基于Linex損失函數(shù)的正態(tài)分布模型的研究

1、    基于linex損失函數(shù)的正態(tài)分布模型的研究    謝小義曹虹李堅樊小琳【摘 要】本文討論了基于linex損失函數(shù)的正態(tài)分布模型位置參數(shù)的多層貝葉斯估計以及其先驗分布的比較問題。在位置參數(shù)取共軛先驗分布以及超參數(shù)選用無信息先驗分布的情形下，推導(dǎo)出正態(tài)模型位置參數(shù)的多層貝葉斯估計表達(dá)式；對于單層貝葉斯估計而言，通過比較發(fā)現(xiàn)正態(tài)模型的位置參數(shù)的無信息先驗分布要優(yōu)于共軛先驗分布?！娟P(guān)鍵詞】linex損失函數(shù)；正態(tài)模型；多層貝葉斯估計；后驗期望損失決策貝葉斯（bayes）學(xué)派是統(tǒng)計學(xué)的兩大學(xué)派之一，其和經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)派的差異主要在于它們認(rèn)為在統(tǒng)計推斷中不應(yīng)將總

2、體參數(shù)看作一個常數(shù)，而應(yīng)看作一個隨機變量。對于總體分布參數(shù)的統(tǒng)計推斷，除了要使用樣本所提供的信息外，還必須規(guī)定一個先驗分布，即應(yīng)用貝葉斯方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷時要先給出參數(shù)的先驗分布，基于貝葉斯定理推導(dǎo)出后驗分布，再利用獲得的后驗分布進(jìn)行統(tǒng)計推斷?；凇敖y(tǒng)計推斷需考慮先驗信息”這一思想的貝葉斯估計問題也變成為了貝葉斯學(xué)中的熱點研究問題。正態(tài)分布是概率統(tǒng)計里面最重要的分布之一，在生活中就存在許多服從正態(tài)分布的數(shù)據(jù)。根據(jù)大數(shù)定理和中心極限定理，當(dāng)研究對象的數(shù)據(jù)足夠多時，其分布服從正態(tài)分布，可見正態(tài)分布的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛。但以往對正態(tài)模型的研究多數(shù)集中在平方損失函數(shù)下，而在平方損失函數(shù)下往往不能有效地分辨

3、過高估計結(jié)果和過低估計結(jié)果。相反，linex損失函數(shù)是一種非對稱損失函數(shù)，在估計過程中可以避免這一缺陷的出現(xiàn)，這一性質(zhì)致使linex損失函數(shù)常被用于壽險檢驗和可靠性分析的問題研究中，也是它常被用來預(yù)測股票價格的原因之一。linex損失函數(shù)的基本形式如下：l（，）=bea （-）-a（-）-1 a0，b>0這里的a、b分別是linex損失函數(shù)的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。相比于對稱損失函數(shù)（如平方損失函數(shù)），linex損失函數(shù)有如下優(yōu)點：（1）當(dāng)a>0時，若->0，則函數(shù)值呈指數(shù)增長；若-<0，則函數(shù)值呈線性增長。a<0時函數(shù)增長形式正好相反。（2）當(dāng)絕對值-很小時，該函數(shù)

4、幾乎是對稱的，且接近平方損失函數(shù)。本文僅討論尺度參數(shù)a>0的情形，對于a<0的情形可做類似的討論。為研究方便，設(shè)定隨機變量x服從均值為，方差為1的正態(tài)分布，即xn（，1）。則隨機變量x的概率密度函數(shù)為p（x）=exp（x-）2/2）/。另外，記x1，x2，xn為隨機變量x的n個獨立的樣本觀測值，表示樣本均值。引理1：在linex損失函數(shù)下，對于任何先驗分布，參數(shù)的貝葉斯估計的表達(dá)式為：b=-ln e（e-ax）對于貝葉斯估計問題，由上述可知應(yīng)用貝葉斯方法進(jìn)行統(tǒng)計推斷的關(guān)鍵和核心在于選擇合適的先驗分布。只有確定了先驗分布，才能對模型進(jìn)行討論。對于模型參數(shù)的先驗分布的選取存在很多研究，

5、概括起來有應(yīng)用無信息先驗分布、共軛先驗分布、jeffreys準(zhǔn)則、不變測度、最大熵方法、專家經(jīng)驗法、自助法和多層先驗分步法等方法，其中最常用和方便的是共軛先驗分布和無信息先驗分布。對于多層先驗分布法，也是采用以上幾種方法對每層先驗分布進(jìn)行選擇?？紤]到當(dāng)正態(tài)模型的方差固定時，總體的均值的共軛先驗分布仍為正態(tài)分布。結(jié)合多層貝葉斯估計理論，本文對于正態(tài)總體的位置參數(shù)的先驗分布（第一層先驗分布）采用其共軛先驗分布的形式，記作n（1，2 1），其中1和2 1未知。由于1和2 1未知，即使得到位置參數(shù)的后驗分布也無法對位置參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計推斷。若此時再將1和2 1看作隨機變量，則它們稱為超參數(shù)。根據(jù)多層貝葉斯

6、估計理論可知，對于超參數(shù)1和2 1，把它們視作相互獨立的隨機變量，也對它們設(shè)定先驗分布（第二層先驗分布），即為估計位置參數(shù)而再次設(shè)定先驗分布。根據(jù)已有的研究可知，對于第二層先驗分布而言，即使它們的先驗分布決定錯了，最終導(dǎo)致錯誤結(jié)果的危險性也不會太大，故選用1和2 1的無信息先驗分布作為整個估計過程中的第二層先驗分布是可行的。另外，在實際生活和工作當(dāng)中，人們經(jīng)常需要做決策。做決策需要信息，信息越充分和準(zhǔn)確，決策的效果就會越好。決策的目的往往是收益最大化或損失最小化，基于linex損失函數(shù)的貝葉斯決策問題，普遍是以后驗期望損失最小化為最終目的。根據(jù)貝葉斯公式，不同形式的先驗分布會產(chǎn)生不同形式的后驗

7、分布，從而會出現(xiàn)不同的后驗期望損失值，故此時做決策的關(guān)鍵也在于選取合適的先驗分布，這便是后驗期望損失決策準(zhǔn)則的原理，即當(dāng)后驗貝葉斯行為a的后驗期望損失要比另一個后驗貝葉斯行為b的后驗期望損失小時，則行為a要優(yōu)于行為b。根據(jù)這一決策準(zhǔn)則，在具體的損失函數(shù)下，便能對正態(tài)分布的位置參數(shù)的后驗期望損失進(jìn)行計算和比較，從而選出損失最小相對應(yīng)的先驗分布作為最優(yōu)的先驗分布。定理2：對于單層貝葉斯估計問題，若a>0，則基于linex損失函數(shù)的正態(tài)分布n（，1）的位置參數(shù)的無信息先驗分布要優(yōu)于共軛先驗分布。證明：根據(jù)貝葉斯學(xué)中無信息先驗分布的設(shè)定可知，無信息先驗分布最基本的設(shè)定形式是無信息jeffreys

8、先驗，即p（）=c，-<c< p> （1） b =-ln e（e-a x）=-lne=-。若取參數(shù)的共軛先驗分布n（1，2 1），則根據(jù)峁詩松關(guān)于貝葉斯估計的理論可知，參數(shù)的后驗分布為n（3，2 3），其中3=，2 3=。根據(jù)引理1，有： （2） b =-ln e（e-a x）=-lne=-+。因為n為樣本數(shù)，有n>0。當(dāng)a>0時，易知 （2） b > （1） b 。根據(jù)后驗貝葉斯損失決策準(zhǔn)則， （1） b 選用的先驗分布要優(yōu)于 （2） b 選用的先驗分布。故基于linex損失函數(shù)的正態(tài)分布n（，1）的位置參數(shù)的無信息先驗分布要優(yōu)于共軛先驗分布?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】

9、1尤游，周玲.linex損失下雙指數(shù)分布位置參數(shù)的經(jīng)驗bayes估計j.應(yīng)用概率統(tǒng)計，2015（3）.2嚴(yán)惠云，師義民.linex損失下股票投資的貝葉斯預(yù)測j.西南民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006（9）.3史建紅，關(guān)麗娜.非對稱損失函數(shù)下burr xii型分布可靠性指標(biāo)的bayes估計j.數(shù)學(xué)雜志，2012（1）.4韓明.多層先驗分布的構(gòu)造及其應(yīng)用j.運籌與管理，1997（34）.5李勇，易文德.貝葉斯分析中先驗分布優(yōu)選的方法j.渝西學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2005（12）.6峁詩松.貝葉斯統(tǒng)計m.北京：中國統(tǒng)計出版社，1999.7韓明.多層先驗分布的構(gòu)造及其應(yīng)用j.運籌與管理，1997（3）.責(zé)任編輯：王