圓錐曲線(橢圓,雙曲線,拋物線)的定義、方程和性質(zhì)知識總結(jié)

1、橢圓的定義、性質(zhì)及標準方程1. 橢圓的定義：第一定義：平面內(nèi)與兩個定點f1、f2的距離之和等于常數(shù) （大于f1f2）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。第二定義：動點m到定點f的距離和它到定直線l的距離之比等于常數(shù)e(0 e 1)，則動點m的軌跡叫做橢圓。定點f是橢圓的焦點，定直線l叫做橢圓的準線，常數(shù)e叫做橢圓的離心率。說明：若常數(shù)2a等于2c，則動點軌跡是線段f1f2。若常數(shù)2a小于2c，則動點軌跡不存在。2. 橢圓的標準方程、圖形及幾何性質(zhì)：標準方程x2y221(a b 0)中2ab心在原點，焦點在x軸上y2x21(a b 0)a2b2中心在原點，焦

2、點在y軸上圖形范圍頂點x a， y ba1a， 0、a2a， 0b10， b、b20，bx b， y aa10， a、a20，ab1b， 0、b2b， 0 x軸、y軸；對稱軸焦點焦距離心率準線長軸長2a，短軸長2b；焦點在長軸上x軸、y軸；長軸長2a，短軸長2b；焦點在長軸上f1c， 0、f2c， 0f1f2 2c(c 0)e c(0 e 1)aa2x cf10， c、f20，cf1f2 2c(c 0)e c(0 e 1)aa2y c參數(shù)方程與普通方程x2y21的參數(shù)方程為a2b2x acos為參數(shù)y bsiny2x21的參數(shù)方程為a2b2y acos為參數(shù)x bsin3. 焦半徑公式：橢圓上

3、的任一點和焦點連結(jié)的線段長稱為焦半徑。焦半徑公式：橢圓焦點在x軸上時，設(shè)f1、f2分別是橢圓的左、右焦點，px0，y0是橢圓上任一點，則pf1 aex0，pf2 aex0。推導過程：由第二定義得pf1d1， e（d1為點p到左準線的距離）a2則pf1 ed1 ex0 ex0a aex0；同理得pf2 aex0。c簡記為：左“”右“” 。由此可見，過焦點的弦的弦長是一個僅與它的中點的橫坐標有關(guān)的數(shù)。x2y2y2x21； 若 焦 點 在y軸 上 ， 則 為221。 有 時 為 了 運 算 方 便 ， 設(shè)a2b2abmx2 ny21(m 0,m n)。雙曲線的定義、方程和性質(zhì)知識要點：1 定義（1）

4、第一定義：平面內(nèi)到兩定點 f1、f2的距離之差的絕對值等于定長 2a（小于|f1f2|）的點的軌跡叫雙曲線。說明：|pf1|-|pf2|=2a（2a|f1f2|時無軌跡。設(shè) m 是雙曲線上任意一點， 若 m 點在雙曲線右邊一支上， 則|mf1|mf2|， |mf1|-|mf2|=2a；若 m 在雙曲線的左支上，則|mf1|1）的點的軌跡叫雙曲線，定點叫焦點，定直線l 叫相應(yīng)的準線。2 雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標準方程x x2 2a a2 2 y y2 2b b2 2 1 1( (a a 0 0, ,b b 0 0) )y y2 2a a2 2 x x2 2b b2 2 1 1( (a a 0 0

5、, ,b b 0 0) )圖形焦點頂點對稱軸離心率f1（-c，0） ，f2（c，0）a1（a，0） ，a2（-a，0）實軸 2a，虛軸 2b，實軸在 x 軸上，c2=a2+b2f1（0，-c） ，f2（0，c）a1（0，a） ，a2（0，-a）實軸 2a，虛軸 2b，實軸在 y 軸上，c2=a2+b2e c| mf2|a| md |2 2e c| mf2|a| md |2 2準線方程a a2 2a a2 2l l1 1: :x x , ,l l : :x x c c2 2c cc ca a2 2a a2 2l l1 1: :y y , ,l l : :y y c c2 2c cc c準線間距離

6、為2 2a a準線間距離為2 2a a漸近線方程xyxy 0, 0ababxyxy 0, 0baba3 幾個概念（1）（2）等軸雙曲線：實、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=x，離心率為2。共軸雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸x2y2x2y2雙曲線，例：221的共軸雙曲線是22 1。abab雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不一定是共軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個焦點在同一個圓周上。拋物線標準方程與幾何性質(zhì)一、拋物線定義的理解一、拋物線定義的理解平面內(nèi)與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點

7、f為拋物線的焦點，定直線l為拋物線的準線。注： 定義可歸結(jié)為“一動三定” ：一個動點設(shè)為m；一定點f（即焦點） ；一定直線l（即準線） ；一定值 1（即動點m到定點f的距離與它到定直線l的距離之比 1） 定義中的隱含條件：焦點f不在準線l上。若f在l上，拋物線退化為過f且垂直于l的一條直線 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點f和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡，當0 e 1時，表示橢圓；當e 1時，表示雙曲線；當e 1時，表示拋物線。 拋物線定義建立了拋物線上的點、焦點、準線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動點到焦點距離（稱焦半徑）與動點到準線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來，通

8、過這種轉(zhuǎn)化使問題簡單化。二、拋物線標準方程二、拋物線標準方程1拋物線標準方程建系特點：以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立直角坐標系，這樣使標準方程不僅具有對稱性， 而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應(yīng)用。2四種標準方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標系時，該坐標軸有四種不同的方向，因此拋物線的標準方程有四種不同的形式。拋物線標準方程的四種形式為：y2 2pxp 0，x2 2pyp 0，其中： 參數(shù)p的幾何意義：焦參數(shù)p是焦點到準線的距離，所以p恒為正值；p值越大，p張口越大；等于焦點到拋物線頂點的距離。2標準方程的特點： 方程的左邊是某變量的平方項， 右邊是另一變量的一

9、次項， 方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同， 一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向， 即對稱軸為x軸時， 方程中的一次項變量就是x， 若x的一次項前符號為正， 則開口向右， 若x的一次項前符號為負，則開口向左；若對稱軸為y軸時，方程中的一次項變量就是y， 當y的一次項前符號為正，則開口向上，若y的一次項前符號為負，則開口向下。三、求拋物線標準方程三、求拋物線標準方程求拋物線方程時， 要依據(jù)題設(shè)條件， 弄清拋物線的對稱軸和開口方向， 正確地選擇拋物線標準方程. 待定系數(shù)法：因拋物線標準方程有四種形式，若能確定拋物線的形式，需一個條件就能解出待定系數(shù)p，因此要做到“先定位，再定值” 。

10、注：當求頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線時，若不知開口方向，可設(shè)為y2 ax或x2 ay，這樣可避免討論。 拋物線軌跡法：若由已知得拋物線是標準形式，可直接設(shè)其標準式；若不確定是否是標準式，由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法求之。四、拋物線的簡單幾何性質(zhì)四、拋物線的簡單幾何性質(zhì)方程性質(zhì)設(shè)拋物線y 2pxp 02焦點范圍對稱性頂點原點離心率準線通徑 p關(guān)于xf,0 x 0軸對稱2e 1x p22p注： 焦點的非零坐標是一次項系數(shù)的1；4 對于不同形式的拋物線，位置不同，其性質(zhì)也有所不同，應(yīng)弄清它們的異同點，數(shù)形結(jié)合，掌握方程與有關(guān)特征量，有關(guān)性質(zhì)間的對應(yīng)關(guān)系，從整體上認識拋物線及其性

11、質(zhì)。五、直線與拋物線有關(guān)問題五、直線與拋物線有關(guān)問題1直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷：直線與拋物線方程聯(lián)立方程組，消去x或y化得形如ax bx c 0（*）的式子： 當a 0時， （*）式方程只有一解，即直線與拋物線只有一個交點，此時直線與拋物線不是相切，而是與拋物線對稱軸平行或重合； 當a 0時，若0（*）式方程有兩組不同的實數(shù)解直線與拋物線相交；若=0（*）式方程有兩組相同的實數(shù)解直線與拋物線相切；若0（*）式方程無實數(shù)解直線與拋物線相離.2直線與拋物線相交的弦長問題 弦長公式：設(shè)直線交拋物線于ax1, y1,bx2, y2，則ab 1 kab xa xb22或ab 11 ya yb.k2p，拋物線2 若直線與拋物線相交所得弦為焦點弦時,借助于焦半徑公式處理：拋物線y2 2pxp 0上一點mx0, y0的焦半徑長是mf x0 x2 2pyp 0上一點mx0, y0的焦半徑長是mf y0六、拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論六、拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論p2設(shè)ab為過拋物線y2 2pxp 0焦點的弦，設(shè)ax1, y1,bx2, y2，直線ab的傾斜角為，則p2, y1y2 p2；x1x242pab x1 x2 p；sin2以ab為直徑的圓與準線相切；弦兩端點與頂點所成三角形的面積saobp2；2sin112；fafbp 焦點f對a、b在準線上射影的張角為 900；七、拋