2018學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版選修1-1優(yōu)化復(fù)習(xí)：2.32.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、課時(shí)作業(yè) a 組基礎(chǔ)鞏固 1已知拋物線的對(duì)稱軸為x 軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x4y110 上，則此拋物線的方程是() ay2 11xby211xcy2 22xdy222x解析： 在方程 2x 4y110 中，令 y0 得 x112，拋物線的焦點(diǎn)為f 112，0 ，即p2112， p11，拋物線的方程是y2 22x，故選 c. 答案： c 2已知直線ykx k 及拋物線y22px(p0)，則 () a直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)b直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)c直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)d直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)解析： 直線 ykxkk(x1)，直線過點(diǎn) (1,0)又點(diǎn) (1,0)在拋物線y2

2、2px 的內(nèi)部當(dāng) k0 時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng) k0 時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)答案： c 3 過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于a(x1， y1)， b(x2， y2)兩點(diǎn)，則 koa kob的值為 () a4 b 4 cp2d p2解析：koa koby1x1y2x2y1y2x1x2，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)x1x2p24， y1y2 p2，故 koa kobp2p24 4. 答案： b 4已知直線l：yk(x 2)(k0)與拋物線c：y28x 交于 a， b 兩點(diǎn)， f 為拋物線c 的焦點(diǎn)，若 |af|2|bf|，則 k 的值是 () a.13b.2 23c22 d.

3、24解析： 根據(jù)題意畫圖，如圖所示，直線m 為拋物線的準(zhǔn)線，過點(diǎn)a作 aa1m，過點(diǎn) b 作 bb1m，垂足分別為a1，b1，過點(diǎn) b 作 bdaa1于點(diǎn)d ， 設(shè)|af|2|bf|2r，則 |aa1|2|bb1|2|a1d| 2r，所以 |ab|3r， |ad|r，則 |bd|2 2r. 所以 ktan bad|bd|ad|2 2.選 c. 答案： c 5已知 f 為拋物線 y2x 的焦點(diǎn)，點(diǎn)a，b 在該拋物線上且位于x 軸的兩側(cè)， oa ob2(其中 o 為坐標(biāo)原點(diǎn) )，則 abo 與 afo 面積之和的最小值是() a2 b3 c.1728d.10 解析： 設(shè)直線 ab 的方程為x ny

4、m(如圖 )，a(x1，y1)，b(x2，y2)， oa ob2，x1x2y1y22. 又 y21x1，y22x2， y1y2 2. 聯(lián)立y2x，x nym，得 y2nym0，y1y2 m 2，m2，即點(diǎn) m(2,0)又 sabosamosbmo12|om|y1|12|om|y2| y1 y2，safo12|of| |y1|18y1，sabosafoy1y218y198y12y1298y12y13，當(dāng)且僅當(dāng)y143時(shí)，等號(hào)成立答案： b 6直線 yx1 被拋物線y2 4x 截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_解析： 將 y x1 代入 y24x，整理， 得 x26x10.由根與系數(shù)的關(guān)系，得 x1x26，

5、x1 x22 3，y1y22x1x2 226222. 所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,2)答案： (3,2) 7過拋物線y24x 的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，若 |ab|7，則 ab 的中點(diǎn)m到拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析：拋物線的焦點(diǎn)為f(1,0) ，準(zhǔn)線方程為x 1.由拋物線的定義知|ab|af|bf|x1p2x2p2x1x2p，即 x1x227，得 x1 x2 5，于是弦ab 的中點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為52.因此，點(diǎn) m 到拋物線準(zhǔn)線的距離為52172. 答案：728已知點(diǎn) a(2,3)在拋物線 c：y22px 的準(zhǔn)線上， 過點(diǎn) a 的直線與c 在第一象限相切于點(diǎn)b，記 c的

6、焦點(diǎn)為f，則直線bf 的斜率為 _解析： 拋物線 y22px 的準(zhǔn)線為直線xp2，而點(diǎn) a(2,3)在準(zhǔn)線上，所以p2 2，即 p4，從而 c： y2 8x，焦點(diǎn)為f(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入 y28x 得k8y2y2k30(k0)，由于 14k8(2k 3) 0，所以 k 2 或 k12. 因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以k12. 將 k12代入中，得y8，再代入y28x 中得 x8，所以點(diǎn) b 的坐標(biāo)為 (8,8)，所以直線bf 的斜率為8643. 答案：439已知拋物線y26x，過點(diǎn) p(4,1)引一弦，使它恰在點(diǎn)p 被平分，求這條弦所在的直線方程解析： 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為p1(x

7、1， y1)，p2(x2，y2)p1，p2在拋物線上，y216x1，y226x2.兩式相減得(y1 y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入得ky2y1x2x13. 直線的方程為y13(x4)，即 3xy 110. 10已知拋物線y2 4x 截直線 y2xm 所得弦長(zhǎng)ab3 5，(1)求 m 的值；(2)設(shè) p 是 x 軸上的一點(diǎn)，且abp 的面積為9，求 p 點(diǎn)的坐標(biāo)解析： (1)由y2 4x，y2xm，? 4x24(m1)x m20，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x21m，x1 x2m24，|ab|1k2 x1x224x1x21221m24m245 12m . 由|ab|35，即5 12m

8、 3 5? m 4. (2)設(shè) p(a,0)，p 到直線 ab 的距離為d，則 d|2a04|22 122|a2|5，又 sabp12|ab| d，則 d2 sabp|ab|，2|a2|52935? |a2|3? a5 或 a 1，故點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 (5,0)或(1,0)b 組能力提升 1若拋物線y2x 上一點(diǎn) p 到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)p 的坐標(biāo)為 () a.14， 24b.18，24c.14，24d.18，24解析： 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為f，因?yàn)辄c(diǎn)p 到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，所以點(diǎn)p 為線段 of 的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，易求點(diǎn)p 的坐標(biāo)為18， 24. 答案： b

9、 2設(shè)拋物線c：y2 2px(p0)的焦點(diǎn)為f，點(diǎn) m 在 c 上， |mf |5.若以 mf 為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，則c 的方程為 () ay24x 或 y28xby22x 或 y28xcy24x 或 y216xdy22x或 y216x解析： 由已知得拋物線的焦點(diǎn)fp2，0 ，設(shè)點(diǎn) a(0,2)，拋物線上點(diǎn)m(x0，y0)，則 afp2， 2 ，amy202p，y02 .由已知得， af am 0，即y20 8y0160，因而y04，m8p，4 .由|mf | 5 得，8pp22 165，又 p0，解得 p2 或 p8，故選 c. 答案： c 3已知拋物線y24x，過點(diǎn) p(4,0)的直

10、線與拋物線相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)兩點(diǎn)，則y21 y22的最小值是 _解析： 設(shè) ab 的方程為xmy4，代入 y24x 得 y24my160，則 y1y2 4m，y1y2 16，y21y22(y1y2)22y1y216m232 當(dāng) m 0時(shí)， y21y22最小值為32. 答案： 32 4如圖，拋物線c1：y22px 和圓 c2：(xp2)2y2p24，其中 p0，直線l 經(jīng) 過c1的焦點(diǎn)， 依次交 c1，c2于 a，b，c，d 四點(diǎn)， 則ab cd的值為 _解析： 易知 ab cd|ab| |cd |，圓 c2的圓心即為拋物線c1的焦點(diǎn) f.當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，l 的

11、方程為xp2，所以 a(p2，p)， b(p2，p2)， c(p2，p2)，d(p2， p)，|ab|cd|p2，所以 ab cdp2p2p24；當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)， 設(shè) a(x1，y1)，d(x2，y2)，則|ab|fa|fb|x1p2p2x1，同理 |cd|x2，設(shè) l 的方程為yk(xp2)，由yk xp2y22px，可得 k2x2(pk22p)xk2p24 0，則ab cd|ab| |cd |x1 x2p24.綜上， ab cdp24. 答案：p245.如圖，過拋物線y2x 上一點(diǎn) a(4,2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線ab，ac 交拋物線于b，c 兩點(diǎn)，求證：直線bc 的斜率是定值

12、證明： 設(shè) kab k(k0)，直線 ab，ac 的傾斜角互補(bǔ)，kac k(k0)，ab 的方程是yk(x4)2. 聯(lián)立方程組yk x 4 2，y2x，消去 y 后，整理得k2x2( 8k24k 1)x16k216k40. a(4,2)，b(xb， yb)是上述方程組的解4 xb16k2 16k4k2，即 xb4k24k 1k2，以 k 代換 xb中的 k，得 xc4k24k1k2，kbcybycxbxck xb4 2k xc4 2xbxck xbxc 8xbxck8k22k288kk214. 所以直線bc 的斜率為定值6已知一條曲線c 在 y 軸右邊， c 上每一點(diǎn)到點(diǎn)f(1,0)的距離減去它到y(tǒng) 軸距離的差都是1. (1)求曲線 c 的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)m， 使曲線 c 上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線yxm 對(duì)稱？若存在， 求出 m 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由解析： (1)設(shè) p(x，y)是曲線 c 上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)p(x，y)滿足：x12y2x1(x0)化簡(jiǎn)得 y24x(x0)(2)假設(shè)拋物線y2 4x(x0)上存在不同兩點(diǎn)a、b 關(guān)于直線y xm 對(duì)稱， 則可設(shè) ab 的方