2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國(guó)Ⅰ卷)文

1、1 / 20 絕密 啟用前 2020 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(全國(guó)卷,文) (本試卷共 4 頁(yè),23小題,滿分 150 分,考試用時(shí) 120 分鐘) 一、選擇題:本題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1.已知集合 a=x|x2-3x-41)的左、右頂點(diǎn),g為 e 的上頂點(diǎn), =8.p 為直線 x=6上的動(dòng)點(diǎn),pa與 e 的另一交點(diǎn)為 c,pb 與 e的另一交點(diǎn)為 d. (1)求 e 的方程; (2)證明:直線 cd過定點(diǎn). (二)選考題:共 10 分。請(qǐng)考生在第 22、23 題中任選一

2、題作答。如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。 22.選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分) 在直角坐標(biāo)系 xoy 中,曲線 c1的參數(shù)方程為 = cos, = sin(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線 c2的極坐標(biāo)方程為 4cos -16sin +3=0. (1)當(dāng) k=1時(shí),c1是什么曲線? (2)當(dāng) k=4時(shí),求 c1與 c2的公共點(diǎn)的直角坐標(biāo). 8 / 20 23.選修 45:不等式選講(10 分) 已知函數(shù) f(x)=|3x+1|-2|x-1|. 9 / 20 (1)畫出 y=f(x)的圖像; (2)求不等式 f(x)f(x+1)的解集. 2020 年數(shù)學(xué)

3、(全國(guó)卷,文) 查缺補(bǔ)漏表 題組及考查主題 題型 考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng) 查缺補(bǔ)漏 1(集合) 選擇題 集合的基本運(yùn)算(交集)、一元二次不等式的解法;數(shù)學(xué)運(yùn)算 8,15,20(函數(shù)與導(dǎo)數(shù)) 選擇題 指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化;邏輯推理 填空題 導(dǎo)數(shù)的幾何意義;數(shù)學(xué)運(yùn)算 解答題 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、求參數(shù)的取值范圍;數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算 7,18(三角函數(shù)與解三角形) 選擇三角函數(shù)的周期、圖像;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算 10 / 20 題 解答題 正弦定理、余弦定理的應(yīng)用、三角形面積的應(yīng)用、三角恒等變換;數(shù)學(xué)運(yùn)算 14(平面向量) 填空題 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩平面向量垂直;數(shù)

4、學(xué)運(yùn)算 10,16(數(shù)列) 選擇題 等比數(shù)列基本量的計(jì)算;數(shù)學(xué)運(yùn)算 填空題 由數(shù)列和求首項(xiàng)、分類討論思想的應(yīng)用;邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算 13(不等式) 填空題 線性規(guī)劃;直觀想象 3,12,19(立體幾何) 選擇題 求空間幾何體的基本元素;直觀想象 選擇題 球的切接問題、球的表面積;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算 解答題 空間面面垂直的證明、求幾何體的體積;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算 6,11,21(平面解析幾何) 選擇題 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)最小值的求法;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算 選擇題 雙曲線的定義的應(yīng)用、求焦點(diǎn)三角形的面積;直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算 解答題 求橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系;邏輯推理

5、、數(shù)學(xué)運(yùn)算 續(xù) 表 11 / 20 題組及考查主題 題型 考查要點(diǎn)和核心素養(yǎng) 查缺補(bǔ)漏 4,5,17(概率與統(tǒng)計(jì)) 選擇題 古典概型的應(yīng)用、數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理 選擇題 回歸方程的應(yīng)用;數(shù)據(jù)分析 解答題 古典概型、平均數(shù);數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析 2(復(fù)數(shù)) 選擇題 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模;數(shù)學(xué)運(yùn)算 9(程序框圖) 選擇題 循環(huán)結(jié)構(gòu);邏輯推理 22(坐標(biāo)系與參數(shù)方程) 解答題 極坐標(biāo)與參數(shù)方程;直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算 23(不等式選講) 解答題 絕對(duì)值不等式、分段函數(shù)的圖像;直觀想象、邏輯推理 【試題分析】 2020 年全國(guó)卷文科數(shù)學(xué),突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)(約占 40%)以及主干內(nèi)容的考查,如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(22

6、分),立體幾何(22分),解析幾何(22分),概率與統(tǒng)計(jì)(22分),三角函數(shù)與解三角形(17分).縱觀全卷,在穩(wěn)定中求創(chuàng)新,重視對(duì)學(xué)生基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思想方法與能力的考查,關(guān)注學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新意識(shí),試卷梯度明顯,有良好的區(qū)分度.試題重視數(shù)學(xué)本質(zhì),突出理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用,突出對(duì)關(guān)鍵能力的考查.第 3題以世界建筑奇跡埃及的胡夫金字塔為背景,設(shè)計(jì)了正四棱錐的計(jì)算問題,將立體幾何的基本知識(shí)與世界文化遺產(chǎn)有機(jī)結(jié)合.考查學(xué)生的分析能力和數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).第 17題以工業(yè)生產(chǎn)中的總廠分配加工業(yè)務(wù)問題為背景,考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)中實(shí)際數(shù)據(jù)的分析處理能力,將社

7、會(huì)生產(chǎn)勞動(dòng)實(shí)踐情景與數(shù)學(xué)基本概念有機(jī)結(jié)合,培養(yǎng)勞動(dòng)觀念中的引導(dǎo)作用. 12 / 20 1.d 由不等式 x2-3x-40,解得-1x4,故 ab=1,3. 2.c 因?yàn)?z=1+2i+i3=1+2i+i2 i=1+2i-i=1+i, 所以|z|=12+ 12= 2. 3. c 如圖,設(shè)正四棱錐的高為 h,底面邊長(zhǎng)為 a,側(cè)面三角形底邊上的高為 h, 則有2=12,2= 2-(2)2, 因此有 h2-(2)2=12ah, 化簡(jiǎn)得 4()2-2()-1=0, 解得=5+14.(負(fù)值舍去) 4.a 由題意知一共有 10種取法,當(dāng)選 a,o,c和 b,o,c時(shí)符合要求, 故 p=210=15. 5.d

8、 結(jié)合題中散點(diǎn)圖,由圖像的大致走向判斷,此函數(shù)應(yīng)該是對(duì)數(shù)函數(shù)模型,故應(yīng)該選用的函數(shù)模型為 y=a+bln x. 6.b 圓的方程可化為(x-3)2+y2=9. 13 / 20 因?yàn)?1-3)2+ (2-0)2=223, 所以點(diǎn)(1,2)在圓內(nèi). 如圖所示,設(shè)圓心 o1(3,0),a(1,2),當(dāng)弦 bc與 o1a垂直時(shí)弦最短, 因?yàn)閨o1a|=(3-1)2+ (0-2)2=22,|o1b|=3, 所以|ab|=|1|2-|1|2= 9-8=1, 所以|bc|=2|ab|=2. 7.c 由題圖知 f(-49)=cos(-49 +6)=0, 所以-49+6=2+k(kz), 化簡(jiǎn)得 =-3+94(

9、kz). 因?yàn)?t22t,即2|24|, 所以 1|2,解得-119k-79或19k59. 當(dāng)且僅當(dāng) k=-1時(shí),1|2. 所以 =32,最小正周期 t=2|=43. 8.b 因?yàn)?alog34=log34a=2,所以 4a=32=9, 所以 4-a=14=19. 9.c 輸入 n=1,s=0,則 s=s+n=1,s100;n=n+2=3, s=s+n=1+3=5,s100;n=n+2=5, s=s+n=1+3+5=10,s100;n=5+2=7, 14 / 20 由以上推導(dǎo)可知 s是以 1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列的前 m項(xiàng)和, 可得 s=m+m(m-1)100,解得-10m10. 故當(dāng) n

10、=1+102=21時(shí),不滿足 s100,故輸出 n=21. 10.d 設(shè)等比數(shù)列an的公比為 q,因?yàn)?a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以 q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以 a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32. 11.b 由題意知 a=1,b=3,c=2.不妨設(shè) f1,f2分別為雙曲線 c的左、右焦點(diǎn),則 f1(-2,0),f2(2,0). 因?yàn)閨op|=2,所以點(diǎn) p在以 o為圓心,f1f2為直徑的圓上, 故 pf1pf2,則|pf1|2+|pf2|2=(2c)2=16. 由雙曲線的定義可知|pf1|-|pf2|=2a=2, 所以|pf1|2+|

11、pf2|2-2|pf1| |pf2|=4, 所以|pf1| |pf2|=6,所以pf1f2的面積為12|pf1| |pf2|=3. 12.a 由題意知o1的半徑 r=2.由正弦定理知sin=2r, oo1=ab=2rsin 60=23, 球 o的半徑 r=2+ |1|2=4. 球 o的表面積為 4r2=64. 13. 1 畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖(陰影部分)所示,將目標(biāo)函數(shù) z=x+7y變形可得 y=-17x+17z,平移直線 y=-17x. 15 / 20 由圖可得 z在點(diǎn) a處取得最大值. 由-1 = 0,2 + -2 = 0,得 = 1, = 0, 所以 a(1,0),所以 zm

12、ax=1+70=1. 【思路點(diǎn)撥】 解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出可行域,分別求出交點(diǎn)坐標(biāo),可知 z在點(diǎn)(1,0)處取得最大值. 14.5 由 ab,可得 a b=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得 m=5. 15.y=2x 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0).對(duì) y=ln x+x+1求導(dǎo)可得 y=1+1. 由題意得,10+1=2,解得 x0=1,故 y0=ln 1+1+1=2, 切線方程為 y-2=2(x-1),即 y=2x. 16.7 當(dāng) n為偶數(shù)時(shí),有 an+2+an=3n-1, 則(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92, 因?yàn)?/p>

13、前 16項(xiàng)和為 540,所以 a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448. 當(dāng) n為奇數(shù)時(shí),有 an+2-an=3n-1,由累加法得 an+2-a1=3(1+3+5+n)-1+2=34n2+n+14,所以an+2=34n2+n+14+a1, 所以a1+3412+1+14+a1+3432+3+14+a1+3452+5+14+a1+3472+7+14+a1+3492+9+14+a1+34112+11+14+a1+34132+13+14+a1=448,解得 a1=7. 17.解 (1)由試加工產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表知, 甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為 a級(jí)品的概率的估計(jì)值為40100=0

14、.4; 乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為 a級(jí)品的概率的估計(jì)值為28100=0.28. 16 / 20 (2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的 100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為 利潤(rùn) 65 25 -5 -75 頻數(shù) 40 20 20 20 因此甲分廠加工出來的 100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為 6540+2520-520-7520100=15. 由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的 100件產(chǎn)品利潤(rùn)的頻數(shù)分布表為 利潤(rùn) 70 30 0 -70 頻數(shù) 28 17 34 21 因此乙分廠加工出來的 100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為 7028+301710. 比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤(rùn),應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)

15、務(wù). 18.解 (1)由題設(shè)及余弦定理得 28=3c2+c2-23c2cos 150, 解得 c=-2(舍去),c=2.從而 a=23. abc的面積為12232sin 150=3. (2)在abc中,a=180-b-c=30-c, 所以 sin a+3sin c=sin(30-c)+3sin c=sin(30+c). 故 sin(30+c)=22. 而 0c30,所以 30+c=45,故 c=15. 17 / 20 19.(1)證明 由題設(shè)可知,pa=pb=pc. 由于abc是正三角形, 故可得pacpab,pacpbc. 又apc=90,故apb=90,bpc=90. 從而 pbpa,pb

16、pc,故 pb平面 pac, 所以平面 pab平面 pac. (2)解 設(shè)圓錐的底面半徑為 r,母線長(zhǎng)為 l. 由題設(shè)可得 rl=3,l2-r2=2. 解得 r=1,l=3. 從而 ab=3.由(1)可得 pa2+pb2=ab2, 故 pa=pb=pc=62. 所以三棱錐 p-abc的體積為1312papbpc=1312 (62)3=68. 20.解 (1)當(dāng) a=1時(shí),f(x)=ex-x-2,則 f(x)=ex-1. 當(dāng) x0時(shí),f(x)0時(shí),f(x)0. 所以 f(x)在(-,0)單調(diào)遞減,在(0,+)單調(diào)遞增. (2)f(x)=ex-a. 當(dāng) a0時(shí),f(x)0,所以 f(x)在(-,+

17、)單調(diào)遞增,故 f(x)至多存在 1個(gè)零點(diǎn),不合題意. 當(dāng) a0時(shí),由 f(x)=0可得 x=ln a.當(dāng) x(-,ln a)時(shí),f(x)0. 所以 f(x)在(-,ln a)單調(diào)遞減,在(ln a,+)單調(diào)遞增,故當(dāng) x=ln a時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(ln a)=-a(1+ln a). 若 01e,則 f(ln a)0,所以 f(x)在(-,ln a)存在唯一零點(diǎn). 由(1)知,當(dāng) x2時(shí),ex-x-20, 所以當(dāng) x4且 x2ln(2a)時(shí), f(x)=e2 e2-a(x+2)eln(2a) (2+ 2)-a(x+2)=2a0. 故 f(x)在(ln a,+)存在唯一零點(diǎn).

18、從而 f(x)在(-,+)有兩個(gè)零點(diǎn). 綜上,a的取值范圍是(1e, + ). 21.(1)解 由題設(shè)得 a(-a,0),b(a,0),g(0,1). 則 =(a,1), =(a,-1). 由 =8得 a2-1=8,即 a=3. 所以 e的方程為29+y2=1. (2)證明 設(shè) c(x1,y1),d(x2,y2),p(6,t). 若 t0,設(shè)直線 cd的方程為 x=my+n, 由題意可知-3n3. 由于直線 pa的方程為 y=9(x+3),所以 y1=9(x1+3). 直線 pb的方程為 y=3(x-3),所以 y2=3(x2-3). 可得 3y1(x2-3)=y2(x1+3). 由于229+ 22=1,故22=-(2+3)(2-3)9, 19 / 20 可得 27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)