(完整word)對數(shù)函數(shù)知識點總結(jié),推薦文檔

1、對數(shù)函數(shù) (一)對數(shù) 1.對數(shù)的概念: 一般地，如果 ax N (a 0,a 1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù), 記作：x loga N ( a 底數(shù)，N 真數(shù)，loga N 對數(shù)式) 說明：注意底數(shù)的限制a 0,且a 1； ax N loga N x ； 注意對數(shù)的書寫格式. 兩個重要對數(shù)： 常用對數(shù)：以 10 為底的對數(shù)lg N ; 自然對數(shù)：以無理數(shù) e 2.71828 為底的對數(shù)的對數(shù)In N . (二)對數(shù)的運算性質(zhì) 如果a 0,且a 1 , M 0 , N 0，那么： lOg a(M N) lOga M + lOga N ； lOga lOga M - lOga N ； N lO

2、ga M n n lOga M (n R). 注意：換底公式 , , lOg c b 小 口 lOg a b - ( a 0，且 a 1 ； c lOgc a 利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論 (1)lOgambn lOgab ； (2) lOg a b m (二)對數(shù)函數(shù) 1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) y loga x(a 數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0, +8). 辨別。如：y 2 log 2 x , y log 5 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱 5 其為對數(shù)型函數(shù). (a 0 ,且 a 1). 2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì): a1 0a0 定義域 x 0 值域為 R 值域為 R 在 R 上遞增 在 R

3、上遞減 函數(shù)圖象都 過定點(1, 0) 函數(shù)圖象都過定點 (1, 0) 1 log b a 0 ,且a 1)叫做對數(shù)函 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意 注意: 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制: 例 4.比較下列各組數(shù)中兩個值的大小: (1) log 2 3.4 , log 2 8.5 ； (2) log 0.31.8 , log 0.3 2.7 ； 解：(1)對數(shù)函數(shù)y log2X在(0,)上是增函數(shù)，于是log 2 3.4 log2 8.5 ; (2) 對數(shù)函數(shù)y log0.3 x在(0,)上是減函數(shù)，于是log .31.8 log0.3 2.7 ; (3) 當(dāng)a 1時，對數(shù)函數(shù)y

4、logax在(0,)上是增函數(shù)，于是log a 5.1 loga 5.9 , 當(dāng)o a 1時，對數(shù)函數(shù) y logax在(0,)上是減函數(shù)，于是log a 5.1 loga 5.9 . 例 5.比較下列比較下列各組數(shù)中兩個值的大小： ()log 6 7 , log76 ; (2) log 3 , log2 0.8 ; 0 9 (3) 1.V , log1.10.9 , log 0.7 0.8 ; (4) log 53 , log 6 3 , log7 3 .對數(shù)函數(shù)例題解析 例 1.求下列函數(shù)的定義域: (1) y log a x2 ； (2) y log a (4 x) ; (3) y lo

5、g a (9 x2). 解: 由x2 0 得 x 0 ,函數(shù) y log a 2 x的定義域是 x x 0 ; (2) x 0得x 4，二函數(shù)y lOg a (4 X)的定義域是 X 9- 0得-3 3 , 函y log a (9 x2)的定義域是 x2 2. 求函數(shù)y 2和函數(shù)y 2 (x 0)的反函數(shù)。 y-2 f 1 (x) log：(x 2) (x 5 -2); (2 x |). (3) log a 5.1 , loga5.9. f-1(x) log1 (x-2) 解: ( 1)：Tog6 7 log 6 6 1 , logy6 log 7 7 1 , A log6 7 log 7 6

6、 ； (2).Tog3 log31 0, log20.8 log21 0 , log3 log2 0.8 . (3 ) T 1.109 1.10 1 , log1.10.9 log1.11 0 , 0 log。/ log 0.70.8 log 0.7 0.7 1, 0 9 A 1.1 log0.70.8 log1.10.9 . (4)T 0 log 3 5 log 3 6 log 3 7 , A log 5 3 log 6 3 log 7 3 . 例 7.求下列函數(shù)的值域： 2 2 (1) y log2(x 3) ； (2)y log? x ) ； (3) y loga(x 4x 7) ( a

7、 0且 a 1). 解: (1 )令 t x 3 , 則y log2t, /1 0, A y R，即函數(shù)值域為R. (2)令 t 3 x2, 則0 t 3, A y log 2 3,即函數(shù)值域為（,log2 3. (3)令 t x2 4x 7 (x 2)2 3 3, 當(dāng) a 1 時，y log a 3 , 即值域為 解: 1 x恒成立，故f（x）的定義域為（ )，f( x) Iog2( x2 1 x) log a3,)， 當(dāng)0 a 1時, y 嘰3 , 即值域為 ( ,log a 3. 例8 .判斷函數(shù) f(x) gc X2 1 x）的奇偶性。 1 為奇函數(shù)。 又x 3x 2 0 , x 2

8、或 x 1, 故u 2 x 3x 2 在(2, ）上遞增，在（ ,1）上遞減， 又 y 2 log 1 u為減函數(shù), 3 所以，函數(shù)y 2log 1（x2 3x 2）在（2,）上遞增，在（，1）上遞減。 3 例 10.若函數(shù)y log2（x2 ax a）在區(qū)間（,1 .3）上是增函數(shù)，a的取值范圍。 2 解：令 u g(x) x ax a, 函數(shù)y log2 u為減函數(shù)， -u g(x) x2 ax a 在區(qū)間（,1 .3）上遞減，且滿足u o , a 1 2 .3 ，解得2 2 3 a 2 , g(1 3) 0 所以，a的取值范圍為2 2、3, 2.log 2 - 、x2 1 log2 x2

9、 1 (廠1)2 x2 log x 1 x f (x)，所以，f (x) 例 9.求函數(shù)y 2log1(x2 3 3x 2）的單調(diào)區(qū)間。 3 3X X (X(X -在-,）上遞增，在（，3上遞減, 4 2 2 u 令 (2)求函數(shù) y = - (a 0,且 a* 1)的定義域. J1 loga(x a) 已知函數(shù) f(x)的定義域是0, 1,求函數(shù) y = flog 1(3 x)的定義 3 【例 1 (1)求函數(shù) y= log u 3x 2 1的定義域. 解(1)由 3x 2 log 1 0 2 2x 1 3x 2 - 0 1 1工 0 2x 2x 3x 2 W1 2x 1 (3x 2)(2x

10、 1) 0 1 x工一 2 x 1 w 0 2x 1 1 十 2 xv 或 X 2 1 xZ - 2 1 v xw 1 2 1 、 2 xv 或 x 二 2 3 1 xz 1 2 3 V X1 2 所求定義域為x| - v X 0 , log a(x + a) v 1. 當(dāng) a 1 時，Ov x + av a,.函數(shù)的定義域為 (一 a, 當(dāng) Ov av 1 時，x + aa,.函數(shù)的定義域為 (0 ,+ ). 解(3) /f(x)的定義域為0, 1 ,函數(shù) y = flog1(3 x)有意義, 3 0) 1 必須滿足 0 w log 1 (3 x) w 1,即 log11 w log 1 (

11、3 x) w log 1 - , 3 3 3 33 8 x W 1,.2 W x W-.故函數(shù) ynfllogMB x)的定義域為2 , 3 3 8 8- 10 x 【例 2 已知函數(shù) y= x，試求它的反函數(shù)，以及反函數(shù)的定義 域和值域. 1 10 10 x 10 x 解 已知函數(shù)的定義域為 R yi，由 y 得 1 10 1 10 反函數(shù)的定義域為(0 , 1)，值域為 y R. 【例 3】 作出下列函數(shù)的圖像，并指出其單調(diào)區(qū)間. (1)y=lg( x)y=log 2|x + 1| (3)y=|log1(x 1)|, (4)y = log2(1 x). 2 解(1)y=lg( x)的圖像與

12、 y=lgx 的圖像關(guān)于 y 軸對稱，如圖 2. 8 3 所示, 單調(diào)減區(qū)間是(一8, 0). 解(2)先作出函數(shù) y=log 2|x|的圖像，再把它的圖像向左平移 1 個單位就得 y= log 2|x + 1|的圖像如圖 2. 8 4 所示. 單調(diào)遞減區(qū)間是(一8, 1).單調(diào)遞增區(qū)間是(一 1, ). 解 把 y = logM的圖像向右平移 1個單位得到 y=log,x 1)的圖像，保留其在 x 2 2 軸及 x軸上方部分不變，把 x 軸下方的圖像以 x軸為 對稱軸翻折到 X軸上方，就得到 y=|log1(x 1)|的圖像如圖 2. 8 5 所 示 (1 y)10 x = y，二 10 x

13、 0 V y V 1,即為函數(shù)的值域. 由10 x lg1 y 即反函數(shù)f 1(x) = Ig 可先作 y=log 2( x)的圖像，再把 y = log 2( x)的圖像向右平移 1 個單位得到 y=log 2（1 x）的圖像.如圖 2. 8 6 所示. 單調(diào)遞減區(qū)間是(一8, 1). b A , a b 一 hUoga： v 0,如一 a b a 0, 0vlogbav 1, logab 1.由 a2 ba1 得 a- 1 - logb vlogbav a a 【例 4】 圖 2. 8 7 分別是四個對數(shù)函數(shù)， 的圖像，那么 a、b、c、d 的大小關(guān)系是 A. d c b a B. a b

14、cd C. b ad c D. b cad 解 選 C,根據(jù)同類函數(shù)圖像的比較，任取一個 y=log ax y=log bX y=log cx y=log QX x 1 的值，易得 ba 1 dc. 【例 5】 解法一 令 yi=log ax, y2=log bx, 所以它們的圖像，可能有如下三種情況： (1) 當(dāng) log a3log b30 時，由圖像 (2) 當(dāng) 0log a3log b3 時，由圖像 (3) 當(dāng) log a30log b3 時，由圖像 Tog ax log b3，即取 x = 3 時，y2, 2. 8 8,取 x=3，可得 b a 1. 2. 8 9,得 Ov av bv

15、 1. 【例a b 若 a2 b a 1,則 log a 、log b 、log ba logab的大小 b a a 解/a2 ba 1,二 0v v1, b 2. 8 10,得 a 1 b 0. a b 1 故得：loga- Vlgb； VTgb.6.下列函數(shù)圖象正確的是 ( ) 【例8】 已知函數(shù)f(x) = loga(x +、.1 x2)(a 0,且1)，判斷其 奇偶性. 解法一 已知函數(shù)的定義域為 R 則一 x R f( x) = log a CJ+ x2 x) =loga 1 =loga - =loga 1 x2 x)( . 1 x2 x) .1 2 x x . 2 2 1 x x

16、1 x2 x 1 1 x2 x (1 x2 x) f(x) 匚奇函數(shù). 解法二 已知函數(shù)的定義域 R =loga f(x)是 由 f(x) + f( x) =loga( .1+ x2 + x) + log(+ x2 x) =loga( 1 + , -a、 x2 x)( 1+ x2 x) =log a1=0 f(x)= f(x) 、選擇題(每小題 ，即 f(x)為奇函數(shù). 單元測試 5 分，共 50 分). 1. 對數(shù)式log a 2 (5 a) b中，實數(shù) a 的取值范圍是 2. 3. 4. 5. A. ( ,5) B. (2,5) c. (2, D. (2,3) (3,5) 如果 lgx=l

17、ga+3lgb A. x=a+3b c 5lgc，那么 B. x型 5c C. x ab3 5 c D. x=a+b3 c3 設(shè)函數(shù) y=lg(x 2 5x)的定義域為 M 函數(shù) y=ig(x 5)+lgx 的定義域為 N, A. MU N=R B. M=N 若 a0，b0，ab 1， log 1 a =ln2，則 log ab 與 log1 a 的關(guān)系是 2 A. log abv log 1 a 2 C log ab log a 2 若函數(shù) log 2(kx 2+4kx+3)的定義域為 R, C. M N D. M B. log ab=log1 a 2 D. log ab w log 1 a

18、 2 則 k 的取值范圍是 ) ) ) ) ) A. 0,3 4 B. 0,3 4 C. 0, 4 ,0 12. 方程 log 2(2x+1)log 2(2 x+1+2)=2 的解為 13. 將函數(shù)y 2x的圖象向左平移一個單位，得到圖象 O,再將 C 向上平移一個單位得到 圖象作出 G 關(guān)于直線 y=x 對稱的圖象 G,則。的解析式為 14. 函數(shù) y=log1 (x2 4x 12)的單調(diào)遞增區(qū)間是 2 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 (共 76 分). 7. 9. 已知函數(shù)g(x) f(x) f(x) A.是奇函數(shù)又是減函數(shù) C.是奇函數(shù)又是增函數(shù) 如果 y=log 2

19、a 1x 在(0 , A.| a | 1 10.下列關(guān)系式中, A. log 3 4 C. log 3 4 B.是偶函數(shù)又是增函數(shù) D.是偶函數(shù)又是減函數(shù) ，其中 log 2f(x)=2x , x R,則 g(x) +R)內(nèi)是減函數(shù)，則 a 的取值范圍是 B.| a | 2 成立的是 C. D. 、2 log 1 10 3 10 log1 3 二、填空題：(每小題 6 分, B. D. log1 10 3 log 3 4 11.函數(shù) y log 1 (2 2 5 共 24 分). X2)的定義域是 log! 10 3 log 3 4 ,值域是 6.下列函數(shù)圖象正確的是 ( ) x 1 15.

20、(12分)已知函數(shù) f (x) log2 log2(x 1) log2 (p x). x 1 (1)求函數(shù) f (x)的定義域；(2)求函數(shù) f (x)的值域. 16.( 12 分)設(shè) x, y, z ，且 3x=4y=6z. 1 1 1 求證： ；(2)比較 3x, 4y, 6z 的大小. z x 2y 17. (12 分)設(shè)函數(shù) f(x) lg(x ,x2 1). 確定函數(shù) f (x)的定義域； 判斷函數(shù) f (x)的奇偶性； 證明函數(shù) f (x)在其定義域上是單調(diào)增函數(shù); 求函數(shù) f(x)的反函數(shù) 18現(xiàn)有某種細(xì)胞 100 個，其中有占總數(shù) 丄的細(xì)胞每小時分裂一次，即由 1 個細(xì)胞分裂成

21、 2 個 2 細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細(xì)胞總數(shù)可以超過 10 10個？(參考數(shù)據(jù): 6.下列函數(shù)圖象正確的是 ( ) lg3 0.477,lg 2 0.301) 20. (14 分)已求函數(shù)y loga(x x2)(a 0,a 1)的單調(diào)區(qū)間 DCCAB 必修 1 數(shù)學(xué)章節(jié)測試(7) BDBDA 第二單元(對數(shù)函數(shù)) 14. 15. 16. 17. 11 . 解: (2)3 解: X10, y 0, z 0, . t 1, lgt lgt lgt x log 31 ,Z ig3 lg 4 lg6 1 1 lg 6 lg 3 lg2 lg4 1 . z x lg t lgt lg

22、t 2 lgt 2y 當(dāng) p 3 時，f (x)的值域為(汽 2log 2(p+1) 2); 解: xv 4y v 6Z. lgt (1)由x x2 1 0得 x R,定義域為 x2 1 0 R. (2)是奇函數(shù). 0, 設(shè) X1, X2 R 且 t2 (X1 . xf 1) (X2 x； 1). 2 2 X1 1 X2 1 二 11 t 2 0, 0 v t 1 t2, 0 19.解：(1)過 A,B,C,分別作 AA|,BB1，CC1 垂直于 x軸，垂足為 A1，B1，C1, 則S=S梯形 AAB1B+SB形 BBCC S梯形 AACC 則 則 f (X1) X1 f (X2) lg X2 X1 1 .令 t X , x2 x； 1 (X1 X2) ( X12 1 xf 1) (X1 X2) (x1 X2)(X1 X2) X2 1 x| 1 (X1 X2)( Xf 1 X； 1 X1 x2 由100 X 3 1010，得 3 108， 兩邊取以 10 為底的對數(shù)，得 xlg弓 2 2 2 8 8 8 X 45.45， ig ig2 lg3 lg 2 0.477 0.301 X 45.45.