2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(天津卷)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試天津理科數(shù)學(xué)本試卷分為第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試用時120分鐘.第卷1至3頁,第卷4至6頁.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上,并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時,考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上,答在試卷上的無效.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第卷注意事項(xiàng):1.每小題選出答案后,用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.2.本卷共8小題,每小題5分,共40分.參考公式:如果事件a,b互斥,那么p(ab)=p(a)+p(b).如果事件a,b相

2、互獨(dú)立,那么p(ab)=p(a)p(b).柱體的體積公式v=sh,其中s表示柱體的底面面積,h表示柱體的高.錐體的體積公式v=13sh,其中s表示錐體的底面面積,h表示錐體的高.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2015天津,理1)已知全集u=1,2,3,4,5,6,7,8,集合a=2,3,5,6,集合b=1,3,4,6,7,則集合aub=()a.2,5b.3,6c.2,5,6d.2,3,5,6,8答案:a解析:由題意可知ub=2,5,8,則aub=2,5.故選a.2.(2015天津,理2)設(shè)變量x,y滿足約束條件x+2

3、0,x-y+30,2x+y-30,則目標(biāo)函數(shù)z=x+6y的最大值為()a.3b.4c.18d.40答案:c解析:畫出題中約束條件滿足的可行域,如圖中陰影所示,將目標(biāo)函數(shù)化為y=-16x+z6,結(jié)合圖象可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線平移到過點(diǎn)a(0,3)時,z取得最大值,最大值為18.故選c.3.(2015天津,理3)閱讀下邊的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出s的值為()a.-10b.6c.14d.18答案:b解析:第一次循環(huán),i=2,s=20-2=18,不滿足判斷框條件,進(jìn)入循環(huán)體;第二次循環(huán),i=4,s=18-4=14,不滿足判斷框條件,進(jìn)入循環(huán)體;第三次循環(huán),i=8,s=14-8=6,滿足判斷框條件,

4、結(jié)束循環(huán),輸出s.因此,輸出s的值為6.4.(2015天津,理4)設(shè)xr,則“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的()a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件答案:a解析:因?yàn)閨x-2|<1等價于1<x<3,x2+x-2>0等價于x<-2或x>1,所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要條件.5.(2015天津,理5)如圖,在圓o中,m,n是弦ab的三等分點(diǎn),弦cd,ce分別經(jīng)過點(diǎn)m,n.若cm=2,md=4,cn=3,則線段ne的長為()a.83b.3c.103d.52答案:

5、a解析:由相交弦定理,得cm·md=am·mb,cn·ne=an·nb.因?yàn)閙,n是弦ab的三等分點(diǎn),所以am=mn=nb,mb=an.所以am·mb=an·nb.所以cm·md=cn·ne,即2×4=3·ne,解得ne=83.6.(2015天津,理6)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(diǎn)(2,3),且雙曲線的一個焦點(diǎn)在拋物線y2=47x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()a.x221-y228=1b.x228-y221=1c.x23-y24=1d.x24-y

6、23=1答案:d解析:因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±bax,所以2ba=3.又因?yàn)閽佄锞€y2=47x的準(zhǔn)線為x=-7,所以c=a2+b2=7.由,得a2=4,b2=3.故所求雙曲線的方程為x24-y23=1.7.(2015天津,理7)已知定義在r上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為()a.a<b<cb.a<c<bc.c<a<bd.c<b<a答案:c解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2|x

7、-m|-1為偶函數(shù),所以對任意的xr,都有f(-x)=f(x),即2|-x-m|-1=2|x-m|-1對xr恒成立,所以m=0,即f(x)=2|x|-1.所以f(x)在0,+)上為增函數(shù).又f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),f(2m)=f(0),且0<log23<log25,所以f(0)<f(log23)<f(log25),即f(2m)<f(log0.53)<f(log25).所以c<a<b.8.(2015天津,理8)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x>2,函數(shù)g(x)=b-f(2-x),其中br

8、,若函數(shù)y=f(x)-g(x)恰有4個零點(diǎn),則b的取值范圍是()a.74,+b.-,74c.0,74d.74,2答案:d解析:由f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x>2,得f(x)=2+x,x<0,2-x,0x2,(x-2)2,x>2,f(2-x)=2+2-x,2-x<0,2-(2-x),02-x2,(2-x-2)2,2-x>2=x2,x<0,x,0x2,4-x,x>2,所以f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0x2,x2-5x+8,x>2.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4個零點(diǎn),所以函

9、數(shù)y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個不同的交點(diǎn).畫出函數(shù)y=f(x)+f(2-x)的圖象,如圖.由圖可知,當(dāng)b74,2時,函數(shù)y=b與y=f(x)+f(2-x)的圖象有4個不同的交點(diǎn).故選d.第卷注意事項(xiàng):1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共12小題,共110分.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.9.(2015天津,理9)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為. 答案:-2解析:(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.(1-2i)(a+i)是純虛數(shù),a+2=0,且1-2a0,a=-2.10.(201

10、5天津,理10)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為 m3. 答案:83解析:由題中三視圖可知該幾何體由兩個圓錐和一個圓柱組成,其體積v=2×13××12×1+×12×2=83.11.(2015天津,理11)曲線y=x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為. 答案:16解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2與y=x的圖象如圖,所圍成的封閉圖形如圖中陰影所示,設(shè)其面積為s.由y=x2,y=x,得x=0,y=0或x=1,y=1.故所求面積s=01 (x-x2)dx=12x2-13x301=1

11、6.12.(2015天津,理12)在x-14x6的展開式中,x2的系數(shù)為. 答案:1516解析:由題意知tr+1=c6rx6-r·-14xr=c6r·x6-2r·-14r.令6-2r=2,可得r=2.故所求x2的系數(shù)為c62-142=1516.13.(2015天津,理13)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.已知abc的面積為315,b-c=2,cos a=-14,則a的值為. 答案:8解析:sabc=12bcsin a=12bc1-cos2a=12bc×154=315,bc=24.又b-c=2,a2=b2+c2-2b

12、ccos a=(b-c)2+2bc-2bc×-14=4+2×24+12×24=64.a為abc的邊,a=8.14.(2015天津,理14)在等腰梯形abcd中,已知abdc,ab=2,bc=1,abc=60°.動點(diǎn)e和f分別在線段bc和dc上,且be=bc,df=19dc,則ae·af的最小值為. 答案:2918解析:由題意作圖如圖,則ae=be-ba=bc-ba,af=df-da=dc9-da.四邊形abcd是等腰梯形,易知dc=12ab=1,ad=bc=1,abc=60°,dcb=120°,且>0.af&

13、#183;ae=dc9-da·(bc-ba)=dc·bc9-dc·ba9-da·bc+da·ba=19×1×1×cos 120°-19×1×2×cos 180°-×1×1×cos 120°+1×2×cos 60°=-118+29+2+1=1718+29+21718+229×2=2918,當(dāng)且僅當(dāng)=23時等號成立.故應(yīng)填2918.三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明,證

14、明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)(2015天津,理15)已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2x-6,xr.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值和最小值.解:(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=1212cos2x+32sin2x-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin2x-6.所以,f(x)的最小正周期t=22=.(2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間-3,-6上是減函數(shù),在區(qū)間-6,4上是增函數(shù),f-3=-14,f-6=-12,f4=34.所以,f(x)在區(qū)間-3,4上的最大值為34,最小值為-12.16

15、.(本小題滿分13分)(2015天津,理16)為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名,其中種子選手2名;乙協(xié)會的運(yùn)動員5名,其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽.(1)設(shè)a為事件“選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”,求事件a發(fā)生的概率;(2)設(shè)x為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)由已知,有p(a)=c22c32+c32c32c84=635.所以,事件a發(fā)生的概率為635.(2)隨機(jī)變量x的所有可能取值為1,2,3,4.p(x=k)=c5kc34-kc84(k

16、=1,2,3,4).所以,隨機(jī)變量x的分布列為x1234p1143737114隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)=1×114+2×37+3×37+4×114=52.17.(本小題滿分13分)(2015天津,理17)如圖,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,側(cè)棱a1a底面abcd,abac,ab=1,ac=aa1=2,ad=cd=5,且點(diǎn)m和n分別為b1c和d1d的中點(diǎn).(1)求證:mn平面abcd;(2)求二面角d1-ac-b1的正弦值;(3)設(shè)e為棱a1b1上的點(diǎn),若直線ne和平面abcd所成角的正弦值為13,求線段a1e的長.解:如圖,以a為原點(diǎn)建立空間

17、直角坐標(biāo)系,依題意可得a(0,0,0),b(0,1,0),c(2,0,0),d(1,-2,0),a1(0,0,2),b1(0,1,2),c1(2,0,2),d1(1,-2,2).又因?yàn)閙,n分別為b1c和d1d的中點(diǎn),得m1,12,1,n(1,-2,1).(1)證明:依題意,可得n=(0,0,1)為平面abcd的一個法向量.mn=0,-52,0.由此可得mn·n=0,又因?yàn)橹本€mn平面abcd,所以mn平面abcd.(2)ad1=(1,-2,2),ac=(2,0,0).設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面acd1的法向量,則n1·ad1=0,n1·ac=0,即x1-

18、2y1+2z1=0,2x1=0.不妨設(shè)z1=1,可得n1=(0,1,1).設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面acb1的法向量,則n2·ab1=0,n2·ac=0,又ab1=(0,1,2),得y2+2z2=0,2x2=0.不妨設(shè)z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos<n1,n2>=n1·n2|n1|·|n2|=-1010,于是sin<n1,n2>=31010.所以,二面角d1-ac-b1的正弦值為31010.(3)依題意,可設(shè)a1e=a1b1,其中0,1,則e(0,2),從而ne=(-1,+2,1).又n=(0,0,1)

19、為平面abcd的一個法向量,由已知,得cos<ne,n>=ne·n|ne|·|n|=1(-1)2+(+2)2+12=13,整理得2+4-3=0,又因?yàn)?,1,解得=7-2.所以,線段a1e的長為7-2.18.(本小題滿分13分)(2015天津,理18)已知數(shù)列an滿足an+2=qan(q為實(shí)數(shù),且q1),nn*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差數(shù)列.(1)求q的值和an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=log2a2na2n-1,nn*,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.解:(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),

20、即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因?yàn)閝1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.當(dāng)n=2k-1(kn*)時,an=a2k-1=2k-1=2n-12;當(dāng)n=2k(kn*)時,an=a2k=2k=2n2.所以,an的通項(xiàng)公式為an=2n-12,n為奇數(shù),2n2,n為偶數(shù).(2)由(1)得bn=log2a2na2n-1=n2n-1.設(shè)bn的前n項(xiàng)和為sn,則sn=1×120+2×121+3×122+(n-1)×12n-2+n×12n-1,12sn=1×121+2×122+3

21、5;123+(n-1)×12n-1+n×12n,上述兩式相減,得12sn=1+12+122+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-22n-n2n,整理得,sn=4-n+22n-1.所以,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為4-n+22n-1,nn*.19.(本小題滿分14分)(2015天津,理19)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為f(-c,0),離心率為33,點(diǎn)m在橢圓上且位于第一象限,直線fm被圓x2+y2=b24截得的線段的長為c,|fm|=433.(1)求直線fm的斜率;(2)求橢圓的方程;(3)設(shè)動點(diǎn)p在橢圓上,若直線fp的斜率大于2

22、,求直線op(o為原點(diǎn))的斜率的取值范圍.解:(1)由已知有c2a2=13,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.設(shè)直線fm的斜率為k(k>0),則直線fm的方程為y=k(x+c).由已知,有kck2+12+c22=b22,解得k=33.(2)由(1)得橢圓方程為x23c2+y22c2=1,直線fm的方程為y=33(x+c),兩個方程聯(lián)立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-53c,或x=c.因?yàn)辄c(diǎn)m在第一象限,可得m的坐標(biāo)為c,233c.由|fm|=(c+c)2+233c-02=433,解得c=1,所以橢圓的方程為x23+y22=1.(3)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為

23、(x,y),直線fp的斜率為t,得t=yx+1,即y=t(x+1)(x-1),與橢圓方程聯(lián)立y=t(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=6-2x23(x+1)2>2,解得-32<x<-1,或-1<x<0.設(shè)直線op的斜率為m,得m=yx,即y=mx(x0),與橢圓方程聯(lián)立,整理可得m2=2x2-23.當(dāng)x-32,-1時,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=2x2-23,得m23,233.當(dāng)x(-1,0)時,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-2x2-23,得m-,-2

24、33.綜上,直線op的斜率的取值范圍是-,-23323,233.20.(本小題滿分14分)(2015天津,理20)已知函數(shù)f(x)=nx-xn,xr,其中nn*,且n2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為p,曲線在點(diǎn)p處的切線方程為y=g(x),求證:對于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x)g(x);(3)若關(guān)于x的方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個正實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:|x2-x1|<a1-n+2.(1)解:由f(x)=nx-xn,可得f'(x)=n-nxn-1=n(1-xn-1),其中nn*,且n2.下面分兩種情況討論:當(dāng)n為奇數(shù)時,令f'(x)=0,解得x=1,或x=-1.當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-,-1)(-1,1)(1,+)f'(x)-+-f(x)所以,f(x)在(-,-1),(1,+)上單調(diào)遞減,在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)n為偶數(shù)時,當(dāng)f'(x)>0,即x<1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f'(x)<0,即x>1時,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以,f(x)在(-,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)上單調(diào)遞減.(