2013年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2013年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一選擇題：(每題5分，共40分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）已知集合a=xr|x|2，b=xr|x1，則ab=（）a（，2b1，2c2，2d2，12（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=y2x的最小值為（）a7b4c1d23（5分）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出s的值為（）a64b73c512d5854（5分）已知下列三個(gè)命題：若一個(gè)球的半徑縮小到原來的，則其體積縮小到原來的；若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；直線x+y+1=0與圓相切其中真命題的序號(hào)是（）abcd5（5分

2、）已知雙曲線=1（a0，b0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p0）的準(zhǔn)線分別交于o、a、b三點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線的離心率為2，aob的面積為，則p=（）a1bc2d36（5分）在abc中，abc=，ab=，bc=3，則sinbac=（）abcd7（5分）函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）a1b2c3d48（5分）已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）f（x）的解集為a，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）abcd二填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9（5分）已知a，br，i是虛數(shù)單位若（a+i）（1+i）=bi，則a+bi=10（5分）

3、的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為11（5分）已知圓的極坐標(biāo)方程為=4cos，圓心為c，點(diǎn)p的極坐標(biāo)為，則|cp|=12（5分）在平行四邊形abcd中，ad=1，bad=60°，e為cd的中點(diǎn)若，則ab的長為13（5分）如圖，abc為圓的內(nèi)接三角形，bd為圓的弦，且bdac過點(diǎn)a做圓的切線與db的延長線交于點(diǎn)e，ad與bc交于點(diǎn)f若ab=ac，ae=6，bd=5，則線段cf的長為14（5分）設(shè)a+b=2，b0，則當(dāng)a=時(shí)，取得最小值三解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（13分）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）+6sinxcosx2cos2x+1，x

4、r（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值16（13分）一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1，2，3，4； 白色卡片3張，編號(hào)分別為2，3，4從盒子中任取4張卡片 （假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同）（）求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率（）在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為x，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望17（13分）如圖，四棱柱abcda1b1c1d1中，側(cè)棱a1a底面abcd，abdc，abad，ad=cd=1，aa1=ab=2，e為棱aa1的中點(diǎn)（）證明b1c1ce；（）求二面角b1cec1的正弦值（）設(shè)點(diǎn)m在線段c1

5、e上，且直線am與平面add1a1所成角的正弦值為，求線段am的長18（13分）設(shè)橢圓=1（ab0）的左焦點(diǎn)為f，離心率為，過點(diǎn)f且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為（）求橢圓的方程；（）設(shè)a，b分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)f且斜率為k的直線與橢圓交于c，d兩點(diǎn)若=8，求k的值19（14分）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn（nn*），且s3+a3，s5+a5，s4+a4成等差數(shù)列（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)tn=sn（nn*），求數(shù)列tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值20（14分）已知函數(shù)f（x）=x2lnx（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）證明：對(duì)任意的t0，存在唯一的

6、s，使t=f（s）（）設(shè)（）中所確定的s關(guān)于t的函數(shù)為s=g（t），證明：當(dāng)te2時(shí)，有2013年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一選擇題：(每題5分，共40分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）（2013天津）已知集合a=xr|x|2，b=xr|x1，則ab=（）a（，2b1，2c2，2d2，1【分析】先化簡集合a，解絕對(duì)值不等式可求出集合a，然后根據(jù)交集的定義求出ab即可【解答】解：a=x|x|2=x|2x2ab=x|2x2x|x1，xr=x|2x1故選d2（5分）（2013天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=y2x的最小值為（）a7b4c

7、1d2【分析】先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=y2x，再利用幾何意義求最值，將最小值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最小，只需求出直線z=y2x，過可行域內(nèi)的點(diǎn)b（5，3）時(shí)的最小值，從而得到z最小值即可【解答】解：設(shè)變量x、y滿足約束條件 ，在坐標(biāo)系中畫出可行域三角形，平移直線y2x=0經(jīng)過點(diǎn)a（5，3）時(shí)，y2x最小，最小值為：7，則目標(biāo)函數(shù)z=y2x的最小值為7故選a3（5分）（2013天津）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出s的值為（）a64b73c512d585【分析】結(jié)合流程圖寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，經(jīng)過每一次循環(huán)判斷是否滿足判斷框中的條件，直到滿足條件輸出s，結(jié)束循環(huán)，得到

8、所求【解答】解：經(jīng)過第一次循環(huán)得到s=0+13，不滿足s50，x=2，執(zhí)行第二次循環(huán)得到s=13+23，不滿足s50，x=4，執(zhí)行第三次循環(huán)得到s=13+23+43=73，滿足判斷框的條件，退出循環(huán)，執(zhí)行“是”，輸出s=73故選b4（5分）（2013天津）已知下列三個(gè)命題：若一個(gè)球的半徑縮小到原來的，則其體積縮小到原來的；若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；直線x+y+1=0與圓相切其中真命題的序號(hào)是（）abcd【分析】對(duì)于由球的體積公式v=可知正確；對(duì)于通過舉反例，如2，2，2和1，2，3；這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的標(biāo)準(zhǔn)差不相等，故錯(cuò)；對(duì)于利用圓的圓心到直線x+y+1=0的距離

9、與圓的半徑之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可【解答】解：由球的體積公式v=可知，若一個(gè)球的半徑縮小到原來的，則其體積縮小到原來的；故正確；若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，它們的標(biāo)準(zhǔn)差不相等，故錯(cuò)；圓的圓心到直線x+y+1=0的距離d=半徑r，故直線x+y+1=0與圓相切，正確故選c5（5分）（2013天津）已知雙曲線=1（a0，b0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p0）的準(zhǔn)線分別交于o、a、b三點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線的離心率為2，aob的面積為，則p=（）a1bc2d3【分析】求出雙曲線的漸近線方程與拋物線y2=2px（p0）的準(zhǔn)線

10、方程，進(jìn)而求出a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率為2，aob的面積為，列出方程，由此方程求出p的值【解答】解：雙曲線，雙曲線的漸近線方程是y=±x又拋物線y2=2px（p0）的準(zhǔn)線方程是x=，故a，b兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±，雙曲線的離心率為2，所以，則，a，b兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是y=±=，又，aob的面積為，x軸是角aob的角平分線，得p=2故選c6（5分）（2013天津）在abc中，abc=，ab=，bc=3，則sinbac=（）abcd【分析】由ab，bc及cosabc的值，利用余弦定理求出ac的長，再由正弦定理即可求出sinbac的值【解答】解：abc=，

11、ab=，bc=3，由余弦定理得：ac2=ab2+bc22abbccosabc=2+96=5，ac=，則由正弦定理=得：sinbac=故選c7（5分）（2013天津）函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）a1b2c3d4【分析】通過令f（x）=0，將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，從而判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【解答】解：函數(shù)f（x）=2x|log0.5x|1，令f（x）=0，在同一坐標(biāo)系中作出y=（）x與y=|log0.5x|，如圖，由圖可得零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2故選b8（5分）（2013天津）已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）f（x）的解集為a，若，則實(shí)數(shù)a的

12、取值范圍是（）abcd【分析】排除法：取a=，由f（x+a）f（x），得（x）|x|+1x|x|，分x0，0x，x討論，可得a，檢驗(yàn)是否符合題意，可排除b、d；取a=1，由f（x+a）f（x），得（x+1）|x+1|+1x|x|，分x1，1x0，x0進(jìn)行討論，檢驗(yàn)是否符合題意，排除c【解答】解：取a=時(shí)，f（x）=x|x|+x，f（x+a）f（x），（x）|x|+1x|x|，（1）x0時(shí)，解得x0；（2）0x時(shí)，解得0；（3）x時(shí)，解得，綜上知，a=時(shí)，a=（，），符合題意，排除b、d；取a=1時(shí)，f（x）=x|x|+x，f（x+a）f（x），（x+1）|x+1|+1x|x|，（1）x1時(shí)，解

13、得x0，矛盾；（2）1x0，解得x0，矛盾；（3）x0時(shí)，解得x1，矛盾；綜上，a=1，a=，不合題意，排除c，故選a二填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9（5分）（2013天津）已知a，br，i是虛數(shù)單位若（a+i）（1+i）=bi，則a+bi=1+2i【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法展開等式的左邊，通過復(fù)數(shù)的相等，求出a，b的值即可得到結(jié)果【解答】解：因?yàn)椋╝+i）（1+i）=bi，所以a1+（a+1）i=bi，所以，解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i故答案為：1+2i10（5分）（2013天津）的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式tr+1=（1）r中x的

14、冪指數(shù)為0即可求得答案【解答】解；設(shè)的二項(xiàng)展開式中的通項(xiàng)為tr+1，則tr+1=（1）r，由6r=0得：r=4的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（1）4=15故答案為：1511（5分）（2013天津）已知圓的極坐標(biāo)方程為=4cos，圓心為c，點(diǎn)p的極坐標(biāo)為，則|cp|=【分析】求出圓的直角坐標(biāo)方程，求出圓的圓心坐標(biāo)，化p的極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式求出距離即可【解答】解：圓的極坐標(biāo)方程為=4cos，圓的方程為：x2+y2=4x，圓心為c（2，0），點(diǎn)p的極坐標(biāo)為，所以p的直角坐標(biāo)（2，2），所以|cp|=2故答案為：212（5分）（2013天津）在平行四邊形abcd中，ad=1，bad=60&

15、#176;，e為cd的中點(diǎn)若，則ab的長為【分析】利用向量的三角形法則和平行四邊形法則和數(shù)量積得運(yùn)算即可得出【解答】解：，=+=1，化為，故答案為13（5分）（2013天津）如圖，abc為圓的內(nèi)接三角形，bd為圓的弦，且bdac過點(diǎn)a做圓的切線與db的延長線交于點(diǎn)e，ad與bc交于點(diǎn)f若ab=ac，ae=6，bd=5，則線段cf的長為【分析】利用切割線定理求出eb，證明四邊形aebc是平行四邊形，通過三角形相似求出cf即可【解答】解：如圖由切角弦定理得eab=acb，又因?yàn)椋琣b=ac，所以eab=abc，所以直線ae直線bc，又因?yàn)閍cbe，所以是平行四邊形因?yàn)閍b=ac，ae=6，bd=5

16、，ac=ab=4，bc=6afcdfb，即：，cf=，故答案為：14（5分）（2013天津）設(shè)a+b=2，b0，則當(dāng)a=2時(shí)，取得最小值【分析】由于a+b=2，b0，從而=，（a2），設(shè)f（a）=，（a2），畫出此函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得出答案【解答】解：a+b=2，b0，=，（a2）設(shè)f（a）=，（a2），畫出此函數(shù)的圖象，如圖所示利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得，當(dāng)a0時(shí)，f（a）=+，f（a）=，當(dāng)a2時(shí)，f（a）0，當(dāng)2a0時(shí)，f（a）0，故函數(shù)在（，2）上是減函數(shù)，在（2，0）上是增函數(shù)，當(dāng)a=2時(shí)，取得最小值同樣地，當(dāng)0a2時(shí)，得到當(dāng)a=時(shí)，取得最小值綜合，則當(dāng)a=2時(shí)，取得

17、最小值故答案為：2三解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（13分）（2013天津）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）+6sinxcosx2cos2x+1，xr（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值【分析】（i）利用兩角和的正弦公式將sin（2x+）展開，結(jié)合二倍角的正余弦公式化簡合并，得f（x）=2sin2x2cos2x，再利用輔助角公式化簡得f（x）=2sin（2x），最后利用正弦函數(shù)的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（ii）根據(jù)x，得2x再由正弦函數(shù)在區(qū)間，上的圖象與性質(zhì)，可得f（x）在區(qū)間上的最大值為與最小值【解

18、答】解：（i）sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）f（x）=sin（2x+）+6sinxcosx2cos2x+1=sin2xcos2x+3sin2x（1+cos2x）+1=2sin2x2cos2x=2sin（2x）因此，f（x）的最小正周期t=；（ii）0x，2x當(dāng)x=0時(shí)，sin（2x）取得最小值；當(dāng)x=時(shí)，sin（2x）取得最大值1由此可得，f（x）在區(qū)間上的最大值為f（）=2；最小值為f（0）=216（13分）（2013天津）一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1，2，3，4； 白色卡片3張，編號(hào)分別為2，3，4從盒子中任取4張卡片 （假設(shè)取到任

19、何一張卡片的可能性相同）（）求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率（）在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為x，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望【分析】（i）從7張卡片中取出4張的所有可能結(jié)果數(shù)有，然后求出取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的結(jié)果數(shù)，代入古典概率的求解公式即可求解（ii）先判斷隨機(jī)變量x的所有可能取值為1，2，3，4，根據(jù)題意求出隨機(jī)變量的各個(gè)取值的概率，即可求解分布列及期望值【解答】解：（i）設(shè)取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片為事件a，則p（a）=所以，取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為（ii）隨機(jī)變量x的所有可能取值為1，2，3，4p（x=1）=p

20、（x=2）=p（x=3）=p（x=4）=x的分布列為ex=x1234p17（13分）（2013天津）如圖，四棱柱abcda1b1c1d1中，側(cè)棱a1a底面abcd，abdc，abad，ad=cd=1，aa1=ab=2，e為棱aa1的中點(diǎn)（）證明b1c1ce；（）求二面角b1cec1的正弦值（）設(shè)點(diǎn)m在線段c1e上，且直線am與平面add1a1所成角的正弦值為，求線段am的長【分析】（）由題意可知，ad，ab，aa1兩兩互相垂直，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)后，求出和，由得到b1c1ce；（）求出平面b1ce和平面cec1的一個(gè)法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，利用同角三角

21、函數(shù)基本關(guān)系求出其正弦值，則二面角b1cec1的正弦值可求；（）利用共線向量基本定理把m的坐標(biāo)用e和c1的坐標(biāo)及待求系數(shù)表示，求出平面add1a1的一個(gè)法向量，利用向量求線面角的公式求出直線am與平面add1a1所成角的正弦值，代入求出的值，則線段am的長可求【解答】（）證明：以點(diǎn)a為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，依題意得a（0，0，0），b（0，0，2），c（1，0，1），b1（0，2，2），c1（1，2，1），e（0，1，0）則，而=0所以b1c1ce；（）解：，設(shè)平面b1ce的法向量為，則，即，取z=1，得x=3，y=2所以由（）知b1c1ce，又cc1b1c1，所以b1c1平面cec1

22、，故為平面cec1的一個(gè)法向量，于是=從而=所以二面角b1cec1的正弦值為（）解：，設(shè) 01，有取為平面add1a1的一個(gè)法向量，設(shè)為直線am與平面add1a1所成的角，則=于是解得所以所以線段am的長為18（13分）（2013天津）設(shè)橢圓=1（ab0）的左焦點(diǎn)為f，離心率為，過點(diǎn)f且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為（）求橢圓的方程；（）設(shè)a，b分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)f且斜率為k的直線與橢圓交于c，d兩點(diǎn)若=8，求k的值【分析】（）先根據(jù)橢圓方程的一般形式，令x=c代入求出弦長使其等于，再由離心率為，可求出a，b，c的關(guān)系，進(jìn)而得到橢圓的方程（）直線cd：y=k（x+1），設(shè)c（x

23、1，y1），d（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，再由韋達(dá)定理進(jìn)行求解求得，利用=8，即可求得k的值【解答】解：（）根據(jù)橢圓方程為過焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為，當(dāng)x=c時(shí)，得y=±，=，離心率為，=，解得b=，c=1，a=橢圓的方程為；（）直線cd：y=k（x+1），設(shè)c（x1，y1），d（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又a（，0），b（，0），=（x1+，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1），=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2，=6+=

24、8，解得k=19（14分）（2013天津）已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn（nn*），且s3+a3，s5+a5，s4+a4成等差數(shù)列（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）設(shè)tn=sn（nn*），求數(shù)列tn的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值【分析】（）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由s3+a3，s5+a5，s4+a4成等差數(shù)列，可構(gòu)造關(guān)于q的方程，結(jié)合首項(xiàng)為的等比數(shù)列an不是遞減數(shù)列，求出q值，可得答案（）由（）可得sn的表達(dá)式，由于數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，故可分類討論求出在n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的范圍，綜合討論結(jié)果，可得答案【解答】解：（）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，s3+a3，s5+a5，s4+a4成等差數(shù)列s5+a5（s3+a3）=s4+a4（s5+a5）即4a5=a3，故q2=又?jǐn)?shù)列an不是遞減數(shù)列，且等比數(shù)列的首項(xiàng)為q=數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=×（）n1=（1）n1（）由（）得sn=1（）n=當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，sn隨n的增大而減小，所以1sns1=故0=當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，sn隨n的增大而增大，所以1sns2=故0=綜上，對(duì)于nn*，總有故數(shù)列tn的最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為20（14分）（2013天津）已知函數(shù)f（x）=x2lnx（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)