高中數(shù)學(xué)講義微專題31解三角形的要素

1、- 1 - / 14 微專題 31 解三角形中的要素 一、基礎(chǔ)知識： 1、正弦定理：2sinsinsinabcrabc=，其中r為abc外接圓的半徑 正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則不可行 例如：（1）222222sinsinsinsinsinababcababc+=+= （2）coscossincossincossinbccbabccba+=+=（恒等式） （3）22sinsinsinbcbcaa= 2、余弦定理：2222cosabcbca=+ 變式：（1）222cos2bcaabc+=

2、此公式通過邊的大?。ń莾蛇吪c對邊）可以判斷出a是鈍角還是銳角 當(dāng)222bca+時(shí)，cos0a，即a為銳角； 當(dāng)222bca+=（勾股定理）時(shí)，cos0a =，即a為直角； 當(dāng)222bca+時(shí)，cos0a，即a為鈍角 觀察到分式為齊二次分式，所以已知, ,a b c的值或者:a b c均可求出cos a （2）()()2221cosabcbca=+ 此公式在已知bc+和bc時(shí)不需要計(jì)算出, b c的值，進(jìn)行整體代入即可 3、三角形面積公式： （1）12sa h= （a為三角形的底，h為對應(yīng)的高） （2）111sinsinsin222sabcbcaacb= （3）()12sabcr=+ （r為三角

3、形內(nèi)切圓半徑，此公式也可用于求內(nèi)切圓半徑） （4）海倫公式：()()()()1,2sp papbpcpabc=+ （5）向量方法：()()2212saba b= （其中, a b為邊, a b所構(gòu)成的向量，方向任意） 證明：()2222222111sinsin1cos244sabcsa bca bc= - 2 - / 14 ()()221cos2sababc=，而cosa babc= ()()2212saba b= 坐標(biāo)表示：()()1122,ax yb xy=，則122112sx yx y= 4、三角形內(nèi)角和abc+=（兩角可表示另一角）。 ()sin()sinsinabcc+= ()cos

4、()coscosabcc+= 5、確定三角形要素的條件： （1）唯一確定的三角形： 已知三邊（sss）：可利用余弦定理求出剩余的三個(gè)角 已知兩邊及夾角（sas）：可利用余弦定理求出第三邊，進(jìn)而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余兩角 兩角及一邊（aas或 asa）：利用兩角先求出另一個(gè)角，然后利用正弦定理確定其它兩條邊 （2）不唯一確定的三角形 已知三個(gè)角（aaa）：由相似三角形可知，三個(gè)角對應(yīng)相等的三角形有無數(shù)多個(gè)。由正弦定理可得：已知三個(gè)角只能求出三邊的比例：:sin:sin:sina b cabc= 已知兩邊及一邊的對角（ssa）：比如已知, ,a b a，所確定的三角形有可能唯一，也有可能

5、是兩個(gè)。其原因在于當(dāng)使用正弦定理求b時(shí)，sinsinsinsinabbababa=，而0,22b時(shí)，一個(gè)sinb可能對應(yīng)兩個(gè)角（1 個(gè)銳角，1 個(gè)鈍角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角對大邊的特點(diǎn)，具體可參考例 1） 6、解三角形的常用方法： （1）直接法：觀察題目中所給的三角形要素，使用正余弦定理求解 （2）間接法：可以根據(jù)所求變量的個(gè)數(shù)，利用正余弦定理，面積公式等建立方程，再進(jìn)行求解 7、三角形的中線定理與角平分線定理 （1）三角形中線定理：如圖，設(shè)ad為abc的一條中線，則()22222abacadbd+=+ （知三求一） 證明：在abd中 2222cosabadb

6、dad bdadb=+ 2222cosacaddcad dcadc=+ d為bc中點(diǎn) bdcd= adbadc+= coscosadbadc= dabc- 3 - / 14 +可得： ()22222abacadbd+=+ （2）角平分線定理：如圖，設(shè)ad為abc中bac的角平分線，則abbdaccd= 證明：過d作deac交ab于e bdbedcae= edadac= ad為bac的角平分線 eaddac= edaead= ead為等腰三角形 eaed= bdbebedcaeed= 而由bedbac可得：beabedac= abbdaccd= 二、典型例題： 例 1：（1）abc的內(nèi)角, ,a

7、 b c所對的邊分別為, ,a b c，若2,6,60cbb=，則c =_ （2）abc的內(nèi)角, ,a b c所對的邊分別為, ,a b c，若2,6,30cbc=，則b=_ 思路：（1）由已知, ,b b c求c可聯(lián)想到使用正弦定理：sinsinsinsinbccbcbcb= 代入可解得：1sin2c =。由cb可得：60cb=，所以30c = 答案：30c = （2）由已知, ,c b c求b可聯(lián)想到使用正弦定理：sinsinsinsinbcbcbbcc= 代入可解得：3sin2b =，則60b =或120b =，由cb可得：cb，所以60b =和120b =均滿足條件 答案：60b =或

8、120b = 小煉有話說：對比（1）（2）可發(fā)現(xiàn)對于兩邊及一邊的對角，滿足條件的三角形可能唯一確定，也有可能兩種情況，在判斷時(shí)可根據(jù)“大邊對大角”的原則，利用邊的大小關(guān)系判斷出角之間的大小關(guān)系，判定出所求角是否可能存在鈍角的情況。進(jìn)而確定是一個(gè)解還是兩個(gè)解。 abcde- 4 - / 14 例 2：在abc中，2,60bcb=，若abc的面積等于32，則ac邊長為_ 思路：通過條件可想到利用面積s與,bcb求出另一條邊ab，再利用余弦定理求出ac 即可 解：1133sin22222abcsab bcbab= = 1ab= 22212cos1 42 232acabbcab bcb=+= + =

9、3ac= 答案：3 例 3：（2012 課標(biāo)全國）已知, ,a b c分別為abc三個(gè)內(nèi)角, ,a b c的對邊，且有cos3 sin0acacbc+= （1）求a （2）若2a =，且abc的面積為3，求, b c （1）思路：從等式cos3 sin0acacbc+=入手，觀察每一項(xiàng)關(guān)于, ,a b c齊次，考慮利用正弦定理邊化角：cos3 sin0sincos3sinsinsinsin0acacbcacacbc+=+=，所涉及式子與,a c關(guān)聯(lián)較大，從而考慮換掉()sinsinbac=+，展開化簡后即可求出a 解：cos3 sin0acacbc+= sincos3sinsinsinsin0

10、acacbc+= ()sincos3sinsinsinsin0acacacc+= sincos3sinsinsincossincossin0acacaccac+= 即13sincos12sin1sin662aaaa= = = 66a=或566a=（舍） 3a= - 5 - / 14 acbd（2）思路：由（1）可得3a=，再由3abcs=，2a =可想到利用面積與關(guān)于a的余弦定理可列出, b c的兩個(gè)方程，解出, b c即可 解：1sin342abcsbcabc= 222222cos4abcbcabcbc=+=+ 22224844bcbcbcbcbc+=+= 可解得22bc= 小煉有話說：通過

11、第（1）問可以看出，在遇到關(guān)于邊角的方程時(shí)，可觀察邊與角正弦中是否具備齊次的特點(diǎn)，以便于進(jìn)行邊角互化。另一方面當(dāng)角, ,a b c同時(shí)出現(xiàn)在方程中時(shí)，通常要從所給項(xiàng)中聯(lián)想到相關(guān)兩角和差的正余弦公式，然后選擇要消去的角 例 4：如圖，在abc中，d是邊ac上的點(diǎn)，且,23,2abadabbd bcbd=，則sinc的值為_ 思路：求sinc的值考慮把c放入到三角形中，可選的三角形有abc 和bdc，在bdc中，已知條件有兩邊,bd bc，但是缺少一個(gè)角（或者邊），看能否通過其它三角形求出所需要素，在abd中，三邊比例已知，進(jìn)而可求出bda，再利用補(bǔ)角關(guān)系求出bdc，從而bdc中已知兩邊一角，可解

12、出c 解：由23abbd=可設(shè)2bdk=則3abk= 3 ,4adk bck= 在adb中，()()()2222223233cos232 32kkkadbdabadbad bdkk+= 3coscos3bdcadb= = 6sin3bdc= 在bdc中，由正弦定理可得：sin6sinsinsin6bdbcbdbdcccbdcbc= 小煉有話說：（1）在圖形中求邊或角，要把邊和角放入到三角形當(dāng)中求解，在選擇三角形時(shí)盡量選擇要素多的，并考慮如何將所缺要素利用其它條件求出。 （2）本題中給出了關(guān)于邊的比例，通常對于比例式可考慮引入一個(gè)字母（例如本題中的k），這樣可以將比例轉(zhuǎn)化為邊的具體數(shù)值，便于計(jì)算

13、 - 6 - / 14 例 5：已知abc中，, ,a b c分別是角, ,a b c所對邊的邊長，若abc的面積為s，且()222sabc=+，則tanc等于_ 思路：由已知()222sabc=+可聯(lián)想到余弦定理關(guān)于cosc的內(nèi)容，而1sin2sabc=，所以可以得到一個(gè)關(guān)于sin,coscc的式子，進(jìn)而求出tanc 解：()22222122sin22sabcabcabcab=+=+ 而2222coscababc=+ 2222cosabcabc+=代入可得： sin22cossin22cosabcababccc=+=+ 224sinsin22cos53sincos1cos5cccccc=+=

14、 4tan3c= 答案：4tan3c = 例 6：在abc 中，內(nèi)角, ,a b c所對的邊分別為, ,a b c ，已知abc的面積為3 15 ，12,cos,4bca= 則a的值為 . 思路：已知cos a求a可以聯(lián)想到余弦定理，但要解出, b c的值，所以尋找解出, b c的條件，1sin3 152abcsbca=， 而215sin1cos4aa=代 入 可 得24bc =， 再 由2bc=可得 ()22222cos22cos64abcbcabcbcbca=+=+=，所以8a = 答案：8 例 7：設(shè)abc的內(nèi)角, ,a b c所對邊的長分別為, ,a b c，若sin3 cos0baa

15、b=，且2bac=，則acb+的值為（ ） a. 22 b. 2 c. 2 d. 4 思路：由sin3 cos0baab=可得：sinsin3sincos0baab=，從而tan3b =，解得3b=，從2bac=可聯(lián)想到余弦定理：222222cosbacacbacac=+=+，所以- 7 - / 14 有()2220acacacac+=，從而ac=再由2bac=可得abc=，所以acb+的值為2 答案：c 小煉有話說：本題的難點(diǎn)在于公式的選擇，2bac=以及所求acb+也會讓我們想到正弦定理。但是通過嘗試可發(fā)現(xiàn)利用角進(jìn)行計(jì)算較為復(fù)雜。所以在解三角形的題目中，條件的特征決定選擇哪種公式入手；如果

16、所給是關(guān)于邊，角正弦的其次式，可以考慮正弦定理。如果條件中含有角的余弦，或者是邊的平方項(xiàng)，那么可考慮嘗試余弦定理。 例 8：設(shè)abc的內(nèi)角, ,a b c所對邊的長分別為, ,a b c，且22,6babc a=+=，則c =（ ） a. 6 b. 4 c. 34 d. 4或34 思路：由22abbc=的結(jié)構(gòu)可以聯(lián)想到余弦定理：2222cosabcbca=+，可以此為突破 口 ， 即2222cosbbcbcbca=+， 代 入 解 得 ：()31cb =， 進(jìn) 而 求 出3 12ab=，得到, ,a b c比例代入余弦定理可計(jì)算出c 解：由22babc=+可得：22abbc=， 2222cos

17、abcbca=+ 2222cosbbcbcbca=+ ()231cbc= ()31cb =代入到22babc=+ 可得：()22231abb= 42 33 12322abbb= 3 1: :1: 3 12a b c= ()()222223113122cos223122abccab+ += 4c= 例 9：已知abc的三邊長為三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的 2 倍，則最小內(nèi)角的余弦值是（ ） - 8 - / 14 a. 34 b. 56 c. 710 d. 23 思路：不妨考慮abc，將三個(gè)邊設(shè)為1,1axbx cx=+，則2ca=，想到正弦定理sinsin22cossinsincca

18、aaaa=，再將cos a利用余弦定理用邊表示，列方程解出x，從而求出cos a 解：設(shè)abc，則1,1axbx cx=+ 2ca= sinsin22cossinsinccaaaaa= 22222222cbcabcaabcbc+=代入1,1axbx cx=+可得： ()()()22211111xxxxxx x+=+ ，解得：5x = 4,5,6abc= 2223cos24bcaabc+= 答案：a 小煉有話說：本題的特色在于如何利用“最大內(nèi)角是最小內(nèi)角 2 倍”這個(gè)條件，可聯(lián)想到正余弦的二倍角公式。本題采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之間與題目中邊的條件找到聯(lián)系。如果采用余弦二倍角公式，則

19、有2cos2cos1ca=，即便使用余弦定理也會導(dǎo)致方程次數(shù)過高，不利于求解。 例 10：在abc中，d為邊bc上一點(diǎn)，1,120 ,22bdcdadbad=，若adc的面積為33，則bac=_ 思路：要求出bac，可在abc中求解，通過觀察條件120 (120 ),2,33adcadbadcads=，可從adc可解，解出,ad ac，進(jìn)而求出bd，再在abd中解出ab，從而abc三邊齊備，利用余弦定理可求出bac 解：1sin332adcsad dcadc= ()()2 332312 sin3dc= 1312bddc= abcd- 9 - / 14 ()()222222cos22312 2

20、231 cos3acaddcad dcadc=+=+ ()6 42 3= ()631ac= 同理2222cosabaddbad dbadb=+ ()()2222312 231 cos3=+ 6= 6ab= ()()()2222266313311cos2226631abacbcbacab ac+= 60bac= 答案：60bac= 小煉有話說：（1）本題與例 4 想法類似，都是把所求要素放入到三角形中，同時(shí)要通過條件觀察哪個(gè)三角形條件比較齊備，可作為入手點(diǎn)解出其他要素 （2）本題還可以利用輔助線簡化運(yùn)算，作ambc于m，進(jìn)而利用在rt adm 中60 ,2adcad=得3,1amdm=，再用33

21、adcs=解出()231cd = 進(jìn)而31bd =，則在bc上3,2 33bmbddmcmcddm=+= 所 以45 ,tan23cmbammacam=可 得 ：15mac=，所以60bac= 三、近年好題精選 1、設(shè)、設(shè)abc的內(nèi)角的內(nèi)角, ,a b c所對邊的長分別為所對邊的長分別為, ,a b c，且，且1,24abcabs=，則，則sin a =（ ） a. 210 b. 250 c. 8282 d. 110 2、設(shè)、設(shè)abc的內(nèi)角的內(nèi)角, ,a b c所對邊的長分別為所對邊的長分別為, ,a b c，且，且3,1,2bcab=，則，則a的值為的值為（ ） a. 2 b. 2 2 c.

22、 3 d. 2 3 abcdm- 10 - / 14 3 、 在、 在abc中 ，中 ，d為為bc邊 上 一 點(diǎn) ，邊 上 一 點(diǎn) ，2,2,45dcbd adadc=， 若， 若2acab=，則，則bd =（ ） a. 23+ b. 4 c. 25+ d. 35+ 4、（、（2015，北，北京）在京）在abc中，中，4,5,6abc=，則，則sin2sinac=_ 5 、 （、 （ 2015 ， 廣 東 ） 設(shè)， 廣 東 ） 設(shè)abc的 內(nèi) 角的 內(nèi) 角, ,a b c的 對 邊 分 別 為的 對 邊 分 別 為, ,a b c， 若， 若13,sin,26abc=，則，則b =_ 6、（、

23、（2015，福建）若銳角，福建）若銳角abc的面積為的面積為10 3，且，且5,8abac=，則，則bc等于等于_ 答案：答案：7 7、（、（2015，天津）在，天津）在abc中，內(nèi)角中，內(nèi)角, ,a b c的對邊分別為的對邊分別為, ,a b c，已知，已知abc的面積為的面積為3 15，12,cos4bca= ，則，則a的值為的值為_ 8、（、（2014，天津）在，天津）在abc中，內(nèi)角中，內(nèi)角, ,a b c的對邊分別為的對邊分別為, ,a b c，已知，已知14bca=，2sin3sinbc=，則，則cosa的值為的值為_ 9、（、（2014，山東）在，山東）在abc中，已知中，已知t

24、anab aca=，當(dāng)，當(dāng)6a=時(shí)，時(shí)，abc的面積為的面積為_ 10、（、（2014，遼寧）在，遼寧）在abc中，內(nèi)角中，內(nèi)角, ,a b c的對的對邊分別為邊分別為, ,a b c，且，且ac，已知，已知12,cos,33ba bcbb=，求：，求： （1）, a c的值的值 （2）()cos bc的值的值 11、（、（2015，陜西）設(shè)，陜西）設(shè)abc的內(nèi)角的內(nèi)角, ,a b c的對邊分別為的對邊分別為, ,a b c，向量向量(), 3mab=與與()cos ,sinnab=平行平行 （1）求）求a （2）若）若7,2ab=，求，求abc的面積的面積 12、（、（2015，新課標(biāo)，新課

25、標(biāo) ii）在）在abc中，中，d是是bc上的點(diǎn)，上的點(diǎn)，ad平分平分bac，abd的面積的面積是是adc面積的面積的 2 倍倍 （1）求）求sinsinbc （2）若）若21,2addc=，求，求,bd ac的長的長 - 11 - / 14 13、（、（2015，安徽）在，安徽）在abc中，中，3,6,3 24aabac=，點(diǎn)，點(diǎn)d在在bc邊上，邊上，adbd=，求，求ad的長的長 14、(2015，江蘇）在，江蘇）在abc中，已知中，已知2,3,3abaca= （1）求）求bc的長的長 （2）求）求sin2c的值的值 習(xí)題答案：習(xí)題答案： 1、答案：a 解析：1sin24 22abcsacb

26、c= 2222cosbacacb=+代入可得：221 322 1 4 2252b = + = 5b= 2sinsinsinsin10abaababb= 2、答案：d 解析：2ab= sinsin22sincosabbb= 2 cosabb= 222cos2acbbac+= 22221 92622acbaabaaca+ = ()2238aa= 22242 3aa= 3、答案：c 解析：設(shè)bdx=，則2cdx=，由余弦定理可得： 2222cos135abadbdadbd=+ 2222cos45acadcdadcd=+，代入可得： 222222244abxxacxx=+=+ 2acab= 22122

27、2244xxxx+=+解得：25x =+ 4、答案：1 abcd- 12 - / 14 解析：222sin2sin253616 42cos221sinsin22 5 66aabcaaaccbcc+= 5、答案：1 解 析 ： 由1sin2b =及6c=可 得 ：6b=， 從 而23a=， 由 正 弦 定 理 可 得 ：sinsinabab=， 解得1b = 6、答案：7 解析：由1sin2abcsab aca=，可得：3sin2a=，即3a=，再由余弦定理可計(jì)算222cos7bcacabab aca=+= 7、答案：8 解析：2115cossin1cos44aaa= = 1sin3 15242abcsbcabc= 由余弦定理可得：()()22222cos21cos64abcbcabcbca=+=+= 8a= 8、答案：14 解析：由2sin3sinbc=可得23bc=代入到14bca=即可得到:4:3:2a b c =，不妨設(shè)4 ,3 ,2ak bk ck=，則22222294161cos22 324bcakkkabckk+= 9、答案：16 解析：sintancoscosaab acabcaa= 2sincosabca= 22211 sin11sintan22 cos26abcasbcaaa= 10、解析：由2ba bc=可得：cos2acb =