高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六 第9講拋物線的焦點(diǎn)弦問題

1、 第第 9 講講 拋物線的焦點(diǎn)弦問題拋物線的焦點(diǎn)弦問題 直線與拋物線相交的問題，若直線過拋物線的焦點(diǎn)，可使用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)，利用焦點(diǎn)弦的特殊結(jié)論求解題目 例 1 (1)(2020 石家莊模擬)已知 f 是拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)，過 f 的直線與拋物線交于a，b 兩點(diǎn)，ab 的中點(diǎn)為 c，過 c 作拋物線準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于 c，若 cc的中點(diǎn)為m(1,4)，則 p等于( ) a4 b8 c4 2 d8 2 答案 b 解析 如圖，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， m(1,4)，y1y28， 又 c2p2，4 ，fp2，0 ， kab2， 直線 ab：y2xp2， 代入 y22

2、px， 得 y2pyp20， y1y2p8. (2)過拋物線 y24x 的焦點(diǎn) f 的直線 l 與拋物線交于 a，b 兩點(diǎn)，若|af|2|bf|，則|ab|等于( ) a4 b.92 c5 d6 答案 b 解析 不妨設(shè)點(diǎn) a 在 x 軸的上方，如圖，設(shè) a，b 在準(zhǔn)線上的射影分別為 d，c，作bead于點(diǎn) e， 設(shè)|bf|m，直線 l的傾斜角為 ， 則|af|2m，|ab|3m， 由拋物線的定義知 |ad|af|2m，|bc|bf|m， 所以 cos |ae|ab|13，所以 tan 2 2. 則 sin28cos2，所以 sin289. 由 y24x，知 2p4，故利用弦長(zhǎng)公式得|ab|2p

3、sin292. 例 2 已知拋物線 c：y28x，p 為 c 上位于第一象限的任一點(diǎn)，直線 l 與 c 相切于點(diǎn) p，連接 pf并延長(zhǎng)交 c于點(diǎn) m，過 p 點(diǎn)作 l的垂線交 c于另一點(diǎn) n，求pmn的面積 s的最小值 解 由題意知 f(2,0)，設(shè) p(x0，y0)(y00)，my218，y1， ny228，y2，切線 l的方程為 xx0t(yy0)， 則fmy2182，y1，fpy2082，y0， 由 m，f，p三點(diǎn)共線，可知fmfp， 即y2182 y0y2082 y10， 因?yàn)?y0y1，所以化簡(jiǎn)可得 y0y116. 由 xx0t(yy0)，y28x，可得 y28ty8ty08x00，

4、 因?yàn)橹本€ l與拋物線相切，故 64t232ty04y200，故 ty04. 所以直線 pn 的方程為 yy0y04(xx0)， 即 y0 x4y4y0y3080， 所以點(diǎn) m到直線 pn的距離為 dy21y084y14y0y308y2016， 將 y116y0代入可得 d32y04y0y308y2016(y2016)28|y0| y2016， 聯(lián)立 y0 x4y4y0y3080，y28x，消去 x 可得， y0y232yy3032y00， 所以 y0y232y0，y232y0y0， |pn|116y20|y0y2|116y202y032y02(y2016) y2016y20， 故 s12d|

5、pn| 12(y2016)28|y0| y20162(y2016) y2016y20 18y2016y0318y016y03 182y016y0364， 當(dāng)且僅當(dāng) y04時(shí)，“”成立， 此時(shí)，pmn 的面積 s 取得最小值，為 64. 設(shè) ab是拋物線 y22px(p0)的一條焦點(diǎn)弦，焦點(diǎn)為 f，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 (1)x1x2p24，y1y2p2. (2)1|af|1|bf|2p. (3)|ab|2psin2( 為弦 ab所在直線的傾斜角) 1設(shè) f 為拋物線 c：y23x 的焦點(diǎn)，過 f 且傾斜角為 30 的直線交 c 于 a，b 兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oab 的面

6、積為( ) a.3 34 b.9 38 c.6332 d.94 答案 d 解析 由已知得焦點(diǎn)為 f34，0 ，因此直線 ab的方程為 y33x34，即 4x4 3y30. 方法一 聯(lián)立直線方程與拋物線方程， 化簡(jiǎn)得 4y212 3y90， 故|yayb| (yayb)24yayb6. 因此 soab12|of|yayb|1234694. 方法二 聯(lián)立直線方程與拋物線方程得 x2212x9160，故 xaxb212. 根據(jù)拋物線的定義有|ab|xaxbp2123212， 同時(shí)原點(diǎn)到直線 ab的距離為 d|3|42(4 3)238， 因此 soab12|ab| d94. 2過拋物線 y22px(p

7、0)的焦點(diǎn) f 且傾斜角為 120 的直線 l 與拋物線在第一、四象限分別交于 a，b兩點(diǎn)，則|af|bf|的值等于( ) a.13 b.23 c.34 d.43 答案 a 解析 記拋物線 y22px的準(zhǔn)線為 l，如圖，作 aa1l，bb1l，acbb1，垂足分別是 a1，b1，c，則 cosabb1|bc|ab|bb1|aa1|af|bf| |bf|af|af|bf|， 即 cos 60 |bf|af|af|bf|12， 得|af|bf|13. 3已知拋物線 c：y28x 的焦點(diǎn)為 f，點(diǎn) m(2,2)，過點(diǎn) f 且斜率為 k 的直線與 c 交于a，b 兩點(diǎn)，若amb90 ，則 k 等于(

8、) a. 2 b.22 c.12 d2 答案 d 解析 拋物線 c：y28x的焦點(diǎn)為 f(2,0)， 由題意可知直線 ab的斜率一定存在， 所以設(shè)直線方程為 yk(x2)(k0)， 代入拋物線方程可得 k2x2(4k28)x4k20， 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， 則 x1x248k2，x1x24， 所以 y1y28k，y1y216， 因?yàn)閍mb90 ，所以 ma mb(x12，y12) (x22，y22)16k216k40， 解得 k2，故選 d. 4.如圖，已知點(diǎn) f(1,0)為拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)，過點(diǎn) f 的直線交拋物線于 a，b兩點(diǎn)，點(diǎn) c 在拋物線上，使得a

9、bc 的重心 g 在 x 軸上，直線 ac 交 x 軸于點(diǎn) q，且 q 在點(diǎn) f 右側(cè)，記afg，cqg 的面積為 s1，s2. (1)求 p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程； (2)求s1s2的最小值及此時(shí)點(diǎn) g的坐標(biāo) 解 (1)由題意可得p21，則 p2,2p4， 拋物線方程為 y24x，準(zhǔn)線方程為 x1. (2)設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， 直線 ab 的方程為 yk(x1)，k0， 與拋物線方程 y24x聯(lián)立可得， k2x2(2k24)xk20， 故 x1x224k2，x1x21， y1y2k(x1x22)4k， y1y2 4x1 4x24， 設(shè) c(x3，y3)，由重心坐標(biāo)公式可得

10、， xgx1x2x331324k2x3， ygy1y2y33134ky3， 令 yg0 可得，y34k，則 x3y2344k2， 即 xg1324k24k21328k2， 由斜率公式可得，kacy1y3x1x3y1y3y214y2344y1y3， 直線 ac 的方程為 yy34y1y3(xx3)， 令 y0，可得 xqx3y3(y1y3)4y234y3(y1y3)4y1y34， 故 s112(xgxf)y1121328k21 y1y1283k213， 且 s212(xqxg)(y3) y32y1y341328k2， 由 y34k，代入上式可得 s22ky1k2383k2， 由 y1y24k，y1y24 可得 y14y14k，則 k4y1y214， 則s1s2