高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)(四十六)　空間向量及其運(yùn)算

1、1 / 5 課時(shí)作業(yè)(四十六) 空間向量及其運(yùn)算 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)組 一、單項(xiàng)選擇題 1若直線 l1，l2的方向向量分別為 a(1,2，2)，b(2，3,2)，則 l1與 l2的位置關(guān)系是( ) al1l2 bl1l2 cl1與 l2相交但不垂直 d不能確定 解析 a b2640，所以 l1l2。故選 a。 答案 a 2.(2021 河北鹿泉一中月考)如圖，在四面體 o- abc 中，oaa，obb，occ，且om2ma，bnnc，則mn( ) a.23a23b12c b.23a23b12c c23a12b12c d.12a23b12c 解析 連接 on(圖略)，因?yàn)閎nnc，所以on12(oboc)

2、，因?yàn)閛m2ma，所以om23oa，所以mnonom12(oboc)23oa23a12b12c。故選 c。 答案 c 3已知空間四邊形 abcd 的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于 a，e，f 分別是 bc，ad 的中點(diǎn)，則ae af的值為( ) a.a2 b.12a2 c.14a2 d.34a2 解析 ae af12(abac)12ad14(ab adac ad)14(a2cos 60 a2cos 60 )14a2。故選 c。 答案 c 4.如圖所示，在平行六面體 abcd- a1b1c1d1中，am12mc，a1n2nd。設(shè)aba，adb，aa1c，mnxaybzc，則 xyz( ) a.34 b

3、.14 c.23 d.13 解析 mnmaaa1a1n13acaa123a1d13(abad)aa123(adaa1)13a13bc23b23c13a13b13c，所以 x13，yz13，故 xyz13。故選 d。 答案 d 5若平面 ， 的法向量分別為 n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，則( ) a b c與 相交但不垂直 d以上均不正確 解析 因?yàn)?n1 n22(3)(3)15(4)0，所以 n1與 n2不垂直，又 n1與 n2不平行，所以 與 相交但不垂直。故選 c。 答案 c 6.如圖，在長(zhǎng)方體 abcd- a1b1c1d1中，aa1ab2，ad1，e，f，g 分別是 dc，ab

4、，cc1的中點(diǎn)，則異面直線 a1e 與 gf 所成角的余弦值是( ) 2 / 5 a0 b.33 c.55 d.155 解析 a1e gf(a1aadde) (gccbbf)aa1ad12dc12aa1ad12dc12aa12ad214dc212411440，故a1egf，故異面直線 a1e 與 gf 所成角的余弦值為 0。故選 a。 答案 a 二、多項(xiàng)選擇題 7(2021 葫蘆島期末)若 a(1，2)，b(2，1，1)，a 與 b 的夾角為 120 ，則 的值為( ) a17 b17 c1 d1 解析 因?yàn)?a(1，2)，b(2，1,1)，a 與 b 的夾角為 120 ，所以 cos 120

5、 a b|a|b|2252 6，解得 1 或 17。故選 ac。 答案 ac 8已知向量 a(1,2,3)，b(3,0，1)，c(1,5，3)，下列等式中正確的是( ) a(a b)cb c b(ab) ca (bc) c(abc)2a2b2c2 d|abc|abc| 解析 a 項(xiàng)，左邊為向量，右邊為實(shí)數(shù)，顯然不相等，錯(cuò)誤。b 項(xiàng)，左邊(4,2,2) (1,5，3)0，右邊(1,2,3) (2,5，4)210120，所以左邊右邊，因此正確。c 項(xiàng)，abc(3,7，1)，左邊3272(1)259，右邊122232320(1)2(1)252(3)259，所以左邊右邊，因此正確。d 項(xiàng)，由 c 可得

6、|abc| 59，因?yàn)?abc(1，3，7)，所以|abc| 59，所以左邊右邊，因此正確。故選 bcd。 答案 bcd 三、填空題 9已知向量 a(2,0,1)，b(1,2，x)，若 ab，則 x_；若 2ab(3,2,5)，則|ab|_。 解析 若 ab，則 a b2x0，解得 x2。若 2ab(3,2,2x)(3,2,5)，則 2x5，解得x3，則 b(1,2,3)，所以 ab(1,2,4)，于是|ab| (1)22242 21。 答案 2 21 10已知在長(zhǎng)方體 abcd- a1b1c1d1中，dadd11，dc 2，e 是 b1c1的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 dxyz 如圖所示，則|

7、ae|_。 解析 在長(zhǎng)方體 abcd- a1b1c1d1中，dadd11，dc 2，e 是 b1c1的中點(diǎn)，則 a(1，0,0)，e12， 2，1 ，所以ae12， 2，1 ，所以|ae|122( 2)212132。 答案 132 11已知平面 內(nèi)的三點(diǎn) a(0,0,1)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，平面 的一個(gè)法向量 n(1，1，1)，則不重合的兩個(gè)平面 與 的位置關(guān)系是_。 解析 由已知得，ab(0,1，1)，ac(1,0，1)，設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 m(x，y，z)，則 m ab0，m ac0，得 yz0，xz0。得 xz，yz，令 z1，得 m(1,1,1)。又 n(1，1，

8、1)，所以 mn，即 mn，所以 。 答案 平行 四、解答題 12.如圖所示，已知空間四邊形 abcd 的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于 1，e，f，g 分別是 ab，ad，cd 的中點(diǎn)。計(jì)算： 3 / 5 (1)ef dc； (2)eg 的長(zhǎng)； (3)異面直線 ag 與 ce 所成角的余弦值。 解 設(shè)aba，acb，adc， 則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60 ， (1)ef12bd12c12a， dcbc。 ef dc12c12a (bc)14。 (2)egebbccg12ab(acab)12(adac)12aba12c12b12a12b12c， 所以|eg|214a214b214c212

9、a b12b c12c a12， 則|eg|22。故 eg 的長(zhǎng)為22。 (3)ag12b12c，cecaaeb12a， 所以 cosag，ceag ce|ag|ce|23。 因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍是0，2， 所以異面直線 ag 與 ce 所成角的余弦值為23。 13.如圖，在底面是矩形的四棱錐 p- abcd中，pa底面 abcd，e，f 分別是 pc，pd 的中點(diǎn)，paab1，bc2。求證： (1)ef平面 pab； (2)平面 pad平面 pdc。 證明 以 a 為原點(diǎn)，ab 所在直線為 x 軸，ad 所在直線為 y軸，ap所在直線為 z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 axyz，則

10、a(0,0,0)，b(1，0,0)，c(1,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1)， 所以 e12，1，12，f0，1，12，ef12，0，0 ，pb(1,0，1)，pd(0,2，1)，ap(0,0,1)，ad(0,2,0)，dc(1,0,0)，ab(1,0,0)。 (1)因?yàn)閑f12ab，所以efab，即 efab。 又 ab平面 pab，ef平面 pab， 所以 ef平面 pab。 (2)設(shè)平面 pdc 的一個(gè)法向量為 n(x，y，z)， 則 n pd0，n dc0，即 2yz0，x0， 令 y1，則 n(0,1,2)。 易知平面 pad 的一個(gè)法向量為ab(1,0,0)， 因?yàn)?n

11、 ab0，所以平面 pad平面 pdc。 素養(yǎng)提升組 14如圖所示，已知四棱錐 p- abcd 的底面是直角梯形，abcbcd90 ，abbcpbpc2cd，側(cè)面 pbc底面 abcd。證明： 4 / 5 (1)pabd； (2)平面 pad平面 pab。 證明 (1)取 bc 的中點(diǎn) o，連接 po，由pbc 為等邊三角形，得 pobc， 因?yàn)槠矫?pbc底面 abcd，bc 為交線， po平面 pbc，所以 po底面 abcd。 以 bc 的中點(diǎn) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 bc 所在直線為 x 軸，過(guò)點(diǎn) o 與 ab平行的直線為 y 軸，op 所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示。 不妨

12、設(shè) cd1，則 abbc2， po 3。 所以 a(1，2,0)，b(1,0,0)，d(1，1,0)，p(0,0， 3)。 所以bd(2，1,0)，pa(1，2， 3)。 因?yàn)閎d pa(2)1(1)(2)0( 3)0， 所以pabd，所以 pabd。 (2)取 pa 的中點(diǎn) m，連接 dm，則 m12，1，32。 因?yàn)閐m32，0，32，pb(1,0， 3)， 所以dm pb3210032( 3)0， 所以dmpb，即 dmpb。 因?yàn)閐m pa3210(2)32( 3)0， 所以dmpa，即 dmpa。 又因?yàn)?papbp，pa，pb平面 pab， 所以 dm平面 pab。 因?yàn)?dm平面

13、 pad， 所以平面 pad平面 pab。 15.如圖，在四棱錐 s- abcd 中，底面 abcd 為矩形。sa平面 abcd，e，f 分別為 ad，sc 的中點(diǎn)，ef 與平面 abcd所成的角為 45 。 (1)證明：ef 為異面直線 ad 與 sc 的公垂線； (2)若 ef12bc，求二面角 b- sc- d 的余弦值。 解 (1)證明：以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab的方向?yàn)?x 軸正方向，|ab|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 axyz。 設(shè) d(0，b,0)，s(0,0，c)， 則 c(1，b,0)，e0，b2，0 ，f12，b2，c2， ef12，0，c2，as(0,0，c)，ad(0，b,0)。 因?yàn)?ef 與平面 abcd 所成的角為 45 ， 所以ef與平面 abcd的法向量as的夾角為 45 。 as ef|as|ef|cos 45 ， 5 / 5 即c2222c 14c24，解得 c1， 故ef12，0，12，sc(1，b，1)， 從而ef sc0，ef ad0， 所以 efsc，efad。 因此 ef 為異面直線 ad 與 sc 的公垂線。 (2)由 b(1,0,0)，bc(0，b,0)， |ef|12|bc|，得 b 2。 于是 f12，22，12