高考地理二輪總復(fù)習(xí) 微專(zhuān)題1 地理位置課件 (241)

1、9.4 橢圓及其性質(zhì)高考理數(shù)高考理數(shù)考點(diǎn)一橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.橢圓定義中的常數(shù)2a|F1F2|,即對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)M都有|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|.這個(gè)條件是必要的,否則其軌跡就不是橢圓.事實(shí)上,若2a=|F1F2|,其軌跡是線(xiàn)段F1F2;若2a0時(shí),直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),則可結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系代入弦長(zhǎng)公式|MN|=求得弦MN的長(zhǎng)度.(2)當(dāng)=0時(shí),直線(xiàn)與橢圓相切,=0是直線(xiàn)與橢圓相切的充要條件.(3)當(dāng)0時(shí),直線(xiàn)與

2、橢圓相離,b0)的關(guān)系(1)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)+1.2.如圖,過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦|AB|=,稱(chēng)為通徑.22xa22yb202xa202yb202xa202yb202xa202yb22ba3.如圖,P為橢圓上的點(diǎn),F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),且F1PF2=,則F1PF2的面積為b2tan.24.橢圓+=1(ab0)與+=k(k0)有相同的離心率.5.設(shè)A,B分別為橢圓+=1(ab0)的左、右頂點(diǎn),P為橢圓上不同于A,B的任意一點(diǎn),則kPAkPB=-.22xa22yb22xa22yb22xa22yb22ba1.利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是

3、在x軸上,還是在y軸上,還是兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能;(2)設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)方程:+=1(ab0),+=1(ab0)或mx2+ny2=1(m0,n0,mn);(3)找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a,b,c或m,n的方程組;(4)得方程:解方程組,將解代入所設(shè)方程,即為所求.注意:用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí),要“先定型,再定量”,不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí),可進(jìn)行分類(lèi)討論或把橢圓的方程設(shè)為mx2+ny2=1(m0,n0,mn).22xa22yb22xb22ya求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法方法1方法技巧2.利用定義及性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何意義,寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)

4、建立關(guān)于a,b,c,e的方程或方程組,進(jìn)而求得方程.注意:(1)如果橢圓焦點(diǎn)位置不能確定,可設(shè)方程為Ax2+By2=1(A0,B0,AB)或+=1(m2n2).(2)與橢圓+=1共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為+=1(k-m2,k-n2).(3)與橢圓+=1(ab0)有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為+=k1(k10,焦點(diǎn)在x軸上)或+=k2(k20,焦點(diǎn)在y軸上).22xm22yn22xm22yn22xmk22ynk22xa22yb22xa22yb22ya22xb例1(2017廣東惠州三調(diào),20)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)、F2(1,0),點(diǎn)A在橢圓C上.(1)求橢圓C的

5、標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是否存在斜率為2的直線(xiàn),使得當(dāng)直線(xiàn)與橢圓C有兩個(gè)不同交點(diǎn)M,N時(shí),能在直線(xiàn)y=上找到一點(diǎn)P,在橢圓C上找到一點(diǎn)Q,滿(mǎn)足=?若存在,求出直線(xiàn)的方程;若不存在,說(shuō)明理由.22xa22yb21,253PMNQ解題導(dǎo)引解析(1)由題意知c=1,因?yàn)锳在橢圓C上,所以2a=|AF1|+|AF2|=2,(2分)所以a2=2,所以b2=a2-c2=1,故橢圓C的方程為+y2=1.(5分)(2)不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn),證明如下:假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn),設(shè)直線(xiàn)的方程為y=2x+t,M(x1,y1),N(x2,y2),P,Q(x4,y4),MN的中點(diǎn)為D(x0,y0),由消去x,得9y2-2ty+t

6、2-8=0,(6分)所以y1+y2=,且=4t2-36(t2-8)0,21,2222x35,3x222,12yxtxy29t故y0=,且-3t3.(8分)由=得=(x4-x2,y4-y2),(9分)所以有y1-=y4-y2,y4=y1+y2-=t-.(10分)也可由=知四邊形PMQN為平行四邊形,又D為線(xiàn)段MN的中點(diǎn),因此,D也為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn),所以y0=,可得y4=又-3t3,所以-y4b0)的左、右焦點(diǎn),若橢圓C上存在點(diǎn)P使F1PF2為鈍角,則橢圓C的離心率的取值范圍是(A)A.B.C.D.2,121,1220,210,222xa22yb解析設(shè)P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,

7、0),由題易知|x0|a,因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)P,使F1PF2為鈍角,所以+有解,即c2(+)min,又=b2-,b2+c2=a2,b2,所以e2=,又0e1,所以e1,故橢圓C的離心率的取值范圍是,故選A.1PF2PF20 x20y20 x20y20y22ba20 x20 x20 x20y22ca20 x20 x20y22ca12222,12解題關(guān)鍵本題考查了平面向量的數(shù)量積在解題中的應(yīng)用,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想,解答此題的關(guān)鍵在于把存在點(diǎn)P使F1PF2為鈍角轉(zhuǎn)化為與的數(shù)量積小于0有解.1PF2PF一題多解如圖,橢圓上存在點(diǎn)P使F1PF2為鈍角以原點(diǎn)O為圓心,c為半徑的圓與橢圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)bc,由b

8、c,得a2-c2c2,即a22c2,即e2,又0e1,e0,則直線(xiàn)與橢圓相交;若=0,則直線(xiàn)與橢圓相切;若b0)上兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為P(x0,y0),則x0=,y0=,可通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決弦中點(diǎn)問(wèn)題,這其中的解題方法就是常說(shuō)的“設(shè)而不求,整體代入”;也可以由用-將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系來(lái)解決(稱(chēng)為點(diǎn)差法).4.在直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題中,常涉及變量的求值和最值(范圍)問(wèn)題,通常要用方程和函數(shù)的思想方法,而恰當(dāng)?shù)剡x擇函數(shù)的自變量至關(guān)重要.22xa22yb122xx122yy2211222222221,1,xyabxyab例3(2016四川,20,13分)已知橢圓E:+=1(ab

9、0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線(xiàn)l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)l平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線(xiàn)l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù),使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.22xa22yb解題導(dǎo)引解析(1)由已知,a=b,則橢圓E的方程為+=1.由方程組得3x2-12x+(18-2b2)=0.方程的判別式為=24(b2-3),由=0,得b2=3,此時(shí)方程的解為x=2,所以橢圓E的方程為+=1.點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1).(2)由已知可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x+m(m0),2222xb22yb22221,23,xybbyx 26x23y12由方程組可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為,|PT|2=m2.設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).由方程組可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判別式為=16(9-2m2),由0,解得-m.1,23,yxmyx 22,321.3mxmy 222,133mm89221,631,2xyyxm3 223 22由得x1+x2=-,x1x2=.所以|PA|=,同理|PB|=.所以|PA|PB|=m2.故存在常數(shù)=,使得|PT|2=|PA|PB|.43m24123m 221122