2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)1卷高考模擬大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題 (2)

1、1 / 24 2020 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)年普通高等學(xué)校招生全國(guó)卷高考模擬大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）卷高考模擬大聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科） 第第卷卷 一、選擇題：本大題共一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 60 分分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知集合250|4axxx=，| 1bx x=，則ab =（ ） a. （-1，1） b. -1，1） c. 51,4 d. 5,14 【答案】b 【解析】 【分析】 化簡(jiǎn)集合a，利用集合的交集定義計(jì)算得出答案 【詳解】因?yàn)?5|450| 14 ax

2、xxxx= .所以| 11abxx= . 故選：b 【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 2. 已知復(fù)數(shù) z511+ii，則z（ ） a. 1 b. i c. 1 d. i 【答案】d 【解析】 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念得出結(jié)果. 【詳解】()()()25221111 22111112iiiiiiziiiiii+= = +， zi=, 故選：d. 【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，虛數(shù)單位的冪的運(yùn)算的周期性，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬基礎(chǔ)題. 3. 若拋物線 x2ay的準(zhǔn)線與拋物線 yx22x+1相切，則 a（ ） a.

3、8 b. 8 c. 4 d. 4 2 / 24 【答案】b 【解析】 【分析】 求出拋物線 x2ay的準(zhǔn)線為4ay = ，根據(jù)拋物線 x2ay的準(zhǔn)線與拋物線()222112yxxx= + = +相切可得24ay = =，得出答案. 【詳解】拋物線()222112yxxx= + = + 拋物線 x2ay 的準(zhǔn)線為4ay = 則4ay = 與拋物線 yx22x+1相切， 所以24ay = =，所以8a = 故選：b 【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程，考查拋物線的切線，屬于基礎(chǔ)題. 4. 函數(shù)( )cosxf xex= 的部分圖象大致為（ ） a. b. c. d. 【答案】d 【解析】 【分析】

4、先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的特值可得結(jié)果. 【詳解】由( )cosxf xex=，則( )sinxfxex=+ 3 / 24 當(dāng)0 x 時(shí)，e1x，則( )sin0 xfxex=+， 所以函數(shù)( )fx在()0,+上單調(diào)遞增，排除選項(xiàng) a，c 又22cos022fee= ，排除除選項(xiàng) b 故選：d 【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及特值是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ) 5. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k =（ ） a. 5 b. 3 c. 6 d. 4 【答案】a 【解析】 【分析】 執(zhí)行程序框圖，依此寫出每次循環(huán)時(shí)的, k s的值并判斷，直到當(dāng)0s 時(shí)，退出循環(huán)，輸

5、出k的值. 【詳解】第一次循環(huán)：6 15s = =，1 12k = + =，0s ，不滿足0s 執(zhí)行循環(huán)； 第二次循環(huán)：523s =，213k =+ =，0s ，不滿足0s 執(zhí)行循環(huán)； 第三次循環(huán)：330s =，3 14k =+ =，0s =，不滿足0s 執(zhí)行循環(huán)； 第四次循環(huán)：044s = ，4 15k =+ =，0s ，退出循環(huán)，此時(shí)輸出5k =. 故選: a 【點(diǎn)睛】本題主要考查直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)構(gòu)的輸出，對(duì)于這類問題，通常是利用程序框圖給出的算4 / 24 法計(jì)算出每一步的結(jié)果并判斷即可，屬于基礎(chǔ)題. 6. 連續(xù)擲三次骰子，先后得到的點(diǎn)數(shù)分別為 x，y，z，那么點(diǎn)( , , )p

6、x y z到原點(diǎn) o 的距離不超過 3的概率為（ ） a. 427 b. 7216 c. 1172 d. 16 【答案】b 【解析】 【分析】 根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合古典概型的概率公式，即可得出答案. 【詳解】點(diǎn)( , , )p x y z到原點(diǎn) o的距離不超過 3，則2223xyz+，即2229xyz+ 連續(xù)擲三次骰子，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)共有6 6 6216 =個(gè) 其中(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2)滿足條件 則點(diǎn)( , , )p x y z到原點(diǎn) o 的距離不超過 3的概率為7216p = 故選：b 【點(diǎn)睛】

7、本題主要考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，涉及了空間中兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題. 7. 函數(shù) f（x）2sin2（x6）（0）的最小正周期為 則 f（x）在3,44上的最小值是（ ） a. 1+32 b. 12 c. 2 d. 132 【答案】d 【解析】 【分析】 由函數(shù)的最小正周期得到的值，再根據(jù)x的取值范圍求出23x的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的最小值； 【詳解】解：因?yàn)? )22sin1 cos 263f xxx= ，且( )fx的最小正周期為，所以5 / 24 22=解得1=，所以( )1 cos 23f xx= 因?yàn)?,44x 所以72,366x，所以3cos 21,

8、32x 所以( )min312f x= 故選：d 【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 8. 中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國(guó)各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，反映了中華民族對(duì)生命、健康和疾病的認(rèn)識(shí)，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系是中華民族的瑰寶某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量 x（單位：克）與藥物功效 y（單位：藥物單位）之間滿足 y15x2x2檢測(cè)這種藥品一個(gè)批次的 6個(gè)樣本，得到成分甲的含量的平均值為 5克標(biāo)準(zhǔn)差為5克則估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為（ ） a. 14 藥物單位 b. 15.5藥物單位 c. 15 藥物單位 d. 16 藥物

9、單位 【答案】c 【解析】 【分析】 設(shè) 6 個(gè)樣本中藥物成份甲的含量分別為123456,x xx xx x，根據(jù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差列出方程，再代入平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解. 【詳解】設(shè) 6個(gè)樣本中藥物成份甲的含量分別為123456,x xx xx x， 因?yàn)槌煞旨椎暮康钠骄禐?5 克，所以12345630 xxxxxx+=， 標(biāo)準(zhǔn)差為5克，所以6211(5)56iix=，可得621180iix=， 又由2152yxx=，所以666211115290iiiiiiyxx=， 6 / 24 所以這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為611156iiy=. 故選：c. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用

10、，其中解答中熟記平均數(shù)和方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力. 9. 在abc 中，a，b，c分別為角 a，b，c的對(duì)邊已知cos3 3,cos24=abcbbscac且 b3，則a+c（ ） a. 43 b. 33 c. 3 d. 23 【答案】d 【解析】 【分析】 利用余弦定理角化邊可得222acbac+=，再根據(jù)余弦定理可得3b=，根據(jù)三角形面積公式可得3ac =，再根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果. 【詳解】因?yàn)閏oscos2bbcac=，所以222222222acbbacabcacab+=+，化簡(jiǎn)得222acbac+=， 所以2221cos22acbbac+=

11、，因?yàn)?b，所以3b=， 所以1sin2abcsacb3 34，所以33 322ac =，所以3ac =， 又2222cosbacacb=+，所以23()2acacac=+，所以2()3312acac+=+=， 所以2 3ac+=. 故選：d. 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、余弦定理，屬于基礎(chǔ)題. 10. 設(shè) a 為雙曲線22221xyab=（a0，b0）的一條漸近線上一點(diǎn)，且 a在第四象限，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量m(1，1)，10,oa =且2oa m= ，則該雙曲線的離心率為（ ） 7 / 24 a. 10 b. 5 c. 103或10 d. 52或5 【答案】a 【解析】 【分析】

12、由已知可設(shè),ba tta，其中0t ，由10,oa =且2oa m= ，可得22210atc=，2atba=，建立關(guān)于, a b的方程，解之，再由雙曲線離心率的公式可得選項(xiàng). 【詳解】由已知可得 a 為直線byxa= 上一點(diǎn)，且 a 在第四象限，故可設(shè),ba tta，其中0t ， 222210bcoatttaa=+=，其中22cab=+， 22210atc=， 2,boa mtta= = 2atba = 0,0tba， 2222102aatcba=，2222221042aaabbaba=+， 2231030aabb+=，即(3 )(3)0abab=， 0ba， 3ba=. 所以該雙曲線的離心率

13、為2222222110ccabbaaaa+=+=， 故選：a. 【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率的問題，關(guān)鍵在于由已知條件得出關(guān)于, ,a b c的方程，屬于中檔題. 11. 三棱錐 sabc的各頂點(diǎn)均在球 o的球面上，sc為該球的直徑，acbc2，acb120 ，且三棱錐 sabc的體積為 2，則球 o 的半徑為（ ） 8 / 24 a. 7 b. 5 c. 52 d. 3 【答案】a 【解析】 【分析】 作出示意圖，求得abc的面積，并計(jì)算出三棱錐sabc的高sd，利用正弦定理計(jì)算圓e的直徑cd，然后利用勾股定理求出sc，即可求解球的直徑，得到答案. 【詳解】如圖所示， 因?yàn)?,120ac

14、bcacb=， 可得abc面積為113sin2 23222= =abcsac bcacb， 設(shè)abc的外接圓為圓e，連接oe，則oe 平面abc， 作圓e的直徑cd，連接sd， 因?yàn)?o e分別為,sc cd的中點(diǎn)，則/ /sdoe，所以sd 平面abc， 所以三棱錐sabc的體積為1323sabcvsd=，解得2 3sd =， 由正弦定理，可得4sinsin30acaccdabc=，222 7sccdsd=+=， 設(shè)球的半徑為r，則22 7rsc=，解得7r =. 故選：a. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的體積的計(jì)算公式及應(yīng)用，其中解答中作出示意圖，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，找出線面垂直關(guān)系，求得三

15、棱錐的高是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題. 9 / 24 12. 已知函數(shù)21( ),f xxax xee=與( )xg xe=的圖象上存在兩對(duì)關(guān)于直線yx=對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ） a. 1,eee b. 11,ee c. 11,ee d. 11,ee+ 【答案】c 【解析】 【分析】 由題意( )fx與( )g x的圖象在1,xee存在兩對(duì)關(guān)于yx=對(duì)稱的點(diǎn)，即可知( )g x的反函數(shù)與( )fx在1,xee有兩交點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)ln( )xh xxx=，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而根據(jù)函數(shù)值的對(duì)稱性確定參數(shù)范圍即可 【詳解】( )fx與( )g x的圖象在1,xe

16、e存在兩對(duì)關(guān)于yx=對(duì)稱的點(diǎn) 由( )xg xe=，得lnxy=，且xe與ln x關(guān)于yx=對(duì)稱 2ln xxax=在1,xee上有兩解，即ln xaxx=在1,xee上有兩解 令ln( )xh xxx=，則( )22ln1xxh xx+= ( )2ln1k xxx=+1,xee上單調(diào)遞增，且( )10k= 當(dāng), 11xe時(shí)( )0h x，( )h x單調(diào)遞減；當(dāng)1，xe時(shí)，( )0h x，( )h x單調(diào)遞增 ( )( )min11h xh=，max1111( )max, ( )max,h xhh eeeeeeee=+=+ 10 / 24 要使ln xaxx=在1,xee上有兩解，即有a的取

17、值范圍是1(1,ee 故選：c 【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，首先將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的反函數(shù)與一個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，再構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求參數(shù)范圍 第第卷卷 二、填空題：本大題共二、填空題：本大題共 4 小題，每小題小題，每小題 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答題卡中的橫線上把答案填在答題卡中的橫線上. 13. 函數(shù) f（x）22 ,01n ,0+xxxxx，則 f（f（1e）_ 【答案】1 【解析】 【分析】 先計(jì)算出11ef= ，再計(jì)算()1f 得值，由此得出結(jié)果. 【詳解】依題意得1( 1)1efff= . 故答案為：1 【點(diǎn)睛】本題主要

18、考查分段函數(shù)求值，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題. 14. 已知向量a(3,),b(6,8)=m若a與b平行，則 m_ 【答案】4 【解析】 【分析】 11 / 24 根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示直接列式求解. 【詳解】由題意可知若a和b平行， 則3 86m =，解得：4m = 故答案為：4 【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題型. 15. （3x2x）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_ 【答案】216 【解析】 【分析】 利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式444 21442(3 )()3( 2)+= = rrrrrrrrtcxcxx即可得出. 【詳解】444 21442(3 )()3( 2)+= =

19、 rrrrrrrrtcxcxx 令420r=，解得2r 常數(shù)項(xiàng)為24 22343( 2) =216= tc 故答案為：216 【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式的通項(xiàng)展開式、常數(shù)項(xiàng)的求法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題目. 16. 在直四棱柱1111abcdabc d中，側(cè)棱長(zhǎng)為 6，底面是邊長(zhǎng)為 8的菱形，且120abc=，點(diǎn)e在邊bc上，且滿足3beec=，動(dòng)點(diǎn)m在該四棱柱的表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持1mebd，則動(dòng)點(diǎn)m的軌跡圍成的圖形的面積為_；當(dāng)mc與平面abcd所成角最大時(shí)，異面直線1mc與ac所成角的余弦值為_ 【答案】 (1). 15 3 (2). 2 5117 【解析】 【分析】 首先可證1

20、bdac，在ab上取f，使得3bffa=，連接ef，則/ef ac，可得1bdef記ac與bd的交點(diǎn)為o，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz，在1bb上取一點(diǎn)g，由10bd eg=，求出g點(diǎn)的位置，從而得到動(dòng)點(diǎn)m軌跡，即可求出動(dòng)點(diǎn)m的軌跡圍成的圖形的12 / 24 面積，顯然當(dāng)m與g重合時(shí)，mc與平面abcd所成角最大，利用空間向量法求異面直線所成角的余弦值； 【詳解】解：如圖，在直四棱柱1111abcdabc d中，因?yàn)榈酌媸橇庑危瑐?cè)棱垂直底面， 所以ac 平面11bdd b，所以1bdac 在ab上取f，使得3bffa=，連接ef，則/ef ac，所以1bdef 記ac與

21、bd的交點(diǎn)為o，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz， 則()4,0,0b，()14,0,6d ，()1,-3 3,0e 在1bb上取一點(diǎn)g，記為()4,0,gt，于是()18,0,6bd = ，()3,3 3,=egt 由12460bd egt= +=，得4t =，即12bggb=， 所以efg的邊為點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)軌跡 由題意得222 13fgbfbg=+=，338 36 344efac=， 動(dòng)點(diǎn)m的軌跡圍成的圖形的面積為()()2216 32 133 315 32= 顯然當(dāng)m與g重合時(shí)，mc與平面abcd所成角最大 因?yàn)?)4,0,4m，()10,-4 3,6c，所以()14,

22、-4 3,2= mc，()()22214-4 322 17=+=mc， 因?yàn)橹本€ac的一個(gè)方向向量為()0,1,0n =，所以1114 32 51cos,172 17mc nmc nmc n=， 即異面直線1mc與ac所成角的余弦值為2 5117 故答案為：15 3；2 5117. 13 / 24 【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，利用空間向量法解決立體幾何問題，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于難題 三、解答題：本大題共三、解答題：本大題共 6 小題，共小題，共 70分分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟驟.17 21 題為

23、必考題，每個(gè)試題考生都必須作答題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第第 22，23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答題為選考題，考生根據(jù)要求作答. （一）必考題：共（一）必考題：共 60 分分. 17. 已知數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為ns，且21nns =+ （1）求 na的通項(xiàng)公式； （2）若()21nnbna=，求數(shù)列 nb的前n項(xiàng)和nt 【答案】（1）13,12,2nnnan=；（2）()2325nntn=+. 【解析】 【分析】 （1）令1n =可求得1a的值，令2n 可得出1nnnass=，然后對(duì)1a的值是否滿足na在2n 時(shí)的表達(dá)式進(jìn)行驗(yàn)證，由此可得出數(shù)列 na的通項(xiàng)公式； （2）求得數(shù)列

24、 nb通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法可求得nt. 【詳解】（1）當(dāng)1n =時(shí)，111213as=+ =； 當(dāng)2n 時(shí)，() ()11121212nnnnnnass=+=. 13a =不符合12nna. 14 / 24 綜上所述，13,12,2nnnan=； （2）由（1）可得()()13,12121 2,2nnnnbnann=. 當(dāng)1n =時(shí)，13=t； 當(dāng)2n 時(shí)，()123133 25 27 221 2nntn=+ + + +， 得()()123123 23 25 223221 2nnntnn= + + +， 上式下式得()()()22318 1 232 22 22 221 2321 21

25、2nnnnntnn=+ + + =+()5322nn= +， ()2325nntn=+，13=t滿足()2325nntn=+， 因此，()2325nntn=+. 【點(diǎn)睛】本題考查利用ns求na，同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法，考查計(jì)算能力，屬于中等題. 18. 在一次廟會(huì)上，有個(gè)“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人 3個(gè)竹環(huán)，向 a，b 兩個(gè)目標(biāo)投擲，先向目標(biāo) a 擲一次，套中得 1分，沒有套中不得分，再向目標(biāo) b 連續(xù)擲兩次，每套中一次得 2 分，沒套中不得分，根據(jù)最終得分發(fā)放獎(jiǎng)品已知小華每投擲一次，套中目標(biāo) a 的概率為45，套中目標(biāo) b的概率為34，假設(shè)小華每次投擲的結(jié)果相互獨(dú)立 （1）求小華恰好套中一

26、次的概率； （2）求小華總分 x 的分布列及數(shù)學(xué)期望 【答案】（1）18；（2）分布列見解析，()195e x =. 【解析】 【分析】 （1）分為套中目標(biāo) a和套中目標(biāo) b 兩種情形，結(jié)合相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式即可得結(jié)果； （2）x的可能取值為 0，1，2，3，4，5 求出相對(duì)應(yīng)的概率，再計(jì)算期望即可. 【詳解】（1）設(shè)“小華恰好套中一次”為事件 a， 則( )411131125445448p a =+ =. （2）x的可能取值為 0，1，2，3，4，5， 15 / 24 ()1111054480p x =；()4111154420p x =； ( x

27、=；()43133254410p x =； ()1339454480p x =；()4339554420p x =； x的分布列為： x 0 1 2 3 4 5 p 180 120 340 310 980 920 ()113399190123458020401080205e x = + + + + + =. 【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題. 19. 已知12(3,0),( 3,0)ff分別是橢圓2222:1(0)xycabab+=的左、右焦點(diǎn)，p 是橢圓 c 上的一點(diǎn)，當(dāng) pf1f1f2時(shí)，|pf2|2|

28、pf1| （1）求橢圓 c 的標(biāo)準(zhǔn)方程： （2）過點(diǎn) q（4，0）的直線 l與橢圓 c 交于 m，n兩點(diǎn)，點(diǎn) m 關(guān)于 x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn) m，證明：直線nm過定點(diǎn) 【答案】（1）22196xy+=；（2）直線nm過定點(diǎn)9,04. 【解析】 【分析】 （1）由橢圓的定義和已知條件得111222 ,3pfpfa pfa+=，又由112pfff可得出點(diǎn) p 的坐標(biāo)，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中可解出, a b，從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)出直線 l的方程，點(diǎn) m、n的坐標(biāo)，直線 l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn) m、n 的坐標(biāo)的關(guān)系，再表示出直線nm的方程，將點(diǎn) m、n的坐標(biāo)的關(guān)系代入可得直線 nm所過

29、的定點(diǎn). 【詳解】（1）由12(3,0),( 3,0)ff得3c =，2222( 3)3abb=+=+， 16 / 24 由橢圓的定義得122pfpfa+=，212pfpf=，111222 ,3pfpfa pfa+=， 112pfff，所以點(diǎn) p的坐標(biāo)為23,3a， 將點(diǎn) p的坐標(biāo)代入橢圓的方程中有22222(3)31aab+=， 又22223,3abba=+=，22222(3)313aaa+=， 解得29a =或295a =， 當(dāng)295a =，226305ba= ，故舍去； 當(dāng)29a =，223936ba=， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：22196xy+=. （2）由題意可知，直線 l的斜率必然存

30、在,故設(shè)直線 l的方程為(4)yk x=+，設(shè)()()1122,m x yn xy，則()11,mxy， 聯(lián)立方程組22196(4)xyyk x+=+，得()2222322448180kxk xk+=， ()()()22222244 3248181681440kkkk =+= +， 解得267k ，21222432kxxk+= +，2122481832kx xk=+， 又()22,n xy，()11,mxy，設(shè)直線nm的方程為()()()21212222121yyyyyyxxxxxxxx +=， 2121212212222 1222121212121yyyyyyy xy xy xy xyxxy

31、xxxxxxxxxxx+=+=+21122 12121yyy xy xxxxxx+= ()()()()21122121214444k xk xk xxk xxxxxxx+= 17 / 24 ()()1212122121824k xxkkx xk xxxxxxx+= 222222212124481824824323232kkkkkkkkkkxxxxx + += ()()()()22212116363232kkxxxkxxk=+ ()()221169432kxxxk=+， 當(dāng)94x = 時(shí)，0y =，所以直線nm過定點(diǎn)9,04. 【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直

32、線與橢圓的位置關(guān)系中直線過定點(diǎn)的問題，關(guān)鍵在于將目標(biāo)條件轉(zhuǎn)化到直線與橢圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)上去，屬于較難題. 20. 某人設(shè)計(jì)了一個(gè)工作臺(tái)，如圖所示，工作臺(tái)的下半部分是個(gè)正四棱柱 abcda1b1c1d1，其底面邊長(zhǎng)為 4，高為 1，工作臺(tái)的上半部分是一個(gè)底面半徑為2的圓柱體的四分之一 （1）當(dāng)圓弧 e2f2（包括端點(diǎn)）上的點(diǎn) p 與 b1的最短距離為 52時(shí)，證明：db1平面 d2ef （2）若 d1d23當(dāng)點(diǎn) p在圓弧 e2e2（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)時(shí)，求二面角 pa1c1b1的正切值的取值范圍 【答案】（1）見解析，（2）3 26 23,27+ 【解析】 18 / 24 【分析】 （1）以d為原點(diǎn)

33、，以2,da dc dd的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，可得1120,0db efdb ed=，從而可證 db1平面 d2ef； （2）設(shè)( , ,4)p a b，則222,0,0abab+=，所以 2,2ab+ ，求出平面11pac的法向量4(1,1,)3abn=，而平面111abc的一個(gè)法向量(0,0,1)m =，設(shè)二面角111pacb的大小為，則先求出cos，從而可得3 2tan4ab=+，再由 2,2ab+ 可得tan的范圍. 【詳解】（1）證明：作ph 平面1111dcba于h，則h在圓弧ef上， 因?yàn)?211pbphhb=+，所以當(dāng)1hb取最小值時(shí)，

34、1pb最小， 由圓的對(duì)稱性可知，1hb的最小值為4 223 2=， 所以22114 2phpbhb=, 如圖，以d為原點(diǎn)，以2,da dc dd方向分別為x軸，y軸， z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系dxyz， 則21(0,0,0),(0,0,14 2),( 2,0,1),(0, 2,1),(4,4,1)ddefb+， 12(4,4,1),(2, 2,0),(2,0,4 2)dbefed= = , 因?yàn)?124 24 200,4 204 20db efdb ed= += +=， 所以112,dbef dbed, 因?yàn)閑f 平面2d ef，2ed 平面2d ef，2edefe=, 所以 db1平面

35、 d2ef， 19 / 24 （2）解：若 d1d23，由（1）知()()()1114,0,1 ,0,4,1 ,4,4,1acb, 設(shè)( , ,4)p a b，因?yàn)?22,0,0abab+=， 設(shè)2cos ,2sin ,0,2ab = 所以2sin() 2,24ab+=+， 111( 4,4,0),(4, ,3)= =acapab， 設(shè)平面11pac的法向量為111( ,)nx y z=， 則11111111440(4)30n acxyn apaxbyz = +=+=， 令11x =，則4(1,1,)3abn=， 取平面111abc的一個(gè)法向量(0,0,1)m =， 設(shè)二面角111pacb的大

36、小為，顯然是鈍角， 則243coscos,42()3abm nm nabm n+= = =+， 20 / 24 220,sin0,sin1co242()s3ab+=， 則3 23 26 23tan,427ab+= +， 所以二面角111pacb的正切值的取值范圍為3 26 23,27+， 【點(diǎn)睛】此題考查了利用空間向量證明線面垂直，求二面角，考查了空間想象能力和推理計(jì)算能力，屬于較難題. 21. 設(shè)函數(shù) f（x）xlnx，g（x）aex（ar） （1）若曲線 yf（x）在 x1處的切線也與曲線 yg（x）相切，求 a的值 （2）若函數(shù) g（x）f（x）g（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn) 求 a 的取值范圍

37、； 當(dāng) ae22時(shí)，證明：g（x）0 【答案】（1）21ae=；（2）10ae；證明詳見解析. 【解析】 【分析】 （1）首先求切線方程，設(shè)切點(diǎn)()00,p xy，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解； （2）由條件轉(zhuǎn)化為ya=與ln1xxye+=有兩個(gè)交點(diǎn)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解； 首先由已知條件22ae，轉(zhuǎn)化為( )22lnlnxxg xxxaexxee=，再通過構(gòu)造函數(shù)( )22lnxxxeef xx=，利用導(dǎo)數(shù)證明( )0f x 恒成立. 【詳解】（1）( )ln1fxx=+，( )11f =，( )10f=， 則切線方程為1yx= 設(shè)切線與( )yg x=相切于點(diǎn)()00,p xy， 則00000

38、11xxaeyaeyx=，解得：02x =，01y =，21ae=； 21 / 24 （2）( )lnxg xxxae=，0 x ， ( )ln1xgxxae=+ ， 當(dāng)( )0gx=時(shí)，ln1exxa+=， 若函數(shù)( )g x有兩個(gè)極值點(diǎn)，即ya=與ln1xxye+=有兩個(gè)交點(diǎn)， 設(shè)( )()ln10 xxh xxe+=， ( )1ln1xxxh xe= ，設(shè)( )1ln1t xxx=， ( )2110txxx= ，即函數(shù)( )t x在()0,+上單調(diào)遞減，且( )10t=， 在區(qū)間()0,1上( )0h x，在區(qū)間()1,+上 ( )0h x， ( )h x在區(qū)間()0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)

39、間()1,+上單調(diào)遞減， 并且( )11he=，當(dāng)x+時(shí)，( )0h x ，當(dāng)0 x 時(shí)，( )h x ， 若ya=與( )yh x=有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，10ae； ( )( )( )lnxg xf xg xxxae=，當(dāng)2222aeae， ( )22lnlnxxg xxxaexxee=， 令( )222ln2lnxxxxeeef xxxxe=， ( )()222211212xxxexx eefxxxexxe=， 顯然01x時(shí)，( )0fx,( )f x在()0,1上單調(diào)遞增， 當(dāng)()0,1x時(shí)，( )( )210f xfe= ， 當(dāng)1x 時(shí)，( )()()2222111221xxexxexfxxxexex=， 令( )221xexh xex=，1x ，( )()222101xehxex=+ ， ( )h x在()1,+上單調(diào)遞增，又( )20h=, 22 / 24 ()1,2x時(shí)，( )0h x ，當(dāng)()2,x+時(shí)，( )0h x , 當(dāng)()1,2x時(shí)，( )0fx，當(dāng)()2,x+時(shí)，( )0fx， ( )f x在()1,2上單調(diào)遞增，在()2,+上單調(diào)遞減， 當(dāng)1x 時(shí)，( )( )2ln2 10f xf= ， 綜上所述，( )( )0g xf x， 所以( )0g x . 【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍