自動(dòng)控制原理 課后習(xí)題答案

1、特征方程為 令，代入特征方程得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-7解圖所示。（2）實(shí)軸上根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)即為相重實(shí)根，其K值分別為 純虛根時(shí)的K值即為根軌跡與虛軸交點(diǎn)的K值，由（1）所求得之。 （1） （2）題2-4-8圖2-4-8 系統(tǒng)方框圖如題2-4-8圖所示，試?yán)L制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。 【解】：（1）根軌跡方程為由變化為零度根軌跡。 開環(huán)極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-8解（1）圖所示。（2）根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。 開環(huán)極點(diǎn)。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：，漸近線傾角：。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。題2-4-8解圖 分離點(diǎn) （1） （2）題2-4-8解圖 復(fù)平面上的

2、根軌跡與漸近線重合，如題2-4-8解圖（2）所示。2-4-9 單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。【解】：等效根軌跡方程為當(dāng)由時(shí)為零度根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。，有一個(gè)無窮遠(yuǎn)的極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)解得為分離點(diǎn)，為會(huì)合點(diǎn)。題2-4-9解圖 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)特征方程為 令，代入特征方程得 復(fù)平面上的根軌跡是圓，如題2-4-9解圖所示。2-4-10 系統(tǒng)方框圖如題2-4-10圖所示，試求：（1）當(dāng)閉環(huán)極點(diǎn)為時(shí)的值；（2）在上面所確定的值下，當(dāng)由變化的閉環(huán)根軌跡圖。題2-4-10圖【解】：（1）特征方程為 閉環(huán)極點(diǎn)為時(shí)的系統(tǒng)特征方程為 兩方程聯(lián)立求

3、解得： 題2-4-10解圖 （2）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為等效根軌跡方程為： 當(dāng)由時(shí)為一般根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 會(huì)合點(diǎn)解得為起點(diǎn)，為會(huì)合點(diǎn)，。 復(fù)平面上的根軌跡是圓，如題2-4-10解圖所示。2-4-11 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程分別如下，試概略繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。（1） （2）題2-4-11（1）解圖【解】：（1）由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)解得（起點(diǎn)），（分離點(diǎn)），（會(huì)合點(diǎn)），（舍去）。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根據(jù)特征方程列勞斯表令行等于零，得，代入行輔助方程，得 該系統(tǒng)根軌跡如

4、題2-4-11（1）解圖所示。（2）由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn) 漸近線傾角 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 分離點(diǎn)解得（分離點(diǎn)），（舍去），（舍去）。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)根據(jù)特征方程列勞斯表題2-4-11（2）解圖令行等于零，得，代入行輔助方程，得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-11（2）解圖所示。2-4-12 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）試概略繪制由和變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出其單位階躍響應(yīng)為單調(diào)衰減、振蕩衰減、等幅振蕩、增幅振蕩、單調(diào)增幅時(shí)的值?！窘狻浚海?）特征方程為，等效根軌跡方程為：（a）由變化時(shí)為一般根軌

5、跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn) 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 會(huì)合點(diǎn)題2-4-12解圖解得（舍去），（會(huì)合點(diǎn)）。 出射角 復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2-4-12解圖實(shí)線部分所示。（b）由變化為零度根軌跡。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 會(huì)合點(diǎn)計(jì)算同上。會(huì)合點(diǎn)為，。 復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的另一部分，如題2-4-12解圖虛線部分所示。（2）由根軌跡看出，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)，。根軌跡在實(shí)軸上重合時(shí)，。根軌跡在復(fù)平面上時(shí)。結(jié)論：系統(tǒng)無等幅和增幅振蕩。在取值時(shí),為衰減振蕩；時(shí)為單調(diào)衰減；時(shí)為單調(diào)增幅。2-4-13 系統(tǒng)方框圖如題2-3-13圖所示，繪制由的閉環(huán)根軌跡圖，并

6、要求：（1）求無局部反饋時(shí)系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差、阻尼比及調(diào)節(jié)時(shí)間；（2）討論時(shí)局部反饋對(duì)系統(tǒng)性能的影響；（3）求臨界阻尼時(shí)的值。題2-4-13圖【解】： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為題2-4-13解圖系統(tǒng)特征方程為 等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點(diǎn)，開環(huán)極點(diǎn)。 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。 會(huì)合點(diǎn) 解得（舍去），（會(huì)合點(diǎn)）。會(huì)合點(diǎn)時(shí)的a值 復(fù)平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2-4-13解圖所示。（1） 穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，型系統(tǒng)，。阻尼比和調(diào)節(jié)時(shí)間方法一：根據(jù)題意，對(duì)應(yīng)根軌跡起點(diǎn)方法二： 對(duì)應(yīng)開環(huán)傳遞函數(shù)有（2）由根軌跡看出，此時(shí)系統(tǒng)特征根為兩個(gè)不相等的實(shí)根，系

7、統(tǒng)無超調(diào)，穩(wěn)定性變好。但由于其中一個(gè)實(shí)根更靠近虛軸，使調(diào)節(jié)時(shí)間增長(zhǎng)。系統(tǒng)仍為型，開環(huán)增益減小，斜坡信號(hào)輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差增大。（3）系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡在實(shí)軸上出現(xiàn)會(huì)合點(diǎn)時(shí)為臨界阻尼情況，此時(shí)。從特征方程上也可以直接看出。2-4-14 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 確定值，使根軌跡分別具有：0，1，2個(gè)分離點(diǎn)，畫出這三種情況的根軌跡?！窘狻浚焊壽E分離點(diǎn)由下式確定，為原點(diǎn)處重極點(diǎn)的分離點(diǎn)，實(shí)軸上其他的分離點(diǎn)和匯合點(diǎn)。（1） 0個(gè)分離點(diǎn)只要原點(diǎn)處有兩個(gè)極點(diǎn)，無論何種情況，至少有一個(gè)分離點(diǎn)，所以令，則開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)由變化，即零度根軌跡時(shí)沒有分離點(diǎn)。其根軌跡如題2-2-14解圖（1）所示。（2） 1個(gè)分

8、離點(diǎn)對(duì)于一般根軌跡，是一個(gè)分離點(diǎn)。所以當(dāng)不存在，即，時(shí)，根軌跡具有一個(gè)分離點(diǎn)。設(shè)漸近線傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)分別為 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。其根軌跡如題2-2-14解圖（2）所示。（3） 2個(gè)分離點(diǎn)當(dāng)或時(shí)，有兩個(gè)分離點(diǎn)。其中對(duì)應(yīng)零度根軌跡的情況。設(shè)漸近線傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)分別為 實(shí)軸上的根軌跡在區(qū)間。分離點(diǎn)會(huì)合點(diǎn) （1） （2） （3）題2-2-14解圖其根軌跡如題2-2-14解圖（3）所示。五 頻域分析法2-5-1 系統(tǒng)單位階躍輸入下的輸出,求系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式?！窘狻浚?閉環(huán)傳遞函數(shù)2-5-2 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試求當(dāng)下列輸入信號(hào)作用于閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出（1）

9、；（2）；（3）?！窘狻浚呵笙到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)頻率特性的定義，以及線性系統(tǒng)的迭加性求解如下：（1）（2）（3）2-5-3 試求圖2-5-3所示網(wǎng)絡(luò)的頻率特性，并繪制其幅相頻率特性曲線。題2-5-3圖【解】：（1）網(wǎng)絡(luò)的頻率特性（2）繪制頻率特性曲線題2-5-3解圖其中。起始段，。中間段，由于，減小，先減小后增加，即曲線先順時(shí)針變化，再逆時(shí)針變化。 終止段，。網(wǎng)絡(luò)幅相頻率特性曲線如題2-5-3解圖所示。2-5-4 已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，在正弦信號(hào)作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，試計(jì)算的值?！窘狻浚合到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為時(shí)系統(tǒng)頻率特性為由已知條件得，則有2-5-5 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下，

10、試分別概略繪制各系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）【解】：對(duì)于開環(huán)增益為K的系統(tǒng)，其幅相頻率特性曲線有兩種情況：和。下面只討論的情況。時(shí)，比例環(huán)節(jié)的相角恒為，故相應(yīng)的幅相頻率特性曲線可由其的曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到。（1）題2-5-5（1）解圖 時(shí)， ；時(shí)，。特性曲線與虛軸的交點(diǎn)：令 ，即 代入中，該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（1）解圖所示。（2）題2-5-5（2）解圖時(shí)，；求漸近線時(shí)，。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（2）解圖所示。 （3）題2-5-5（3）解圖時(shí)，；求漸近線時(shí)，。 該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（3）解圖所示

11、。題2-5-5（4）解圖（4）時(shí)，；（時(shí)，曲線始于負(fù)實(shí)軸之上；時(shí)，曲線始于負(fù)實(shí)軸之下。）時(shí)，。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（4）解圖所示。（5）題2-5-5（5）解圖時(shí)，。求漸近線時(shí)，曲線順時(shí) 針穿過負(fù)實(shí)軸。求曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn) 令，得。 該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（5）解圖所示。題2-5-5（6）解圖（6）時(shí)，；求漸近線 該系統(tǒng)傳遞函數(shù)分母上有一個(gè)振蕩環(huán)節(jié)，其，。所以當(dāng)時(shí)有最大值。頻率特性的最大值 時(shí)，曲線順時(shí)針穿過負(fù)實(shí)軸。求曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)令，得。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（6）解圖所示。題2-5-5（7）解圖（7）時(shí)，；求漸近線 時(shí)，傳遞函數(shù)分母上有一個(gè)不穩(wěn)

12、定環(huán)節(jié)，曲線逆時(shí)針變化，不穿越負(fù)實(shí)軸。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（7）解圖所示。（8）時(shí)，；隨著的增加，分子上的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)先起作用，幅值增大，相角減小。之后，分母上的穩(wěn)定環(huán)節(jié)再起作用，幅值增加速度減慢，相角繼續(xù)減小。 時(shí)，。特性曲線與虛軸的交點(diǎn)：令 ，即代入中 題2-5-5（8）解圖該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（8）解圖所示。2-5-6 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試分別繪制各系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線。（1） （2） （3） （4）【解】：（1） ，。轉(zhuǎn)折頻率，一階慣性環(huán)節(jié)；，一階慣性環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為0。 系統(tǒng)相頻特性按下式計(jì)算得w0.010.050.

13、10.20.5110q(w)-5.7°-27.5°-50.0°-79.8°-121.0°-146.3°-176.4°系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線如題2-5-6解圖（1）所示。（2） ，。 轉(zhuǎn)折頻率，一階微分環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且過（1，20dB）點(diǎn)。 系統(tǒng)相頻特性按下式計(jì)算得w0.10.20.512510q(w)-174.3°-168.7°-153.4°-135°-116.6°-101.3°-95.7° （1） （2）題2-5-6（

14、1）（2）解圖系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線如題2-5-6解圖（2）所示。（3） 典型環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式 ，。 轉(zhuǎn)折頻率，一階慣性環(huán)節(jié)；，一階微分環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且其延長(zhǎng)線過（1，26dB）點(diǎn)。 系統(tǒng)相頻特性按下式計(jì)算得w0.010.050.10.1250.20.51q(w)-182.8°-192.5°-198.4°-199.3°-198.4°-190.5°-185.6°系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線如題2-5-6解圖（3）所示。 （3） （4）題2-5-6（3）（4）解圖（4） 典型環(huán)節(jié)

15、的標(biāo)準(zhǔn)形式 ，。 轉(zhuǎn)折頻率，一階慣性環(huán)節(jié)；，不穩(wěn)定的一階微分環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且過（1，34dB）點(diǎn)。 系統(tǒng)相頻特性按下式計(jì)算得w125102050100200q(w)83.1°76.4°57.7°33.7°4.8°-33.7°-57.7-73.1系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線如題2-5-6解圖（4）所示。2-5-7 試概略繪制下列傳遞函數(shù)相應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線。（1） （2）（3） （4）【解】：（1） 典型環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式 ，。 題2-5-7（1）解圖 轉(zhuǎn)折頻率，一階微分環(huán)節(jié)；，二階振蕩環(huán)節(jié)；二階振蕩環(huán)節(jié)

16、。 ，低頻漸近線斜率為，且過點(diǎn)。該傳遞函數(shù)相應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如題2-5-7（1）解圖所示。題2-5-7（2）解圖（2） ，。 轉(zhuǎn)折頻率，不穩(wěn)定的一階慣性環(huán)節(jié)；，一階慣性環(huán)節(jié)。題2-5-7（3）解圖 ，低頻漸近線斜率為，且過點(diǎn)。該傳遞函數(shù)相應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如題2-5-7（2）解圖所示。（3） ，。 轉(zhuǎn)折頻率，一階慣性環(huán)節(jié)；，一階慣性環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且其延長(zhǎng)線過（1，46dB）點(diǎn)。該傳遞函數(shù)相應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如題2-5-7（3）解圖所示。（4） 典型環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式 ，。 題2-5-7（4）解圖 轉(zhuǎn)折頻率，一階微分環(huán)節(jié)；，二階振蕩環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且過（

17、1，14dB）點(diǎn)。該傳遞函數(shù)相應(yīng)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如題2-5-7（4）解圖所示。2-5-8 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線并求閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益K值?！窘狻浚簳r(shí)，。求時(shí)的漸近線 時(shí)，曲線順時(shí)針穿過負(fù)實(shí)軸。 題2-5-8解圖求曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)令，得。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如圖所示。當(dāng)即時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。2-5-9 已知系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性如圖5-66所示，試根據(jù)奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并說明閉環(huán)右半平面的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。其中為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面極點(diǎn)數(shù)，為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。題2-5-9解圖（1）【解】：（a），系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有2個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。（b）作輔

18、助線如解圖（1）所示，曲線經(jīng)過（-1，j0）點(diǎn)一次，虛軸上有2個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，s右半平面沒有閉環(huán)極點(diǎn)。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。（c）作輔助線如解圖（2）所示，系統(tǒng)穩(wěn)定，s右半平面沒有閉環(huán)極點(diǎn)。 （2） （3） （4） （5）題2-5-9解圖（d）作輔助線如解圖（3）所示，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有2個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。（e）作輔助線如解圖（4）所示，系統(tǒng)穩(wěn)定，s右半平面沒有閉環(huán)極點(diǎn)。（f）作輔助線如解圖（5）所示，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有2個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。（g），系統(tǒng)穩(wěn)定，s右半平面沒有閉環(huán)極點(diǎn)。（h），系統(tǒng)穩(wěn)定，s右半平面沒有閉環(huán)極點(diǎn)。（i），系統(tǒng)穩(wěn)定，s右半平面沒有閉環(huán)極點(diǎn)。2-5-10 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

19、（1），試確定使相角裕量等于的a值。（2），試確定使相角裕量等于的K值。（3），試確定使幅值裕量等于20dB的K值?！窘狻浚海?）令 由 （2）令由 （3）令 2-5-11 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線如圖5-67所示，試求相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)?！窘狻浚海╝） ， （b） ， （c） （d） （e） (1)(2)題2-5-12解圖2-5-12 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（1）繪制系統(tǒng)的伯德圖，并求系統(tǒng)的相位裕量；（2）在系統(tǒng)中串聯(lián)一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)（s+1），繪制系統(tǒng)的伯德圖，并求系統(tǒng)的相位裕量；（3）說明比例微分環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；（4）說明相對(duì)穩(wěn)定性較好的系統(tǒng)，中頻段對(duì)數(shù)幅頻應(yīng)具有的

20、形狀。 【解】：（1） 其伯德圖如解圖（1）所示。剪切頻率相角裕量 系統(tǒng)不穩(wěn)定（特征方程漏項(xiàng)），相角裕量為負(fù)數(shù)。（2）系統(tǒng)傳遞函數(shù)為其伯德圖如解圖（2）所示。剪切頻率相角裕量系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）一階微分環(huán)節(jié)的介入，增加了剪切頻率附近的相位，即增加了相位裕量，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（4）希望中頻段折線斜率為-20db/十倍頻程，且該斜線的頻寬越大越好。2-5-13 某系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖和開環(huán)幅相曲線如圖（a）、（b）所示，圖中，K、T為給定正數(shù)試判定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性，并求在復(fù)平面左半平面、右半平面、虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。題2-5-13圖【解】：方法一 二階系統(tǒng)，有一個(gè)右半平面的開環(huán)極點(diǎn)，。由開環(huán)幅相曲線可知。

21、 系統(tǒng)穩(wěn)定，復(fù)平面左半平面有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，右半平面、虛軸上均無閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。方法二利用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等效變換方法，將第二個(gè)比較點(diǎn)移至的輸入端，有結(jié)論同方法一。題2-5-14圖2-5-14 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為期望對(duì)數(shù)幅頻特性如圖所示，試求串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，并比較串聯(lián)前后系統(tǒng)的相位裕量?！窘狻浚浩谕麄鬟f函數(shù)串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)串聯(lián)前系統(tǒng)不穩(wěn)定。串聯(lián)后系統(tǒng)穩(wěn)定。2-5-15 某控制系統(tǒng)方框圖如圖所示（1）繪制系統(tǒng)的奈氏曲線；（2）用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并說明在s平面右半面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)。題2-5-15圖 【解】：（1）題2-5-15解圖時(shí)，；時(shí)，。曲線逆時(shí)針穿過負(fù)實(shí)軸。求曲線與負(fù)實(shí)軸的交

22、點(diǎn)令，得奈氏曲線如解圖所示。（2）做輔助線如解圖所示，。s平面右半面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（可以用時(shí)域分析法驗(yàn)證）2-5-16 已知三個(gè)最小相位系統(tǒng)(1)、(2)、(3)開環(huán)傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線如圖所示。（1）定性分析比較這三個(gè)系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入響應(yīng)的上升時(shí)間和超調(diào)量；（2）計(jì)算并比較這三個(gè)系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差；題2-5-16圖（3）分析并比較系統(tǒng)(1)、(2)相位裕量和增益裕量?！窘狻浚海?）對(duì)于系統(tǒng)（1）（2）， 。一般情況。系統(tǒng)（3）不穩(wěn)定。（2）因?yàn)?，且?）（2）均為型系統(tǒng)，所以。系統(tǒng)（3）不穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)誤差無意義。（3）因?yàn)橄到y(tǒng)（1）的中頻（-20db/十倍頻程）帶寬

23、于系統(tǒng)（2），所以。但增益裕量均為無窮。2-5-17 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）求系統(tǒng)相角裕量為時(shí)的K值；（2）求系統(tǒng)幅值裕量為20dB時(shí)的K值；（3）估算諧振峰值時(shí)的K值?！窘狻浚海?）（2）（3）2-5-18 小功率隨動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如題2-5-18圖所示，試用兩種方法判別其閉環(huán)穩(wěn)定性。題2-5-18圖【解】：方法一：時(shí)域分析法得特征方程為 系統(tǒng)不穩(wěn)定。方法二：采用頻域分析法計(jì)算。開環(huán)傳遞函數(shù)為計(jì)算幅值穿越頻率計(jì)算相角裕量 題2-5-19圖結(jié)論：系統(tǒng)不穩(wěn)定。2-5-19 設(shè)最小相位系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖所示（1）寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；（2）計(jì)算開環(huán)截止頻率；（3）計(jì)算系統(tǒng)的相

24、角裕量；（4）若給定輸入信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為多少？【解】：（1）（2）方法一，利用開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性近似計(jì)算穿越頻率方法二，根據(jù)定義計(jì)算穿越頻率（3）計(jì)算相角裕量或（4）系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。，型系統(tǒng)，。2-5-20 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，若要求開環(huán)截止頻率提高a倍，相角裕量保持不變，問K、T應(yīng)如何變化？【解】：設(shè)穿越頻率在頻段，則，若使擴(kuò)大a倍，則K擴(kuò)大a倍，且保持不變，顯然T需要縮小a倍。設(shè)穿越頻率在頻段，則，若使擴(kuò)大a倍，且同時(shí)保持不變，則T 應(yīng)縮小a倍，只有當(dāng)K擴(kuò)大a倍才能滿足要求，即變化后的開環(huán)截止頻率為兩種情況的討論結(jié)論一致，即K擴(kuò)大a倍，T縮小a倍。2-5-21 設(shè)單位反饋

25、系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為依據(jù)下述兩種曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性：（1）概略幅相頻率特性曲線； （2）對(duì)數(shù)頻率特性曲線?！窘狻浚海?）開環(huán)傳遞函數(shù)各環(huán)節(jié)的相位變化規(guī)律如下w0（起點(diǎn)）（終點(diǎn)）q兩個(gè)積分環(huán)節(jié)相位-180°-180°0°一階微分環(huán)節(jié)0°90°90°一個(gè)不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)-180°-90°90°開環(huán)系統(tǒng)相位變化-360°-180°180°Nyquist曲線起點(diǎn)在第一象限，終點(diǎn)在第二象限，全頻程幅值衰減，相位增加。曲線逆時(shí)針變化，如題2-5-21解圖（1）所示。（1）（2）題2-

26、5-21解圖由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，有一個(gè)右半平面的開環(huán)極點(diǎn)，即。做輔助線得，。閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 （2） 對(duì)數(shù)幅頻特性，。對(duì)數(shù)幅頻特性低頻漸近線斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)（20，1）。 對(duì)應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率變化為。對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，斜率變化為。所以數(shù)幅頻特性漸近線斜率不變。 對(duì)數(shù)相頻特性將開環(huán)傳遞函數(shù)各環(huán)節(jié)相頻特性疊加得：時(shí)，時(shí)，。開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性以的點(diǎn)斜對(duì)稱。對(duì)數(shù)頻率特性曲線如題2-5-21解圖（2）所示。從對(duì)數(shù)相頻特性左端向上開始向下做輔助線，與特性曲線相連，在的頻率范圍內(nèi)，。已知。閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù) 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。2-5-22 已知帶有比例積

27、分調(diào)節(jié)器的控制系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖5-74所示，圖中，參數(shù)為定值，且。試證明該系統(tǒng)的相位裕量有最大值，并計(jì)算當(dāng)相位裕量為最大值時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率和增益?！窘狻浚豪L制Bode草圖如解圖所示，由相頻特性曲線可以看出相角裕量有極大值。 相位裕量為最大值時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)截止頻率代入相角裕量計(jì)算公式得最大相位裕量題2-5-22解圖代入對(duì)數(shù)幅頻漸近線幅值計(jì)算公式得或由幅值定義得2-5-23 設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,試求：（1）根據(jù)相位裕量和幅值裕量分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（2）應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)公式估算系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)：超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。 【解】：（1）計(jì)算相角裕量方法一，由對(duì)數(shù)幅頻漸近線近似計(jì)算穿越頻率相角裕量

28、方法二，按定義計(jì)算穿越頻率相角裕量計(jì)算幅值裕量：令 方法一，由對(duì)數(shù)幅頻漸近線近似得得 方法二，由定義得 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。（2）注：由于所用經(jīng)驗(yàn)公式的適用范圍為，顯然本題不在適用范圍內(nèi)，所得誤差可能較大。六 線性控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與校正2-6-1 在根軌跡校正法中，當(dāng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能不足時(shí)，通常選擇什么形式的串聯(lián)校正網(wǎng)絡(luò)？網(wǎng)絡(luò)參數(shù)取值與校正效果之間有什么關(guān)系？工程應(yīng)用時(shí)應(yīng)該注意什么問題？【解】：（1）可以采用的校正裝置的形式為單零點(diǎn)校正：，零點(diǎn)在s平面的負(fù)實(shí)軸上；零極點(diǎn)校正：，零極點(diǎn)均在負(fù)實(shí)軸上，零點(diǎn)比極點(diǎn)靠近原點(diǎn)（即：超前校正）。（2）零點(diǎn)越靠近原點(diǎn)、極點(diǎn)越遠(yuǎn)離原點(diǎn)校正作用越強(qiáng)。（3）在工程應(yīng)用時(shí)，應(yīng)

29、考慮校正裝置的可實(shí)施性，零極點(diǎn)分布最好在左半平面的中部，因?yàn)榱泓c(diǎn)太靠近原點(diǎn)，微分作用太強(qiáng)，可能使執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)入飽和狀態(tài)而達(dá)不到預(yù)期的效果。2-5-2 在根軌跡校正法中，當(dāng)系統(tǒng)的靜態(tài)性能不足時(shí)，通常選擇什么形式的串聯(lián)校正網(wǎng)絡(luò)？網(wǎng)絡(luò)參數(shù)取值與校正效果之間有什么關(guān)系？工程應(yīng)用時(shí)應(yīng)該注意什么問題？【解】：（1）校正裝置的形式為，即滯后校正裝置。零極點(diǎn)均在負(fù)實(shí)軸上，零極點(diǎn)非?？拷撦S，且與受控對(duì)象的其他零極點(diǎn)相比可以構(gòu)成一對(duì)偶極子。由于增加一對(duì)偶極子基本不改變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但可以增大系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而達(dá)到減小系統(tǒng)靜態(tài)誤差的目的。（2）零極點(diǎn)之比的取值越大，系統(tǒng)開環(huán)增益增加幅度越大，因?yàn)樾Ｕ蟮拈_環(huán)增益

30、是校正前開環(huán)增益的倍。（3）在工程實(shí)施時(shí)，考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，極點(diǎn)不能太靠近原點(diǎn)。2-6-3 對(duì)于最小相位系統(tǒng)而言，采用頻率特性法實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)校正的基本思路是什么？靜態(tài)校正的理論依據(jù)是什么？動(dòng)態(tài)校正的理論依據(jù)是什么？【解】：設(shè)校正裝置的形式為。根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的形式以及對(duì)系統(tǒng)靜態(tài)指標(biāo)的具體要求，確定校正裝置中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，以及比例環(huán)節(jié)的取值；然后再根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)的要求，根據(jù)受控對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征，選擇超前校正網(wǎng)絡(luò)、滯后校正網(wǎng)絡(luò)或滯后超前校正網(wǎng)絡(luò)，實(shí)施動(dòng)態(tài)校正 。靜態(tài)校正的理論依據(jù)：通過改變低頻特性，提高系統(tǒng)型別和開環(huán)增益，以達(dá)到滿足系統(tǒng)靜態(tài)性能指標(biāo)要求的目的。動(dòng)態(tài)校正的理論依據(jù)：通

31、過改變中頻段特性，使穿越頻率和相角裕量足夠大，以達(dá)到滿足系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能要求的目的。2-6-4 復(fù)合校正中的動(dòng)靜態(tài)全補(bǔ)償方法在工程應(yīng)用中有哪些困難？【解】：由于復(fù)合校正中的前饋校正裝置中，往往出現(xiàn)傳遞函數(shù)分子的階數(shù)高于分母的階數(shù)，因而難以工程實(shí)施。2-6-5 局部反饋校正在控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中起什么作用？【解】：局部反饋校正在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用可以減小系統(tǒng)的慣性，加快系統(tǒng)的反映速度，從而提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)品質(zhì)。題2-6-6解圖2-6-6 某閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，若要求該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)滿足過渡過程時(shí)間，超調(diào)量，試在復(fù)平面畫出閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)允許區(qū)域?！窘狻浚焊鶕?jù)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式解圖中陰影部分為

32、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的取值區(qū)域。2-6-7 試回答下列問題，著重從物理概念說明：（1）有源校正裝置與無源校正裝置有何不同特點(diǎn)？在實(shí)現(xiàn)校正規(guī)律時(shí)，它們的作用是否相同？（2）如果型系統(tǒng)經(jīng)過校正之后希望成為型系統(tǒng)，應(yīng)該采用哪種校正規(guī)律才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性？（3）串聯(lián)超前校正為什么可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能？（4）從抑制噪音的角度考慮，最好采用哪種校正形式？ 【解】：（1）無源校正裝置的輸出信號(hào)的幅值總是小于輸入信號(hào)的幅值。即傳遞過程只能衰減不能放大。而有源校正裝置則可以根據(jù)用戶要求放大或縮小。在實(shí)現(xiàn)校正規(guī)律時(shí)，它們的作用是相同的。（2）為保證加入積分環(huán)節(jié)后，特征方程不出現(xiàn)漏項(xiàng)，一般選擇校正裝置的形式為（3）適當(dāng)

33、選取校正裝置的參數(shù)，可以有效改變開環(huán)系統(tǒng)中頻段的特性：提高系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，以減小超調(diào)；提高穿越頻率，以加快調(diào)節(jié)速度。（4） 選擇滯后校正裝置，可以減小系統(tǒng)高頻段的幅值，從而削弱高頻干擾信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的影響。2-6-8 單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，若采用串聯(lián)最小相位校正裝置，圖1（a）、（b）、（c）分別為三種推薦的串聯(lián)校正裝置。試問：（1） 寫出校正裝置所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，繪制對(duì)數(shù)相頻特性草圖；（2） 這些校正裝置哪一種可以使校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定性最好？（3） 哪一種校正裝置對(duì)高頻信號(hào)的抑制能力最強(qiáng)？題2-6-8圖【解】：（1）題2-6-8解圖（1）校正裝置對(duì)數(shù)相頻特性草圖如題2-6-8解圖（1）所示。

34、（2） 解題方法有兩種，一是畫出校正后的Bode曲線后，直接進(jìn)行比較；二是計(jì)算校正后的穿越頻率和相角裕量。方法一校正后的Bode曲線如解圖2和解圖3所示。由圖可知，裝置（c）使校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定性最好。方法二（a） （b）題2-6-8解圖2（c）題2-6-8解圖3 結(jié)論：（c）校正裝置可以使校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定性最好。（3） （a）校正裝置對(duì)高頻段信號(hào)是衰減的，因此，從抑制高頻干擾的角度出發(fā)其效果最好。 2-6-9 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。（1）寫出開環(huán)傳遞函數(shù)；（2）確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值區(qū)間；（3）分析系統(tǒng)是否存在閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，若有，則利用主導(dǎo)極點(diǎn)的位置確定是否通過K的

35、取值，使動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)同時(shí)滿足，說明理由。題2-6-9圖（4）若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)滿足要求，但KV較小,試考慮增加什么校正環(huán)節(jié),可以在保證系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的前提條件下,滿足對(duì)的要求,說明理由?！窘狻浚海?）開環(huán)傳遞函數(shù)（2）系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)穩(wěn)定的條件題2-6-9解圖（3）改變開環(huán)傳遞函數(shù)為零極點(diǎn)分布形式則根軌跡方程為繪制根軌跡草圖如下所示：計(jì)算實(shí)軸上的分離點(diǎn)：系統(tǒng)存在兩個(gè)主導(dǎo)極點(diǎn)。 按照此條件在根軌跡圖上畫出主導(dǎo)極點(diǎn)允許區(qū)域?？梢娪胁糠指壽E在允許區(qū)域內(nèi)，選擇K的取值，能使動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)滿足要求。（4）增加一個(gè)滯后校正環(huán)節(jié)，傳遞函數(shù)為，使其在負(fù)實(shí)軸上靠近原點(diǎn)處構(gòu)成一對(duì)偶極子。偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能影響較小

36、，但可使速度誤差系數(shù)擴(kuò)大 倍。 2-6-10 已知某系統(tǒng)的根軌跡草圖如題2-6-10圖所示。 （1）寫出開環(huán)傳遞函數(shù)；（2）確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值區(qū)間，確定使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程產(chǎn)生衰減振蕩的K的取值區(qū)間；題2-6-10圖（3）利用主導(dǎo)極點(diǎn)的位置，確定是否通過K的取值使動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)同時(shí)滿足。（4）若該系統(tǒng)的統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)不能滿足設(shè)計(jì)要求，試考慮增加什么校正環(huán)節(jié)，可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能？寫出校正環(huán)節(jié)形式（不需要具體數(shù)據(jù)），繪校正后根軌跡草圖，說明理由?！窘狻浚海?）（2）確定實(shí)軸上的分離點(diǎn)處的K值：，；確定與虛軸交點(diǎn)處的值：利用Routh穩(wěn)定判據(jù)得； 使系統(tǒng)穩(wěn)定K的取值區(qū)間為，使系統(tǒng)產(chǎn)生衰減振蕩的K的

37、取值區(qū)間為。（3）可以。理由同第9題。（4） （1） （2）題2-6-10解圖 串聯(lián)一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)。由于增加了一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，使根軌跡左移，調(diào)整零點(diǎn)位置，可使根軌跡在要求的區(qū)域內(nèi)。根軌跡如解圖（1）所示。 串聯(lián)一超前校正環(huán)節(jié)。由于零點(diǎn)更靠近原點(diǎn)，零點(diǎn)的作用強(qiáng)于極點(diǎn)的作用，漸近線交點(diǎn)左移，根軌跡整體趨勢(shì)左移。調(diào)整零極點(diǎn)位置，可使根軌跡在要求的區(qū)域內(nèi)。根軌跡如解圖（2）所示。2-6-11 超前校正裝置的傳遞函數(shù)分別為（1）；（2）。繪制Bode圖，并進(jìn)行比較?！窘狻浚盒Ｕb置Bode圖如解圖所示。題2-6-11解圖兩個(gè)校正裝置都是超前校正裝置。但裝置（1）超前頻段較（2）要寬，則（1）的超前幅度比

38、（2）的超前幅度要大。2-6-12 滯后校正裝置的傳遞函數(shù)分別為（1）；（2），繪制Bode圖，并進(jìn)行比較?！窘狻浚盒Ｕb置Bode圖如解圖所示。 題2-6-12解圖，；。因?yàn)?，所以裝置（2）的滯后校正作用比裝置（1）強(qiáng)。2-6-13 控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)（1） 繪制系統(tǒng)Bode圖，并求取穿越頻率和相角裕量；（2）采用傳遞函數(shù)為的串聯(lián)超前校正裝置，繪制校正后的系統(tǒng)Bode圖，并求取穿越頻率和相角裕量，討論校正后系統(tǒng)性能有何改進(jìn)?！窘狻浚合到y(tǒng)Bode圖如解圖（1）所示。校正前性能指標(biāo)計(jì)算：校正后性能指標(biāo)計(jì)算：題2-6-13解圖校正后的系統(tǒng)Bode圖如解圖（2）所示。加入超前校正網(wǎng)絡(luò)后，在不改變系

39、統(tǒng)的靜態(tài)指標(biāo)的前提下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)有了明顯的改善，相角裕量增加，穿越頻率增大，因此系統(tǒng)的超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短。2-6-14設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，現(xiàn)有三種串聯(lián)最小相位校正裝置，它們的Bode圖如圖（a）、（b）、（c）所示。試問： （1）若要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不變，而減小超調(diào)量，加快系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，應(yīng)選取哪種校正裝置？為什么？系統(tǒng)的相位裕量最大可以增加多少？題2-6-14圖（2）若要減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，并保持系統(tǒng)的超調(diào)量和動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度不變，應(yīng)選取哪種校正裝置？為什么？系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以減小多少？【解】：（1）計(jì)算沒加校正前性能指標(biāo)：裝置（b）為滯后校正網(wǎng)絡(luò)，它在提高系統(tǒng)

40、穩(wěn)定性的同時(shí)，會(huì)使調(diào)節(jié)時(shí)間增加，所以不符合校正要求。裝置（a）、（c）為超前校正網(wǎng)絡(luò)。原系統(tǒng)的穿越頻率正好在裝置（a）的超前頻段范圍，故裝置（a）對(duì)此系統(tǒng)的校正效果應(yīng)該最好。校正效果計(jì)算如下：（2）三個(gè)校正環(huán)節(jié)都不能改變系統(tǒng)的低頻特性，因此對(duì)系統(tǒng)的靜態(tài)性能無影響。七 非線性系統(tǒng)分析2-7-1 非線性元件的輸入輸出特性如圖所示。其中x為輸入，y為輸出。試求各元件的描述函數(shù)。 【解】：（a） 因?yàn)榉蔷€性環(huán)節(jié)的對(duì)稱性，得；因?yàn)榉蔷€性函數(shù)為單調(diào)奇函數(shù)，得。 描述函數(shù) （b）因?yàn)樵摲蔷€性環(huán)節(jié)的對(duì)稱性，得；又因其為單調(diào)奇函數(shù)，得。 描述函數(shù) 2-7-2 非線性系統(tǒng)如題2-7-2圖（a）(b) 所示。試確定

41、其穩(wěn)定性。若產(chǎn)生自振蕩，試確定自振蕩的振幅和頻率。圖（b）的描述函數(shù)為。（a）（b）題2-7-2圖【解】：（a）線性部分的開環(huán)傳遞函數(shù)為：理想繼電器的描述函數(shù)為 ，（a）（b）題2-7-2解圖則負(fù)倒描述函數(shù)為 。 在同一坐標(biāo)系繪制線性環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線如題2-7-2解圖（a）所示。當(dāng)時(shí)，；時(shí)，?？梢钥闯鲈贏處產(chǎn)生交點(diǎn)，且交點(diǎn)處具有穩(wěn)定的自持振蕩的特性。計(jì)算A點(diǎn)處的自持振蕩頻率： 計(jì)算A點(diǎn)處的自持振蕩幅值： （b）線性部分的開環(huán)傳遞函數(shù)為：理想繼電器的描述函數(shù)為，則負(fù)倒描述函數(shù)為。在同一坐標(biāo)系繪制線性環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線如題2

42、-7-2解圖（b）所示?？梢钥闯鲈贏處產(chǎn)生交點(diǎn)，且交點(diǎn)處呈不穩(wěn)定特性。這種振蕩隨時(shí)間可能發(fā)散或可能收斂。 2-7-3 非線性系統(tǒng)如題2-7-3圖所示。試求：題2-7-3圖（1）K在何范圍取值使系統(tǒng)穩(wěn)定。 （2）K=10時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生自振蕩的振幅和頻率?！窘狻浚海?）非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)題2-7-3解圖負(fù)倒描述函數(shù)為當(dāng)時(shí)，；時(shí)，。在同一坐標(biāo)系繪制線性環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線如題2-7-3解圖所示。顯然，當(dāng)線性部分的開環(huán)增益足夠小時(shí)，即在與實(shí)軸交點(diǎn)處的幅值小于1，則兩條曲線不產(chǎn)生交點(diǎn)。根據(jù)穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定。K值的計(jì)算過程如下：系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，即。（利用時(shí)域穩(wěn)定判據(jù)可以檢驗(yàn)其正

43、確性）（2）當(dāng)時(shí)，顯然兩條曲線相交，且交點(diǎn)處產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩，振蕩頻率為，振蕩幅值為令得。題2-7-4圖2-7-4 試用相平面分析法，分析圖4所示非線性系統(tǒng)分別在情況下，相軌跡的特點(diǎn)。【解】：在平面上的開關(guān)線。對(duì)應(yīng)的相軌跡方程為 相軌跡為兩簇拋物線。時(shí)，開關(guān)線方程為。根據(jù)相軌跡方程在不同線性區(qū)域內(nèi)繪制相平面圖如題2-7-4解圖（1）所示。 自持振蕩特性，振蕩頻率和周期由初始條件確定。時(shí)，開關(guān)線方程為，即原開關(guān)線順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)了度。相軌跡方程仍為根據(jù)相軌跡方程在不同線性區(qū)域內(nèi)繪制相平面圖如題2-7-4解圖（2）所示。無論初始條件如何，增幅振蕩特性，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（1） （2） （3）題2-7-4

44、解圖時(shí)，開關(guān)線方程為，即原開關(guān)線逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)了度。根據(jù)相軌跡方程在不同線性區(qū)域內(nèi)繪制相平面圖如題2-7-4解圖（3）所示。無論初始條件如何，衰減振蕩特性，系統(tǒng)穩(wěn)定。題2-7-5圖2-7-5 非線性系統(tǒng)如圖所示。試概略繪制平面的相軌跡族，并分析系統(tǒng)的特性，假定系統(tǒng)輸出為零初始條件，輸入。題2-7-5解圖（1）【解】：對(duì)上述方框圖實(shí)施等效變換得下列方框圖對(duì)應(yīng)的相軌跡方程為時(shí)，平面相軌跡方程為開關(guān)線為：,根據(jù)微分方程特征根的分布規(guī)律得相軌跡的形式為1區(qū)：相軌跡是以（1，0）為中心點(diǎn)的穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。3區(qū)：相軌跡是以（-1，0）為中心點(diǎn)的穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。2區(qū)：相軌跡是直線。 顯然，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，對(duì)于不同的初始條件，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差不同。當(dāng) 時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差等于1。題2-7-6圖題2-7-5解圖（2）2-7-6 系統(tǒng)方框圖如圖所示，試?yán)L制標(biāo)幺化相平面。題2-7-6圖【解】：由系統(tǒng)方框圖可知：其中非線性特性表達(dá)式為開關(guān)線為：由微分方程地標(biāo)幺化的相軌跡方程為：標(biāo)幺化的開關(guān)線為：1區(qū)的奇點(diǎn)是（-1，0），相軌跡是以（-1，0）為圓心（中心點(diǎn)）的圓??；3區(qū)的奇點(diǎn)是（1，0），相軌跡是以（1，0）為圓心（中心點(diǎn)）的圓??；2區(qū)的奇點(diǎn)是