多元線性回歸模型公式（精編版）

1、二、多元線性回歸模型在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中，多個（多于兩個）要素之間也存在著相互影響、相互關(guān)聯(lián)的情況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的意義。（一）多元線性回歸模型的建立假設(shè)某一因變量y 受 k 個自變量kxxx,.,21的影響， 其 n 組觀測值為 （kaaaaxxxy,.,21） ，na,.,2, 1。那么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為：akakaaaxxxy.22110（3.2.11）式中：k,.,1,0為待定參數(shù)；a為隨機(jī)變量。如果kbbb,.,10分別為k.,210的擬合值，則回歸方程為?=kkxbxbxbb.22110（3.2.12）式中：0b為常數(shù)；kbbb,.,21稱為偏回

2、歸系數(shù)。偏回歸系數(shù)ib（ki,.,2, 1）的意義是，當(dāng)其他自變量jx（ij）都固定時，自變量ix每變化一個單位而使因變量y 平均改變的數(shù)值。根據(jù)最小二乘法原理，i（ki,.,2 ,1 ,0）的估計值ib（ki,.,2, 1 ,0）應(yīng)該使min.212211012nakakaaanaaaxbxbxbbyyyq（3.2.13）有求極值的必要條件得najaaajnaaakjxyybqyybq110),.,2,1(0202（3.2.14）將方程組（ 3.2.14）式展開整理后得：naakaknakanakaanakaanakanaaaknakaanaanaaanaanaaaknakaanaaanaa

3、naanaaknakanaanaayxbxbxxbxxbxyxbxxbxbxxbxyxbxxbxxbxbxybxbxbxnb11221211101121221221121012111121211121011112121110)(.)()()(.)(.)()()()(.)()()()(.)()(（3.2.15）方程組（ 3.2.15）式，被稱為正規(guī)方程組。如果引入一下向量和矩陣：knnnkkknkxxxxxxxxxxxxxyyyybbbbb.1.1.1.1,.,.2132313222121211121210knnnkkkknkkknntxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxa.1.

4、1.1.1.1.1112132313222121211132122322211131211nakanakaanakaanakanakaanaanaaanaanakaanaaanaanaanakanaanaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn12121111212212112111211211111211.naakanaaanaaanaanknkkknntyxyxyxyyyyyxxxxxxxxxxxxyxb11211132132122322211131211.1.111則正規(guī)方程組（3.2.15）式可以進(jìn)一步寫成矩陣形式bab（3.2.15 ）求解（ 3.2.15 ）式可得：yxxxb

5、abtt11)(（3.2.16）如果引入記號：),.,2, 1,( )(1kjixxxxllnajjaiiajiij),.,2, 1( )(1kiyyxxlnaaiiaiy則正規(guī)方程組也可以寫成：kkkykkkkkykkykkxbxbxbyblblblbllblblbllblblbl.2211022112222212111212111（3.2.15）（二）多元線性回歸模型的顯著性檢驗(yàn)與一元線性回歸模型一樣，當(dāng)多元線性回歸模型建立以后，也需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。與前面的一元線性回歸分析一樣，因變量y 的觀測值nyyy,.,21之間的波動或差異，是由兩個因素引起的，一是由于自變量kxxx,.,21的取之不同，另一是受其他隨機(jī)因素的影響而引起的。為了從 y 的離差平方和中把它們區(qū)分開來，就需要對回歸模型進(jìn)行方差分析，也就是將y 的離差平方和ts或（ lyy）分解成兩個部分，即回歸平方和u 與剩余平方和q：qulsyyt在多元線性回歸分析中，回歸平方和表示的是所有k 個自變量對y 的變差的總影響， 它可以按公式kiiyinaalbyyu121)(計算，而剩余平方和為ulyyqyynaaa21)(以上幾個公式與一元線性回歸分析中的有關(guān)公式完全相似。它們所代表的意義也相似，即回歸平方和越大，則剩余平方和q 就越小，回歸模型的效果就越好。不過，在多元線性回歸分析中， 各平方和的自由度略有