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1、裝訂線2010-2011學年第2學期高等代數(shù)ii期末考試試卷（a卷）一、選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）在每小題的選項中，只有一項符合要求，把所選項前的字母填在題中括號內(nèi)。1. 設是線性空間的子空間，則下列集合不是的子空間的是（ ）(a) (b) (c) (d) 2. 歐氏空間的度量矩陣一定是（ ）(a) 正交矩陣； (b) 正定矩陣； (c) 上三角矩陣； (d) 下三角矩陣.3. 設是3階方陣，它的特征值分別為0、1、2，則下列矩陣可逆的是（ ）(a) ; (b) ; (c) ; (d) .4. 設為數(shù)域p上秩為的階矩陣，定義維列向量空間的線性變換：，則和分別為（ ）(a)

2、； (b) ； (c) ； (d) .5. 對于任意一個級實對稱矩陣，則（ ）(a) 的特征值的絕對值等于1; (b) 有個不同的特征值;(c) 的任意個線性無關的特征向量兩兩正交; (d) 存在正交矩陣，使為對角形矩陣.二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，滿分20分）6. 設是線性空間的一組基，則由基到基的過渡矩陣 ，而在基下的坐標是.7.已知是數(shù)域中的一個固定的數(shù)，而是的一個子空間，則，而_.8. 在歐氏空間中，已知，則= ，與的夾角為_.9. 如果, 是線性空間v的兩個子空間, 且, , ,那么為_10. 設矩陣和相似，其中a =，b = , _，_.1.5cm三、判斷題（本大題共5

3、小題，每小題2分，滿分10分）11. 設為維線性空間的一個線性變換，則由的秩的零度，有.（） 12. 設是線性空間的一個線性變換，線性無關，則向量組也線性無關.（）13. 線性空間中任一非零向量皆為數(shù)乘變換的特征向量.（）14. 設是一個歐氏空間，,并且，則線性無關.（ ）15. 維歐氏空間上的正交變換在任一組標準正交基下的矩陣皆為正交矩陣（ ）1.5cm四、計算題（本大題共25分）16. (滿分8分) 在中，求由到的過渡矩陣，其中17. （滿分17分）設二次型（1）寫出這個二次型的矩陣a；（2分）（2）求a的特征值及其線性無關的特征向量；（8分）（3）求一個正交線性替換x=ty，將化為標準形. （7分）1.5cm五、證明題（本題共30分）18. (滿分8分) 設a，b都是實對稱矩陣，證明：存在正交矩陣t，使得的充分必要條件是a，b有相同的特征值.19.（滿分12分）設是數(shù)域上線性空間的線性變換且,證明： （1）（6分）（2）（6分

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