圓錐曲線(xiàn)(橢圓,雙曲線(xiàn),拋物線(xiàn))的定義、方程和性質(zhì)知識(shí)總結(jié)

1、橢圓的定義、性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程1. 橢圓的定義：第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1、f2的距離之和等于常數(shù) （大于f1f2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。第二定義：動(dòng)點(diǎn)m到定點(diǎn)f的距離和它到定直線(xiàn)l的距離之比等于常數(shù)e(0 e 1)，則動(dòng)點(diǎn)m的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)f是橢圓的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l叫做橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)e叫做橢圓的離心率。說(shuō)明：若常數(shù)2a等于2c，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是線(xiàn)段f1f2。若常數(shù)2a小于2c，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。2. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形及幾何性質(zhì)：標(biāo)準(zhǔn)方程x2y221(a b 0)中2ab心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上y2x21(a b 0)a2b2中心在原點(diǎn)，焦

2、點(diǎn)在y軸上圖形范圍頂點(diǎn)x a， y ba1a， 0、a2a， 0b10， b、b20，bx b， y aa10， a、a20，ab1b， 0、b2b， 0 x軸、y軸；對(duì)稱(chēng)軸焦點(diǎn)焦距離心率準(zhǔn)線(xiàn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上x(chóng)軸、y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上f1c， 0、f2c， 0f1f2 2c(c 0)e c(0 e 1)aa2x cf10， c、f20，cf1f2 2c(c 0)e c(0 e 1)aa2y c參數(shù)方程與普通方程x2y21的參數(shù)方程為a2b2x acos為參數(shù)y bsiny2x21的參數(shù)方程為a2b2y acos為參數(shù)x bsin3. 焦半徑公式：橢圓上

3、的任一點(diǎn)和焦點(diǎn)連結(jié)的線(xiàn)段長(zhǎng)稱(chēng)為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)f1、f2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，px0，y0是橢圓上任一點(diǎn)，則pf1 aex0，pf2 aex0。推導(dǎo)過(guò)程：由第二定義得pf1d1， e（d1為點(diǎn)p到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離）a2則pf1 ed1 ex0 ex0a aex0；同理得pf2 aex0。c簡(jiǎn)記為：左“”右“” 。由此可見(jiàn)，過(guò)焦點(diǎn)的弦的弦長(zhǎng)是一個(gè)僅與它的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)的數(shù)。x2y2y2x21； 若 焦 點(diǎn) 在y軸 上 ， 則 為221。 有 時(shí) 為 了 運(yùn) 算 方 便 ， 設(shè)a2b2abmx2 ny21(m 0,m n)。雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)：1 定義（1）

4、第一定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn) f1、f2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng) 2a（小于|f1f2|）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線(xiàn)。說(shuō)明：|pf1|-|pf2|=2a（2a|f1f2|時(shí)無(wú)軌跡。設(shè) m 是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)， 若 m 點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右邊一支上， 則|mf1|mf2|， |mf1|-|mf2|=2a；若 m 在雙曲線(xiàn)的左支上，則|mf1|1）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線(xiàn)，定點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l 叫相應(yīng)的準(zhǔn)線(xiàn)。2 雙曲線(xiàn)的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x x2 2a a2 2 y y2 2b b2 2 1 1( (a a 0 0, ,b b 0 0) )y y2 2a a2 2 x x2 2b b2 2 1 1( (a a 0 0

5、, ,b b 0 0) )圖形焦點(diǎn)頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)軸離心率f1（-c，0） ，f2（c，0）a1（a，0） ，a2（-a，0）實(shí)軸 2a，虛軸 2b，實(shí)軸在 x 軸上，c2=a2+b2f1（0，-c） ，f2（0，c）a1（0，a） ，a2（0，-a）實(shí)軸 2a，虛軸 2b，實(shí)軸在 y 軸上，c2=a2+b2e c| mf2|a| md |2 2e c| mf2|a| md |2 2準(zhǔn)線(xiàn)方程a a2 2a a2 2l l1 1: :x x , ,l l : :x x c c2 2c cc ca a2 2a a2 2l l1 1: :y y , ,l l : :y y c c2 2c cc c準(zhǔn)線(xiàn)間距離

6、為2 2a a準(zhǔn)線(xiàn)間距離為2 2a a漸近線(xiàn)方程xyxy 0, 0ababxyxy 0, 0baba3 幾個(gè)概念（1）（2）等軸雙曲線(xiàn)：實(shí)、虛軸相等的雙曲線(xiàn)。等軸雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=x，離心率為2。共軸雙曲線(xiàn)：以已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線(xiàn)叫原雙曲線(xiàn)的共軸x2y2x2y2雙曲線(xiàn)，例：221的共軸雙曲線(xiàn)是22 1。abab雙曲線(xiàn)及其共軸雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)。但有共同的漸近線(xiàn)的兩雙曲線(xiàn)，不一定是共軸雙曲線(xiàn)；雙曲線(xiàn)和它的共軸雙曲線(xiàn)的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓周上。拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、拋物線(xiàn)定義的理解一、拋物線(xiàn)定義的理解平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)f和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)，定點(diǎn)

7、f為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)。注： 定義可歸結(jié)為“一動(dòng)三定” ：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為m；一定點(diǎn)f（即焦點(diǎn)） ；一定直線(xiàn)l（即準(zhǔn)線(xiàn)） ；一定值 1（即動(dòng)點(diǎn)m到定點(diǎn)f的距離與它到定直線(xiàn)l的距離之比 1） 定義中的隱含條件：焦點(diǎn)f不在準(zhǔn)線(xiàn)l上。若f在l上，拋物線(xiàn)退化為過(guò)f且垂直于l的一條直線(xiàn) 圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)f和定直線(xiàn)l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0 e 1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)e 1時(shí)，表示雙曲線(xiàn)；當(dāng)e 1時(shí)，表示拋物線(xiàn)。 拋物線(xiàn)定義建立了拋物線(xiàn)上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離（稱(chēng)焦半徑）與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離互化，與拋物線(xiàn)的定義聯(lián)系起來(lái)，通

8、過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。二、拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程二、拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程建系特點(diǎn)：以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為一條坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，這樣使標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對(duì)稱(chēng)性， 而且曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用。2四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時(shí)，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：y2 2pxp 0，x2 2pyp 0，其中： 參數(shù)p的幾何意義：焦參數(shù)p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以p恒為正值；p值越大，p張口越大；等于焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的距離。2標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)： 方程的左邊是某變量的平方項(xiàng)， 右邊是另一變量的一

9、次項(xiàng)， 方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱(chēng)相同， 一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向， 即對(duì)稱(chēng)軸為x軸時(shí)， 方程中的一次項(xiàng)變量就是x， 若x的一次項(xiàng)前符號(hào)為正， 則開(kāi)口向右， 若x的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開(kāi)口向左；若對(duì)稱(chēng)軸為y軸時(shí)，方程中的一次項(xiàng)變量就是y， 當(dāng)y的一次項(xiàng)前符號(hào)為正，則開(kāi)口向上，若y的一次項(xiàng)前符號(hào)為負(fù)，則開(kāi)口向下。三、求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程三、求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線(xiàn)方程時(shí)， 要依據(jù)題設(shè)條件， 弄清拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向， 正確地選擇拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程. 待定系數(shù)法：因拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，若能確定拋物線(xiàn)的形式，需一個(gè)條件就能解出待定系數(shù)p，因此要做到“先定位，再定值” 。

10、注：當(dāng)求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的拋物線(xiàn)時(shí)，若不知開(kāi)口方向，可設(shè)為y2 ax或x2 ay，這樣可避免討論。 拋物線(xiàn)軌跡法：若由已知得拋物線(xiàn)是標(biāo)準(zhǔn)形式，可直接設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)式；若不確定是否是標(biāo)準(zhǔn)式，由已知條件可知曲線(xiàn)的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法求之。四、拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)四、拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)方程性質(zhì)設(shè)拋物線(xiàn)y 2pxp 02焦點(diǎn)范圍對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)原點(diǎn)離心率準(zhǔn)線(xiàn)通徑 p關(guān)于xf,0 x 0軸對(duì)稱(chēng)2e 1x p22p注： 焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的1；4 對(duì)于不同形式的拋物線(xiàn)，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從整體上認(rèn)識(shí)拋物線(xiàn)及其性

11、質(zhì)。五、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有關(guān)問(wèn)題五、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有關(guān)問(wèn)題1直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的判斷：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立方程組，消去x或y化得形如ax bx c 0（*）的式子： 當(dāng)a 0時(shí)， （*）式方程只有一解，即直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)不是相切，而是與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸平行或重合； 當(dāng)a 0時(shí)，若0（*）式方程有兩組不同的實(shí)數(shù)解直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交；若=0（*）式方程有兩組相同的實(shí)數(shù)解直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切；若0（*）式方程無(wú)實(shí)數(shù)解直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相離.2直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題 弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于ax1, y1,bx2, y2，則ab 1 kab xa xb22或ab 11 ya yb.k2p，拋物線(xiàn)2 若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交所得弦為焦點(diǎn)弦時(shí),借助于焦半徑公式處理：拋物線(xiàn)y2 2pxp 0上一點(diǎn)mx0, y0的焦半徑長(zhǎng)是mf x0 x2 2pyp 0上一點(diǎn)mx0, y0的焦半徑長(zhǎng)是mf y0六、拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論六、拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論p2設(shè)ab為過(guò)拋物線(xiàn)y2 2pxp 0焦點(diǎn)的弦，設(shè)ax1, y1,bx2, y2，直線(xiàn)ab的傾斜角為，則p2, y1y2 p2；x1x242pab x1 x2 p；sin2以ab為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切；弦兩端點(diǎn)與頂點(diǎn)所成三角形的面積saobp2；2sin112；fafbp 焦點(diǎn)f對(duì)a、b在準(zhǔn)線(xiàn)上射影的張角為 900；七、拋