱;(2)若x0滿足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,則稱x0為函數(shù)f(x)的二階周期點(diǎn).如果f(x)有兩個(gè)二階周期點(diǎn)x1,x2,試確定a的取值范圍;(3)對(duì)于(2)中的x1,x2和a,設(shè)x3為函數(shù)f(f(x)的最大值點(diǎn),a(x1,f(f(x1),b(x2,f(f(x2),c(x3,0).記abc的面積為s(a),討論s(a)的單調(diào)性.(1)證明:因?yàn)閒12+x=a(1-2|x|),f12-x=a(1-2|x|),有f12+x=f12-x,所以函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=12對(duì)稱.(2)解:當(dāng)0<a<12時(shí),有f(f(x)