2019-2020學(xué)年廣東省高三(上)第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷(文科)

1、 第1頁（共24頁） 2019-2020 學(xué)年廣東省高三（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（文科）學(xué)年廣東省高三（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題一、選擇題 1 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知集合 mxn|5x4，n2，0，2，4，6，則 mn（ ） a0，2 b2，0，2 c2 d0，2，4 2 （3 分） （2019 秋廣東月考）sin300cos600（ ） a b c d 3 （3 分） （2019 秋廣東月考）下列選項正確的是（ ） a4.71.54.72 b clg13lg2+1 d 4 （3 分） （2019 秋廣東月考）記數(shù)列an的前 n 項和為 sn，若 a1a2a

2、n3，則a5（ ） a34 b35 c36 d37 5 （3 分） （2019 秋廣東月考） 已知 f （x） （xn）2， x2n1， 2n+1） （nz） ， 則 f （2019）（ ） a10082 b10092 c10102 d10112 6 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ） a函數(shù) f（x）的對稱軸為，且在上單調(diào)遞增 b函數(shù) f（x）的對稱軸為，且在上單調(diào)遞增 c函數(shù) f（x）的對稱中心為，且在上單調(diào)遞增 d函數(shù) f（x）的對稱中心為，且在上單調(diào)遞增 7 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知數(shù)列an中，a25a110，若對任意的 nn*，an

3、+2+anan+1，則 a2019（ ） a12 b16 c8 d10 第2頁（共24頁） 8 （3 分） （2019 秋廣東月考）函數(shù) f（x）xe|sinx|的圖象大致為（ ） a b c d 9（3 分）（2019 秋廣東月考） 邊長為 2 的正方形 abcd 中， 則（ ） a b c d 10 （3 分） （2019 秋廣東月考）將函數(shù)（0）的圖象向右平移個單位，平移后的圖象關(guān)于 y 軸對稱，則 f（x）周期的最大值為（ ） a b c d 11 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知等差數(shù)列an的前 n 項和為 sn，若 s100，s110，則 tn+最小時 n 的值為（ ） a

4、10 b11 c5 d6 12 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知函數(shù)若函數(shù) f（x）在r 上單調(diào)遞增，則實數(shù) a 的取值范圍為（ ） a b c0，2） d 二、填空題二、填空題 13 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知平面向量 （2，3） ， （6，） 若 ，則| | 第3頁（共24頁） 14 （3 分） （2019 秋廣東月考） 曲線在點 （1， e） 處的切線方程為 15 （3 分） （2019 秋廣東月考）函數(shù) f（x）cos2x+|sinx|的值域為 16 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知 an2n+1，記數(shù)列的前 n 項和為 tn，且對于任意的 nn*，則實數(shù)

5、 t 的取值范圍是 三、解答題： （一）必考題：三、解答題： （一）必考題： 17 （2019 秋廣東月考）已知abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，且，4（a2+c2）4b2+ac （1）求證：b2a； （2）若 ab12，求 c 的值 第4頁（共24頁） 18 （2019 秋廣東月考）已知首項為 3 的數(shù)列an的前 n 項和為 sn，且 （1）求數(shù)列an的通項公式； （2）求證：3，sn，sn+1sn成等差數(shù)列 第5頁（共24頁） 19 （2019 秋廣東月考）設(shè) sn等差數(shù)列an的前 n 項和，已知 a3s2+2，s3a4+2 （1）求 an； （2）若 a1，a2，成

6、等比數(shù)列，求kn的前 n 項和 tn 第6頁（共24頁） 20 （2019 秋廣東月考）已知函數(shù) f（x）（x1）ex （1）若關(guān)于 x 的方程 f（x）x 僅有 1 個實數(shù)根，求實數(shù) 的取值范圍； （2）若 x0 是函數(shù) g（x）2f（x）ax2的極大值點，求實數(shù) a 的取值范圍 第7頁（共24頁） 21 （2019 秋廣東月考）已知函數(shù) f（x）exlnx（a1）x （其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)） （1）若 ae，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）若 a1，求證：f（x） 第8頁（共24頁） （二）選考題：（二）選考題： 22 （2019 秋廣東月考）極坐標(biāo)系中，曲線 c 的極坐標(biāo)方程為 2

7、以極點為原點，極軸為 x 軸建立平面直角坐標(biāo)系 xoy，直線 l 的參數(shù)方程為（t 為參數(shù)） （1）求曲線 c 的直角坐標(biāo)方程以及直線 l 的普通方程； （2）若曲線 c 上恰有四個不同的點到直線 l 的距離等于 1，求實數(shù) a 的取值范圍 23 （2019 秋廣東月考）已知函數(shù) f（x）|x1|+|2x+4| （1）求不等式 f（x）5 的解集； （2）若 m1，n1，求證：f（mn）|2mn+4|nm| 第9頁（共24頁） 2019-2020 學(xué)年廣東省高三（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（文科）學(xué)年廣東省高三（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析參考答案與試題解析 一、選擇題一、選

8、擇題 1 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知集合 mxn|5x4，n2，0，2，4，6，則 mn（ ） a0，2 b2，0，2 c2 d0，2，4 【考點】1e：交集及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；37：集合思想；49：綜合法；5j：集合；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】可以求出集合 m，然后進行交集的運算即可 【解答】解：m0，1，2，3，n2，0，2，4，6， mn0，2 故選：a 【點評】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題 2 （3 分） （2019 秋廣東月考）sin300cos600（ ） a b c d 【考點】gf：三角函數(shù)的

9、恒等變換及化簡求值；go：運用誘導(dǎo)公式化簡求值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；56：三角函數(shù)的求值 【分析】直接利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)求解即可 【解答】解：sin300cos600sin60cos120sin60（cos60） 故選：b 【點評】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)化簡求值，是基本知識的考查 3 （3 分） （2019 秋廣東月考）下列選項正確的是（ ） a4.71.54.72 b clg13lg2+1 d 第10頁（共24頁） 【考點】72：不等式比較大小菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；6

10、1：數(shù)學(xué)抽象 【分析】利用不等式的性質(zhì)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】解：依題意，對于 a 選項，y4x是單調(diào)遞增的函數(shù)，故 4.71.54.72，故 a 錯； 對于 b，和恒大于 0，且，所以，故b 正確； 對于 c，lg13lg2+1lg2+lg10lg210lg20，故 c 錯誤； 對于 d，冪函數(shù)是單調(diào)遞增，故 d 錯誤 故選：b 【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題 4 （3 分） （2019 秋廣東月考）記數(shù)列an的前 n 項和為 sn，若 a1a2an3，則a5（ ） a34 b35 c36 d37 【考點】8h：數(shù)

11、列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】通過 n5，n4，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式，求解即可 【解答】解：當(dāng) n5 時， 當(dāng) n4 時，所以， 故選：d 【點評】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，是基本知識的考查，基礎(chǔ)題 5 （3 分） （2019 秋廣東月考） 已知 f （x） （xn）2， x2n1， 2n+1） （nz） ， 則 f （2019）（ ） a10082 b10092 c10102 d10112 【考點】3t：函數(shù)的值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；51：函數(shù)

12、的性質(zhì)及應(yīng)用 第11頁（共24頁） 【分析】根據(jù)題意，有 2019220101，則 x210101，21010+1） ，結(jié)合函數(shù)的解析式分析可得答案 【解答】解：根據(jù)題意，f（x）（xn）2，x2n1，2n+1） （nz） ， 又由 2019220101，則 x210101，21010+1） ， 則 f（2019）（20191010）210092； 故選：b 【點評】本題考查函數(shù)值的計算，注意函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題 6 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ） a函數(shù) f（x）的對稱軸為，且在上單調(diào)遞增 b函數(shù) f（x）的對稱軸為，且在上單調(diào)遞增 c函數(shù) f（x

13、）的對稱中心為，且在上單調(diào)遞增 d函數(shù) f（x）的對稱中心為，且在上單調(diào)遞增 【考點】2k：命題的真假判斷與應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；5l：簡易邏輯；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】求出函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的對稱軸，利用特殊值驗證函數(shù)的單調(diào)性，即可 【解答】解：依題意，解得 0 x3， 因為，故函數(shù) f（x）的對稱軸為，排除 c、d； 因為，故，排除 b， 故選：a 【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的對稱性的應(yīng)用，命題的真假的判斷與應(yīng)用，是基本知識的考查 7 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知數(shù)列an中，a25a110，

14、若對任意的 nn*，an+2+anan+1，則 a2019（ ） a12 b16 c8 d10 【考點】8h：數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；65：數(shù) 第12頁（共24頁） 學(xué)運算 【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的周期，然后求解 a2019即可 【解答】解：依題意，an+2an+1an，an+3an+2an+1， 兩式相加可得 an+3an，則 an+6an， 故周期為 6，故 a2019a38 故選：c 【點評】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基本知識的考查 8 （3 分） （2019

15、秋廣東月考）函數(shù) f（x）xe|sinx|的圖象大致為（ ） a b c d 【考點】3a：函數(shù)的圖象與圖象的變換菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】12：應(yīng)用題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】利用函數(shù)奇偶性和特殊點，判斷即可 【解答】解：依題意，xr，f（x）xe|sin（x）|xe|sinx|f（x） ，故函數(shù) f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除 c； 而 f（）e|sin|5，排除 b； 而， f （2） 2e|sin|2， 故，排除 d， 故選：a 第13頁（共24頁） 【點評】考查函數(shù)的圖象的判斷，用了函數(shù)的性質(zhì)和特殊值，基礎(chǔ)題 9（3

16、分）（2019 秋廣東月考） 邊長為 2 的正方形 abcd 中， 則（ ） a b c d 【考點】9o：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5a：平面向量及應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】通過建系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出向量，然后求解向量的數(shù)量積即可 【解答】解：以 a 為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則 a（0，0） ，b（2，0） ， 故，則， 故選：c 【點評】本題考查向量的坐標(biāo)運算，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力，是基礎(chǔ)題 10 （3 分） （2019 秋廣東月考）將函數(shù)（0）的圖象向右平移個單位，平移后的圖象關(guān)于

17、 y 軸對稱，則 f（x）周期的最大值為（ ） a b c d 【考點】hj：函數(shù) yasin（x+）的圖象變換菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；57：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；66：數(shù)據(jù)分析 【分析】 由題意利用兩角和差的三角公式化簡 f （x） 得解析式， 再利用函數(shù) yasin （x+）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性求得 的值，可得 f（x）周期的最大值 【解答】解：依題意，f（x）sinx+cosx2sin（x+） 的圖象向右平移個單位，可得的圖象， 第14頁（共24頁） 平移后的圖象關(guān)于 y 軸對稱，則（kz） ，故（kz） ， 故 的最小值為，則 f（x）周

18、期的最大值為， 故選：a 【點評】本題主要考查兩角和差的三角公式，函數(shù) yasin（x+）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性和周期性，屬于基礎(chǔ)題 11 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知等差數(shù)列an的前 n 項和為 sn，若 s100，s110，則 tn+最小時 n 的值為（ ） a10 b11 c5 d6 【考點】8e：數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；62：邏輯推理 【分析】只需求得得 a60，a50，即可得 n6 時 an0，可得 tn最小時 n5， 【解答】解：由，得 a60， 由，得 a50， 所以 n5 時 an0，

19、 n6 時 an0，所以 tn最小時 n5， 故選：c 【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)推理能力，屬于中檔題 12 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知函數(shù)若函數(shù) f（x）在r 上單調(diào)遞增，則實數(shù) a 的取值范圍為（ ） a b c0，2） d 【考點】5b：分段函數(shù)的應(yīng)用；6b：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 第15頁（共24頁） 【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】利用函數(shù) f（x）在 r 上單調(diào)遞增，推出 a20，則 a2；得到 yx3ax2+a在（，0上單調(diào)遞增，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

20、判斷單調(diào)性，然后求解 a 的范圍即可 【解答】解：因為函數(shù) f（x）在 r 上單調(diào)遞增， 首先在（0，+）上單調(diào)遞增， 故 a20，則 a2； 其次 yx3ax2+a 在（，0上單調(diào)遞增， 而 y3x22axx（3x2a） ， 令 y0，故 x0 或，故，即 a0； 最后，當(dāng) x0 時，； 綜合，實數(shù) a 的取值范圍為， 故選：d 【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及分段函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題 二、填空題二、填空題 13 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知平面向量 （2，3） ， （6，） 若 ，則| | 【考點】9p：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、

21、夾角菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】34：方程思想；4o：定義法；5a：平面向量及應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】根據(jù)平面向量 時 0，列方程求出 的值，再計算| |的值 【解答】解：向量 時， 0， 即 1230，解得 4， 所以 （6，4） ， 計算| |2 故答案為：2 第16頁（共24頁） 【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積表示垂直與模長的計算問題，是基礎(chǔ)題 14 （3 分） （2019 秋廣東月考）曲線在點（1，e）處的切線方程為 yex 【考點】6h：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；34：方程思想；4a：數(shù)學(xué)模型法；52：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運算

22、【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在 x1 處的導(dǎo)數(shù)值，再由直線方程的點斜式得答案 【解答】解：由， 得， ky|x1e， 所求切線方程為 yee（x1） ，即 yex 故答案為：yex 【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓(xùn)練了基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題 15 （3 分） （2019 秋廣東月考）函數(shù) f（x）cos2x+|sinx|的值域為 0， 【考點】hw：三角函數(shù)的最值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】12：應(yīng)用題；33：函數(shù)思想；4i：配方法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】利用二倍角公式和配方法，再根據(jù)|sinx|討論，求出即可 【解答】解，

23、所以當(dāng)時，f（x）取到最大值， 當(dāng)|sinx|1 時，f（x）取到最小值 0， 所以 f（x）的值域為 故答案為： 【點評】考查三角函數(shù)求最值，二倍角公式，配方法等，中檔題 第17頁（共24頁） 16 （3 分） （2019 秋廣東月考）已知 an2n+1，記數(shù)列的前 n 項和為 tn，且對于任意的 nn*，則實數(shù) t 的取值范圍是 （0，162） 【考點】8e：數(shù)列的求和菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；65：數(shù)學(xué)運算 【 分 析 】 依 題 意 ， 求 得 tn 由，可得 t162，即可求解 【解答】解：依題意， ，即，顯然 t0， ， 又，當(dāng)

24、且僅當(dāng) n3 時，等號成立， ，t162，即 0t162 故答案為： （0，162） 【點評】本題考查了裂項求和，數(shù)列恒成立問題，屬于中檔題 三、解答題： （一）必考題：三、解答題： （一）必考題： 17 （2019 秋廣東月考）已知abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，且，4（a2+c2）4b2+ac （1）求證：b2a； （2）若 ab12，求 c 的值 【考點】hr：余弦定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；58：解三角形；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】 （1） 由已知利用余弦定理可求 cosb 的值， 根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式可求 cos2a的值，可得

25、cos2acosb，由范圍 b，2a（0，） ，可得 b2a （2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求 sina，sinb 的值，利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求 sinc 的值，根據(jù)正弦定理可得 3a2b，結(jié)合 ab12，可求 a，b的值，根據(jù)正弦定理即可解得 c 的值 第18頁（共24頁） 【解答】解： （1）證明：依題意可得：， 則， 可得 cos2a2cos2a12（）21cosb， 因為 b，2a（0，） ， 故 b2a （2）依題意， 所以， 因為，即，可得 3a2b， 又 ab12， 所以，； 由，得 【點評】本題主要考查了余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基

26、本關(guān)系式，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題 18 （2019 秋廣東月考）已知首項為 3 的數(shù)列an的前 n 項和為 sn，且 （1）求數(shù)列an的通項公式； （2）求證：3，sn，sn+1sn成等差數(shù)列 【考點】8h：數(shù)列遞推式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】 （1）利用已知條件化簡數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后利用累加法轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項公式即可 （2）求出數(shù)列的和，利用等差數(shù)列的定義，轉(zhuǎn)化證明即可 第19頁（共24頁） 【解答】解： （1）因

27、為， 故， ， ， ， ， ， ， 把上面 n1 個等式疊加， 得到， 故， 而 a13，故 （2）證明：由（1）可得， ， 故， ， 所以 sn（3）（sn+1sn）sn， 故3，sn，sn+1sn成等差數(shù)列 【點評】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題 19 （2019 秋廣東月考）設(shè) sn等差數(shù)列an的前 n 項和，已知 a3s2+2，s3a4+2 （1）求 an； （2）若 a1，a2，成等比數(shù)列，求kn的前 n 項和 tn 【考點】8m：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 第20頁（共24頁） 【專題】34：方程思想；4r：轉(zhuǎn)化法；54：等

28、差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 （1） 設(shè)等差數(shù)列an的首項為 a1， 公差為 d， 由題意列關(guān)于首項與公差的方程組，求得首項與公差，則等差數(shù)列的通項公式可求； （2）分別寫出等差數(shù)列與等比數(shù)列中的，得到數(shù)列kn的通項公式，再由數(shù)列的分組求和得答案 【解答】解： （1）設(shè)等差數(shù)列an的首項為 a1，公差為 d， 由 a3s2+2，s3a4+2，得 ，解得 an1+3（n1）3n2； （2）a11，a24，且 a1，a2，成等比數(shù)列， ， 又在等差數(shù)列an中， ，即 kn的前 n 項和 tn 【點評】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及前 n 項和，考查計算能力，是中檔題 20 （2019 秋廣東

29、月考）已知函數(shù) f（x）（x1）ex （1）若關(guān)于 x 的方程 f（x）x 僅有 1 個實數(shù)根，求實數(shù) 的取值范圍； （2）若 x0 是函數(shù) g（x）2f（x）ax2的極大值點，求實數(shù) a 的取值范圍 【考點】6d：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；32：分類討論；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運算 【分析】 （1） （x1）exx，得到，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最值 （2）g（x）2f（x）ax22（x1）exax2，則 g（x）2xex2ax2x（exa） 通 第21頁（共24頁） 過若 a1，若 a1，求

30、解函數(shù)的極值，然后推出數(shù) a 的取值范圍 【解答】解： （1）依題意， （x1）exx，顯然 x0 不是方程的根， 故， 令，則， 故函數(shù) m（x）在（，0）和（0，+）上單調(diào)遞增， 且當(dāng) x時，m（x）0， 當(dāng) x 從負(fù)方向趨于 0 時以及 x+時，m（x）+， 當(dāng) x 從正方向趨于 0 時，m（x）， 作出函數(shù) m（x）的圖象如圖所示， 觀察可知，0，即實數(shù) 的取值范圍為（，0 （2）g（x）2f（x）ax22（x1）exax2， 則 g（x）2xex2ax2x（exa） 若 a1，則當(dāng) x（，0）時，x0，ex1，exa0，所以 g（x）0； 當(dāng) x（0，lna）時，x0，exaelna

31、a0，所以 g（x）0 所以 g（x）在 x0 處取得極大值 若 a1，則當(dāng) x（0，1）時，x0，exaex10，所以 g（x）0 所以 x0 不是 g（x）的極大值點 綜上所述，實數(shù) a 的取值范圍是（1，+） 【點評】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，構(gòu)造法的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于難題 21 （2019 秋廣東月考）已知函數(shù) f（x）exlnx（a1）x （其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)） （1）若 ae，求 f（x）的單調(diào)區(qū)間； 第22頁（共24頁） （2）若 a1，求證：f（x） 【考點】6b：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計算題；62：邏輯推理

32、 【分析】 （1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可求解； （2）先對 f（x）exlnx 求導(dǎo)，可得 f（x）ex在（0，+）上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的零點判定定理可知a使得 f（a）ea0，然后結(jié)合單調(diào)性可求最小值，即可證明 【解答】解： （1）f（x）exlnx（e1）x f（x）ex（e1）在（0，+）上單調(diào)遞增，且 f（1）0， 當(dāng) x（1，+） ，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng) x（0，1） ，f（x）0，函數(shù)單調(diào)遞減， 函數(shù) f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（1，+） ，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間（0，1） ； （2）a1，f（x）exlnx， f（x）ex在（0，+）上單調(diào)遞增， f（）0，f（）0， a使得 f（a）ea0 x（0，a） ，f（x）0，x（a，+） ，f（x）0， xa 時，函數(shù) f（x）取得最小值 f（a）ealna在 a單調(diào)遞減， f（a）ealnaf（）， f（x） 【點評】本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的