高中數學講義微專題01命題形式變化及真假判定

1、- 1 - / 10 微專題 1 命題形式變化及真假判定 一、基礎知識： （一）命題結構變換 1、四類命題間的互化：設原命題為“若p，則q”的形式，則 （1）否命題：“若p，則q” （2）逆命題：“若q，則p” （3）逆否命題：“若q，則p” 2、pq，pq （1）用“或”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）中至少有一個成立即可，記為pq （2）用“且”字連接的兩個命題（或條件），表示兩個命題（或條件）要同時成立，記為pq 3、命題的否定p：命題的否定并不是簡單地在某個地方加一個“不”字，對于不同形式的命題也有不同的方法 （1）一些常用詞的“否定”：是不是 全是不全是 至少一個都

2、沒有 至多n個至少1n+個 小于大于等于 （2）含有邏輯聯結詞的否定：邏輯聯接詞對應改變，同時, p q均變?yōu)? pq： p或qp且q p且qp或q （3）全稱命題與存在性命題的否定 全稱命題：( ):,:,( )pxm p xpxmp x 存在性命題：( ):,:,( )pxm p xpxmp x 規(guī)律為：兩變一不變 兩變：量詞對應發(fā)生變化（ ），條件( )p x要進行否定( )p x 一不變：x所屬的原集合m的不變化 （二）命題真假的判斷：判斷命題真假需要借助所學過的數學知識，但在一組有關系的命題中，真假性也存在一定的關聯。 1、四類命題：原命題與逆否命題真假性相同，同理，逆命題與否命題互

3、為逆否命題，所以真假性也相同。而原命題與逆命題，原命題與否命題真假沒有關聯 - 2 - / 10 2、pq，pq，如下列真值表所示： p q p或q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 簡而言之“一真則真” 簡而言之“一假則假” 3、p：與命題p真假相反。 4、全稱命題： 真：要證明每一個m中的元素均可使命題成立 假：只需舉出一個反例即可 5、存在性命題： 真：只需在m舉出一個使命題成立的元素即可 假：要證明m中所有的元素均不能使命題成立 二、典型例題 例 1：命題“若方程20axbxc+=的兩根均大于0，則0ac ”的逆否命題是（ ） a. “若0ac ，則方程20axbxc+=

4、的兩根均大于0” b. “若方程20axbxc+=的兩根均不大于0，則0ac ” c. “若0ac ，則方程20axbxc+=的兩根均不大于0” d. “若0ac ，則方程20axbxc+=的兩根不全大于0” 思路：所謂逆否命題是要將原命題的條件與結論否定后并進行調換，“0ac ”的對立面是“0ac ”，“均大于0”的對立面是“不全大于 0”（注意不是：都不大于 0），再調換順序即可，d 選項正確 答案：d 例 2：命題“存在2,20 xz xxm+”的否定是（ ） a 存在2,20 xz xxm+ b不存在2,20 xz xxm+ p q p且q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假

5、假 - 3 - / 10 c 對任意2,20 xz xxm+ d對任意2,20 xz xxm+ 思 路 ： 存 在 性 命 題 的 否 定 ： 要 將 量 詞 變 為 “ 任 意 ” ， 語 句 對 應 變 化222020 xxmxxm+，但x所在集合不變。所以變化后的命題為：“對任意2,20 xz xxm+” 答案：d 例 3：給出下列三個結論 （1）若命題p為假命題，命題q為假命題，則命題“pq”為假命題 （2）命題“若0 xy =，則0 x =或0y =”的否命題為“若0 xy ，則0 x 或0y ” （3）命題“,20 xxr ”的否定是“,20 xxr ”，則以上結論正確的個數為（

6、） a. 3 b. 2 c. 1 d. 0 思路：（1）中要判斷pq的真假，則需要判斷, p q各自的真值情況，q為假命題，則q為真命題，所以, p q一假一真，pq為真命題，（1）錯誤 （2）“若，則”命題的否命題要將條件和結論均要否定，而（2）中對“0 x =或0y =”的否定應該為“0 x 且0y ”，所以（2）錯誤 （3）全稱命題的否定，要改變量詞和語句，且x的范圍不變。而（3）的改寫符合要求，所以（3）正確 綜上只有（3）是正確的 答案：c 例 4 ：有下列四個命題 “若0 xy+=，則, x y互為相反數”的逆命題 “全等三角形的面積相等”的否命題 “若1q ，則220 xxq+=

7、有實根”的逆否命題 “不等邊三角形的三個內角相等”的逆命題 其中真命題為（ ） a. b. c. d. 思路：中的逆命題為“若, x y互為相反數，則0 xy+=”，為真命題。中的否命題為“如果兩個三角形不是全等三角形，則它們的面積不相等”，為假命題（同底等高即可）。- 4 - / 10 中若要判斷逆否命題的真假，則只需判斷原命題即可。1q 時，判別式440q =，故方程有實根。所以原命題為真命題，進而其逆否命題也為真命題。中的逆命題為“如果一個三角形三個內角相等，則它為不等邊三角形”顯然是假命題。綜上，正確 答案：c 小煉有話說：在判斷四類命題的真假時，如果在寫命題或判斷真假上不好處理，則可

8、以考慮其對應的逆否命題，然后利用原命題與逆否命題同真同假的特點進行求解 例 5：下列命題中正確的是（ ） a. 命題“xr ，使得210 x ”的否定是“xr ，均有210 x ” b. 命題“若3x =，則2230 xx=”的否命題是“若3x ，則2230 xx” c. 命題“存在四邊相等的四邊形不是正方形”，該命題是假命題 d. 命題“若coscosxy=，則xy=”的逆否命題是真命題 思路：分別判斷 4 個選項的情況，a 選項命題的否定應為“xr ，均有210 x ”，b選型否命題的形式是正確的，即條件結論均否定。c 選項的命題是正確的，菱形即滿足條件，d 選項由原命題與逆否命題真假相同

9、，從而可判斷原命題的真假，原命題是假的，例如終邊相同的角余弦值相同，所以逆否命題也為假命題。d 錯誤 答案：b 例 6：如果命題“p且q”是假命題，“q”也是假命題，則（ ） a. 命題“p或q”是假命題 b. 命題“p或q”是假命題 c. 命題“p且q”是真命題 d. 命題“p且q”是真命題 思路：涉及到“或”命題與“且”命題的真假，在判斷或利用條件時通常先判斷每個命題的真假，再根據真值表進行判斷。題目中以q為入手點，可得q是真命題，而因為p且q是假命題，所以p只能是假命題。進而p是真命題。由此可判斷出各個選項的真假：只有 c的判斷是正確的 答案：c 例 7：已知命題p：若xy，則xy ；命

10、題q：若xy，則22xy，在命題pq；pq；()pq ； ()pq中，真命題是（ ） a. b. c. d. - 5 - / 10 思路：可先判斷出, p q的真假，從而確定出復合命題的情況。命題p符合不等式性質，正確，而q命題是錯的。所以是假的，是真的，中，因為p為假，q為真，所以正確，不正確。綜上可確定選項 d 正確 答案：d 例 8：下列 4個命題中，其中的真命題是（ ） ()111:0,23xxpx + ()21123:0,1 ,loglogpxxx ()3121:0,log2xpxx + 41311:0,log32xpxx a. 13,p p b. 14,p p c. 23,pp d

11、. 24,pp 思 路 ：12,p p為 存 在 性 命 題 ， 所 以 只 要 找 到 符 合 條 件 的x即 可 。1p可 作 出11,23xxyy=的圖像，通過觀察發(fā)現找不到符合條件的x；2p同樣作圖可得()11230,1 ,loglogxxx ， 所 以2p正 確 ；3p通 過 作 圖 可 發(fā) 現 圖 像 中 有 一 部 分121log2xx， 所 以3p錯 誤 ； 在4p中 ， 可 得 當10,3x時 ，011331111,loglog1223xx=，所以1311log2xx ，4p正確。綜上可得：24,pp正確 答案：d 小煉有話說：（1）在判斷存在性命題與全稱命題的真假，可通過找

12、例子（正例或反例）來進行簡單的判斷，如果找不到合適的例子，則要嘗試利用常規(guī)方法證明或判定 （2）本題考察了指對數比較大小，要選擇正確的方法（中間橋梁，函數性質，數形結合）進行處理，例如本題中123,p pp運用的數形結合，而4p通過選擇中間量判斷。 例 9：已知命題200:,10pxr mx+ ，命題2:,10qxr xmx + ，若pq為假命題，則實數m的取值范圍是（ ） a. 22m b. 2m 或2m c. 2m d. 2m - 6 - / 10 思 路 ： 因 為pq為 假 命 題 ， 所 以 可 得, p q均 為 假 命 題 。 則, pq為 真 命 題 。22:,10;:,10p

13、xr mxqxr xmx + + 。解決這兩個不等式能成立與恒成立問題即可。 解：pq為假命題 , p q均為假命題 22:,10;:,10pxr mxqxr xmx + + , pq為真命題 對于2:,10pxr mx + 22110mxmx+ 當xr時，210 x 0m 對于2:,10qxr xmx + ，設( )21f xxmx=+，由圖像可知：若q成立，則240m = ，解得：2m 或2m 所以綜上所述：2m 小煉有話說：因為我們平日做題都是以真命題為前提處理，所以在邏輯中遇到已知條件是假命題時，可以考慮先寫出命題的否定，根據真值表得到命題的否定為真，從而就轉化為熟悉的形式以便于求解

14、例 10：設命題:p函數( )()22lg4f xxxa=+的定義域為r；命題:1,1qm ，不等式22538aam+恒成立，如果命題“pq”為真命題，且“pq”為假命題，求實數a的取值范圍 思路：由“pq”為真命題可得, p q至少有一個為真，由“pq”為假命題可得, p q至少有一個為假。兩種情況同時存在時，只能說明, p q是一真一假。所以分為p假q真與p真q假進行討論即可 解： 命題“pq”為真命題，且“pq”為假命題 , p q一真一假 若p假q真，則:p函數( )()22lg4f xxxa=+的定義域不為r 2164022aa = 22:538q aam+恒成立 - 7 - / 1

15、0 ()22max5383aam+= 25601aaa 或6a 21a 若p真q假，則:p函數( )()22lg4f xxxa=+的定義域為r 216402aa = 或2a :1,1qm ，不等式22538aam+ ()22max5383aam+= 解得16a 26a 綜上所述：()2, 12,6a 三、近年模擬題題目精選： 1 、 （ 2014河 南 高 三 模 擬 ， 9 ） 已 知 命 題:,ln20pxrxx +=， 命 題2:,2xqxrx ，則下列命題中為真命題的是（ ） a. pq b. pq c. pq d. pq 2、（2014，岳陽一中，3）下列有關命題的敘述: 若pq為真

16、命題，則pq為真命題 “5x ”是“2450 xx”的充分不必要條件 命題:pxr ，使得210 xx+ ，則:pxr ，使得210 xx+ 命題：“若2320 xx+=，則1x =或2x =”的逆否命題為：“若1x 或2x ，則2320 xx+” 其中錯誤命題的個數為（ ） a1 b2 c3 d4 3 、 （ 2014成 都 七 中 三 月 模 擬 ， 4 ） 已 知 命 題:,2xpxrxe ， 命 題2:,log (1)0aqara+ +，則（ ） a. 命題pq是假命題 b. 命題pq是真命題 c. 命題pq是假命題 d. 命題pq是真命題 - 8 - / 10 4、（2014 新津中

17、學三月月考，6）已知命題“xr ，使得()212102xax+”是假命題，則實數a的取值范圍是（ ） a. (), 1 b. ()3,+ c. ()1,3 d. ()3,1 5、（2014 新課標全國卷 i）不等式組：124xyxy+的解集記為d，有下面四個命題： ()1:,22px yd xy+ ()2:,22px yd xy+ ()3:,23px yd xy+ ()4:,21px yd xy+ 其中真命題是（ ） a. 23,pp b. 12,p p c. 14,p p d. 13,p p - 9 - / 10 習題答案：習題答案： 1、答案：c 解析：分別判斷, p q真假，令( )ln

18、2f xxx=+，可得( )( )120ff 由零點存在性定理可知()1,2x ，使得( )ln20f xxx=+=，p為真；通過作圖可判斷出當()2,4x時，22xx，故q為假；結合選項可得：pq為真 2、答案：b 解析：判斷每個命題：若p真q假，則pq為真命題，pq為假命題，故錯誤； 不等式2450 xx的解為5x 或1x ，由命題所對應的集合關系可判斷出正確； 存在性命題的否定，形式上更改符合“兩變一不變”，故正確； “1x =或2x =”的否定應為“1x 且2x ”，故錯誤，所以選擇 b 3、答案：b 解析：對于p：當0 x 時，2xxe，故p正確；對于q：因為210a + ，所以當()0,1a時，()2log10aa +，故q