高中數(shù)學(xué)講義微專題80排列組合中的常見模型

1、- 1 - / 7 微專題 80 排列組合的常見模型 一、基礎(chǔ)知識(shí)： （一）處理排列組合問題的常用思路： 1、特殊優(yōu)先：對(duì)于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排，然后再去處理無要求的元素。 例如：用0,1,2,3,4組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有多少種排法？ 解：五位數(shù)意味著首位不能是 0，所以先處理首位，共有 4 種選擇，而其余數(shù)位沒有要求，只需將剩下的元素全排列即可，所以排法總數(shù)為44496na=種 2、尋找對(duì)立事件：如果一件事從正面入手，考慮的情況較多，則可以考慮該事的對(duì)立面，再用全部可能的總數(shù)減去對(duì)立面的個(gè)數(shù)即可。 例如：在 10 件產(chǎn)品中，有 7 件合格品，3 件次品。從這 1

2、0 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件，至少有一件次品的情況有多少種 解：如果從正面考慮，則“至少 1 件次品”包含 1 件，2 件，3 件次品的情況，需要進(jìn)行分類討論，但如果從對(duì)立面想，則只需用所有抽取情況減去全是正品的情況即可，列式較為簡(jiǎn)單。3310785ncc=（種） 3、先取再排（先分組再排列）：排列數(shù)mna是指從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素，再將這m個(gè)元素進(jìn)行排列。但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)所需排列的元素并非前一步選出的元素，所以此時(shí)就要將過程拆分成兩個(gè)階段，可先將所需元素取出，然后再進(jìn)行排列。 例如：從 4 名男生和 3 名女生中選 3 人，分別從事 3 項(xiàng)不同的工作，若這 3 人中只有一名女生，則選派方案有多

3、少種。 解：本題由于需要先確定人數(shù)的選取，再能進(jìn)行分配（排列），所以將方案分為兩步，第一步：確定選哪些學(xué)生，共有2143c c種可能，然后將選出的三個(gè)人進(jìn)行排列：33a。所以共有213433108c c a =種方案 （二）排列組合的常見模型 1、捆綁法（整體法）：當(dāng)題目中有“相鄰元素”時(shí)，則可將相鄰元素視為一個(gè)整體，與其他元素進(jìn)行排列，然后再考慮相鄰元素之間的順序即可。 例如：5 個(gè)人排隊(duì)，其中甲乙相鄰，共有多少種不同的排法 - 2 - / 7 解：考慮第一步將甲乙視為一個(gè)整體，與其余 3 個(gè)元素排列，則共有44a種位置，第二步考慮甲乙自身順序，有22a種位置，所以排法的總數(shù)為424248n

4、aa=種 2、插空法：當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時(shí)，則可考慮用剩余元素“搭臺(tái)”，不相鄰元素進(jìn)行“插空”，然后再進(jìn)行各自的排序 注：（1）要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊 （2）要從題目中判斷是否需要各自排序 例如：有 6 名同學(xué)排隊(duì)，其中甲乙不相鄰，則共有多少種不同的排法 解：考慮剩下四名同學(xué)“搭臺(tái)”，甲乙不相鄰，則需要從 5 個(gè)空中選擇 2 個(gè)插入進(jìn)去，即有25c種選擇，然后四名同學(xué)排序，甲乙排序。所以242542480ncaa=種 3、錯(cuò)位排列：排列好的n個(gè)元素，經(jīng)過一次再排序后，每個(gè)元素都不在原先的位置上，則稱為這n個(gè)元素的一個(gè)錯(cuò)位排列。例如對(duì)于, , ,a b c d，則, , ,d

5、 c a b是其中一個(gè)錯(cuò)位排列。3 個(gè)元素的錯(cuò)位排列有 2 種，4 個(gè)元素的錯(cuò)位排列有 9 種，5 個(gè)元素的錯(cuò)位排列有 44 種。以上三種情況可作為結(jié)論記住 例如：安排 6 個(gè)班的班主任監(jiān)考這六個(gè)班，則其中恰好有兩個(gè)班主任監(jiān)考自己班的安排總數(shù)有多少種？ 解：第一步先確定那兩個(gè)班班主任監(jiān)考自己班，共有26c種選法，然后剩下 4 個(gè)班主任均不監(jiān)考自己班，則為 4 個(gè)元素的錯(cuò)位排列，共 9 種。所以安排總數(shù)為269135nc= 4、依次插空：如果在n個(gè)元素的排列中有m個(gè)元素保持相對(duì)位置不變，則可以考慮先將這m個(gè)元素排好位置，再將nm個(gè)元素一個(gè)個(gè)插入到隊(duì)伍當(dāng)中（注意每插入一個(gè)元素，下一個(gè)元素可選擇的空

6、1+） 例如：已知, , ,a b c d e f6 個(gè)人排隊(duì)，其中, ,a b c相對(duì)位置不變，則不同的排法有多少種 解：考慮先將, ,a b c排好，則d有 4 個(gè)空可以選擇，d進(jìn)入隊(duì)伍后，e有 5 個(gè)空可以選擇，以此類推，f有 6 種選擇，所以方法的總數(shù)為456120n = =種 5、不同元素分組：將n個(gè)不同元素放入m個(gè)不同的盒中 6、相同元素分組：將n個(gè)相同元素放入m個(gè)不同的盒內(nèi)，且每盒不空，則不同的方法共有11mnc種。解決此類問題常用的方法是“擋板法”，因?yàn)樵叵嗤灾恍杩紤]每個(gè)盒子里所含元素個(gè)數(shù)，則可將這n個(gè)元素排成一列，共有()1n 個(gè)空，使用()1m 個(gè)“擋板”進(jìn)- 3

7、- / 7 入空檔處，則可將這n個(gè)元素劃分為m個(gè)區(qū)域，剛好對(duì)應(yīng)那m個(gè)盒子。例如：將 6 個(gè)相同的小球放入到 4 個(gè)不同的盒子里，那么 6 個(gè)小球 5 個(gè)空檔，選擇 3 個(gè)位置放“擋板”，共有3520c =種可能 7、涂色問題：涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”，在處理涂色問題時(shí)，可按照選擇顏色的總數(shù)進(jìn)行分類討論，每減少一種顏色的使用，便意味著多出一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色（還要注意兩兩不相鄰的情況），先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能，再進(jìn)行涂色即可。例如：最多使用四種顏色涂圖中四個(gè)區(qū)域，不同的涂色方案有多少種？ 解：可根據(jù)使用顏色的種數(shù)進(jìn)行分類討論 （1）使用 4 種顏色，則每個(gè)區(qū)域涂一種

8、顏色即可：414na= （2）使用 3 種顏色，則有一對(duì)不相鄰的區(qū)域涂同一種顏色，首先要選擇不相鄰的區(qū)域：用列舉法可得：, i iv不相鄰 所以涂色方案有：324na= （3）使用 2 種顏色，則無法找到符合條件的情況，所以討論終止 總計(jì)434448saa=+=種 二、典型例題： 例 1：某電視臺(tái)邀請(qǐng)了 6 位同學(xué)的父母共 12 人，請(qǐng) 12 位家長(zhǎng)中的 4 位介紹對(duì)子女的教育情況，如果這 4 位中恰有一對(duì)是夫妻，則不同選擇的方法種數(shù)有多少 思路：本題解決的方案可以是：先挑選出一對(duì)夫妻，然后在挑選出兩個(gè)不是夫妻的即可。 第一步：先挑出一對(duì)夫妻：16c 第二步：在剩下的 10 個(gè)人中選出兩個(gè)不是

9、夫妻的，使用間接法：2105c 所以選擇的方法總數(shù)為()126105240ncc=（種） 答案：240種 例 2：某教師一天上 3 個(gè)班級(jí)的課，每班上 1 節(jié)，如果一天共 9 節(jié)課，上午 5 節(jié)，下午 4節(jié)，并且教師不能連上 3 節(jié)課（第 5 節(jié)和第 6 節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（ ） a. 474種 b. 77種 c. 462種 d. 79種 思路：本題如果用直接法考慮，則在安排的過程中還要考慮兩節(jié)連堂，并且會(huì)受到第 5,6 節(jié)- 4 - / 7 課連堂的影響，分類討論的情形較多，不易求解。如果使用間接法則更為容易。首先在無任何特殊要求下，安排的總數(shù)為39a。不符

10、合要求的情況為上午連上 3 節(jié)：34a和下午連上三節(jié)：33a，所以不同排法的總數(shù)為：333943474aaa=（種） 答案：a 例 3：2 位男生和 3 位女生共 5 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） a. 60 b. 48 c. 42 d. 36 思路：首先考慮從 3 位女生中先選中相鄰的兩位女生，從而相鄰的女生要與另一女生不相鄰，則可插空，讓男生搭架子，因?yàn)槟猩撞徽緝啥?，所以在插空的過程中需有人站在甲的邊上，再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)空中選一個(gè)空插入即可。 第一步：從三位女生中選出要相鄰的兩位女生：23c 第二步：兩位男生搭出三個(gè)空，其中甲

11、的邊上要進(jìn)入女生，另外兩個(gè)空中要選一個(gè)空進(jìn)女生，所以共有12c種選法。 第三步：排列男生甲，乙的位置：22a，排列相鄰女生和單個(gè)女生的位置：22a，排列相鄰女生相互的位置：22a 所以共有212223222248nccaaa=種 答案：b 例 4：某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲，乙等 7 名學(xué)生中選派 4 名學(xué)生發(fā)言，要求甲，乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為（ ） a. 360 b. 520 c. 600 d. 720 思路：因?yàn)檫x人的結(jié)果不同會(huì)導(dǎo)致安排順序的不同，所以考慮“先取再排”，分為“甲乙”同時(shí)選中和“甲乙只有一人選中”兩種情況討論：若甲乙同

12、時(shí)被選中，則只需再?gòu)氖Ｏ?5 人中選取 2 人即可：25c，在安排順序時(shí)，甲乙不相鄰則“插空”，所以安排的方式有：2232aa，從而第一種情況的總數(shù)為：2221532120ncaa=（種），若甲乙只有一人選中，則首先先從甲乙中選一人，有12c，再?gòu)氖Ｏ?5 人中選取三人，有35c，安排順序時(shí)則無- 5 - / 7 要求，所以第二種情況的總數(shù)為：1342254480ncca=（種），從而總計(jì) 600 種 答案：c 例 5：從單詞“equation”中選取 5 個(gè)不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相連且順序不變）的不同排列共有_種 思路：從題意上看，解決的策略要分為兩步：第一步要先取出

13、元素，因?yàn)椤皅u”必須取出，所以另外 3 個(gè)元素需從剩下的 6 個(gè)元素中取出，即36c種，然后在排列時(shí)，因?yàn)橐蟆皅u”相連，所以采用“捆綁法”，將 qu 視為一個(gè)元素與其它三個(gè)元素進(jìn)行排列：44a，因?yàn)椤皅u”順序不變，所以不需要再對(duì) qu 進(jìn)行排列。綜上，共有：3464480ca=種 答案：480 例 6：設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)茶杯和編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)杯蓋，將五個(gè)杯蓋蓋在五個(gè)茶杯上，至少有兩個(gè)杯蓋和茶杯的編號(hào)相同的蓋法有（ ） a. 30 種 b. 31 種 c. 32 種 d. 36 種 思路：本題可按照相同編號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，有兩個(gè)相同時(shí)，要先從 5 個(gè)里選出

14、哪兩個(gè)相同，有25c種選法，則剩下三個(gè)為錯(cuò)位排列，有 2 種情況，所以2152nc=，有三個(gè)相同時(shí)，同理，剩下兩個(gè)錯(cuò)位排列只有一種情況（交換位置），所以3251nc=，有四個(gè)相同時(shí)則最后一個(gè)也只能相同，所以31n =，從而235521 131scc=+ + =（種） 答案：b 例 7：某人上 10 級(jí)臺(tái)階，他一步可能跨 1 級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨 2 級(jí)臺(tái)階，稱為二階步；最多能跨 3 級(jí)臺(tái)階，稱為三階步，若他總共跨了 6 步，而且任何相鄰兩步均不同階，則此人所有可能的不同過程的種數(shù)為（ ） a. 6 b. 8 c. 10 d. 12 答案：a 思路：首先要確定在這 6 步中，一階步，二階

15、步，三階步各有幾步，分別設(shè)為, ,x y zn，則有62310 xyzxyz+=+=，解得：4320,2,4210 xxxyyyzzz=，因?yàn)橄噜弮刹讲煌A，所以符合要- 6 - / 7 求的只有321xyz=，下面開始安排順序，可以讓一階步搭架子，則二階步與三階步必須插入一階步里面的兩個(gè)空中，所以共有 2 種插法，二階步與三階步的前后安排共有 3 種（三二二，三二三，二三三），所以過程總數(shù)為236n = 答案：a 例 8：某旅行社有導(dǎo)游 9 人，其中 3 人只會(huì)英語(yǔ)，2 人只會(huì)日語(yǔ)，其余 4 人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)要從中選 6 人，其中 3 人負(fù)責(zé)英語(yǔ)導(dǎo)游，另外三人負(fù)責(zé)日語(yǔ)導(dǎo)游，則不同的選擇

16、方法有_種 思路：在步驟上可以考慮先選定英語(yǔ)導(dǎo)游，再選定日語(yǔ)導(dǎo)游。英語(yǔ)導(dǎo)游的組成可按只會(huì)英語(yǔ)的和會(huì)雙語(yǔ)的人數(shù)組成進(jìn)行分類討論，然后再在剩下的人里選出日語(yǔ)導(dǎo)游即可。第一種情況：沒有會(huì)雙語(yǔ)的人加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，則英語(yǔ)導(dǎo)游選擇數(shù)為33c，日語(yǔ)導(dǎo)游從剩下 6 個(gè)人中選擇，有36c中，從而33036ncc=，第二種情況：有一個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的人加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，從而可得()1231435nc cc=，依次類推，第三種情況。兩個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，則()2132434nccc=，第四種情況，英語(yǔ)導(dǎo)游均為會(huì)雙語(yǔ)的。則33343ncc=，綜上所述，不同的選擇方法總數(shù)為()()331232133336435434

17、43216sccc ccccccc=+=(種) 答案：216 種 例 9：如圖，用四種不同顏色給圖中, ,a b c d e f六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（ ） a. 288種 b. 264種 c. 240種 d. 168種 思路：如果用四種顏色涂六個(gè)點(diǎn)，則需要有兩對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色。所以考慮列舉出不相鄰的兩對(duì)點(diǎn)。列舉的情況如下：,a cb d，,a cb e，,a cd f，,a fb d，,a fb e，,a fc e，,b dc e，,b ed f，,c ed f共九組，所以涂色方法共有449216a= 如果用三種顏色涂

18、六個(gè)點(diǎn)，則需要有三對(duì)不相鄰的點(diǎn)涂相同的顏色，列舉情況如下： ,a cb ed f，,a fc eb d共兩組，所以涂色方法共有34248a= 綜上所述，總計(jì)264種 - 7 - / 7 答案：b 例 10：有 8 張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8，從中取出 6 張卡片排成 3 行 2 列，要求 3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為 5，則不同的排法共有（ ） a. 1344 種 b. 1248 種 c. 1056 種 d. 960 種 思路：中間行數(shù)字和為 5 只有兩種情況，即1,4和2,3，但這兩組不能同時(shí)占據(jù)兩行，若按題意思考，以1,4占中間行為例，則在安排時(shí)既要考慮另一組2,3是否同時(shí)被選中，還要考慮同時(shí)被選中時(shí)不能呆在同一行，情況比較復(fù)雜。所以考慮間接法，先求出中間和為 5 的所有情況，再減去兩行和為 5 的情形 解：先考慮中間和為 5 的所有情況： 第一步：先將中間