考前三個(gè)月高考數(shù)學(xué)(全國(guó)甲卷通用理科)知識(shí)方法篇專(zhuān)題3函數(shù)與導(dǎo)數(shù)第11練Word版含答案(精編版)

1、高效復(fù)習(xí)第 11 練研創(chuàng)新 以函數(shù)為背景的創(chuàng)新題型 題型分析 ·高考展望 在近幾年的高考命題中，以函數(shù)為背景的創(chuàng)新題型時(shí)有出現(xiàn).主要以新定義、新運(yùn)算或新規(guī)定等形式給出問(wèn)題，通過(guò)判斷、運(yùn)算解決新問(wèn)題.這種題難度一般為中檔，多出現(xiàn)在選擇題、填空題中，考查頻率雖然不是很高，但失分率較高.通過(guò)研究命題特點(diǎn)及應(yīng)對(duì)策略，可以做到有備無(wú)患.體驗(yàn)高考1.(2015湖·北 )已知符號(hào)函數(shù)sgn x1， x>0 ，0， x 0， 1， x<0.f(x)是 r 上的增函數(shù)， g(x)f(x) f( ax)(a>1) ，則()a.sgn g(x) sgn xb.sgn g(x)

2、sgnf(x)c.sgng(x) sgn xd.sgn g(x) sgnf(x)答案c解析因?yàn)?f (x)是 r 上的增函數(shù)，令f(x) x，所以 g(x) (1 a)x，因?yàn)?a1，所以 g(x) 是在 r 上的減函數(shù) .由符號(hào)函數(shù)sgn x1， x 0，0， x 0，1， x 0知，sgng(x) 1，x 0， 0， x0，1， x0.所以 sgng(x) sgn x.2.(2016 山·東 )若函數(shù) y f (x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱(chēng) y f(x)具有 t 性質(zhì).下列函數(shù)中具有t 性質(zhì)的是 ()a. y sin xb. y ln xc.

3、y exd. yx3答案a解析對(duì)函數(shù) y sin x 求導(dǎo)，得y cos x，當(dāng) x 0 時(shí)，該點(diǎn)處切線l 1 的斜率 k1 1，當(dāng) x時(shí)，該點(diǎn)處切線l2 的斜率 k2 1， k1·k2 1，l 1 l2；對(duì)函數(shù) y ln x 求導(dǎo)，得 y1xx x恒大于 0，斜率之積不可能為1；對(duì)函數(shù) ye 求導(dǎo)，得y e恒大于 0，斜率之積不可能為 1；對(duì)函數(shù)y x3 求導(dǎo)，得y 2x2 恒大于等于0，斜率之積不可能為1.故選 a.3.(2015四·川 )已知函數(shù)f(x) 2x，g( x) x2ax(其中 a r).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1， x2，設(shè)mf x1 f x2x1 x2， n

4、g x1 g x2，x1 x2現(xiàn)有如下命題：對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1， x2，都有 m0；對(duì)于任意的a 及任意不相等的實(shí)數(shù)x1， x2，都有 n 0；對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1， x2，使得 mn；對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1， x2，使得 m n.其中的真命題有 ( 寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).答案解析設(shè) a(x1， f(x1) ， b( x2 ，f(x2) ， c(x1， g( x1)， d( x2， g(x2). 對(duì)于 ，從 y 2x 的圖象可看出，m kab 0 恒成立，故 正確； 對(duì)于 ，直線 cd 的斜率可為負(fù)，即n0，故 不正確；對(duì)于 ，由 m n 得 f(x1) f(

5、x2) g( x1) g(x2)， 即 f(x1) g(x1 ) f(x2)g(x2)，令 h(x) f(x) g(x) 2x x2 ax， 則 h (x) 2x ·ln 2 2xa.由xh (x)0，得 2·ln 2 2x a， (*) 結(jié)合圖象知，當(dāng) a 很小時(shí)，方程 (*) 無(wú)解， 函數(shù) h( x)不一定有極值點(diǎn)，就不一定存在 x1， x2 使 f(x1) g(x1) f(x2) g(x2)，不一定存在 x1， x2 使得m n，故 不正確；對(duì)于 ，由 m n，得 f(x1) f(x2) g(x2 ) g(x1)，即 f(x1) g(x1 ) f(x2)g(x2)，令

6、 f(x) f( x) g(x) 2x x2 ax， 則 f (x) 2xln 2 2x a.由 f (x) 0，得 2xln 2 2x a， 結(jié)合如圖所示圖象可知，該方程有解，即 f(x)必有極值點(diǎn)，存在 x1， x2，使 f(x1 ) f(x2)，使 m n，故 正確.故 正確.4.(2015福·建 )一個(gè)二元碼是由0 和 1 組成的數(shù)字串x1x2xn(n* ，其中 xk(k 1， 2，n )n)稱(chēng)為第k 位碼元 .二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由 0 變?yōu)?1，或者由1 變?yōu)?0).已知某種二元碼x1x2x7 的碼元滿(mǎn)足如下校驗(yàn)方程組：x4x5

7、x6x70，x2x3x6x7 0，x1x3x5x7 0，其中運(yùn)算定義為 00 0，01 1， 101， 11 0.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k 位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k 等于 .答案5解析(1)x4x5x6x7 11011， (2)x2x3x6x7 1001 0；(3) x1x3x5x7 1011 1.由(1)(3) 知 x5，x7 有一個(gè)錯(cuò)誤， (2) 中沒(méi)有錯(cuò)誤， x5錯(cuò)誤，故k 等于 5.5.(2016 四·川 )在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)p(x， y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義p 的“伴隨點(diǎn)”為yxp x2 y2， x2 y2 ；當(dāng)

8、p 是原點(diǎn)時(shí)， 定義 p 的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線c 上所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線c定義為曲線c 的“伴隨曲線” . 現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn) a 的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)a，則點(diǎn)a的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)a；單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線 c 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)，則其“伴隨曲線”c關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是 ( 寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).答案解析設(shè) a 的坐標(biāo)為 (x， y)，yx則其“伴隨點(diǎn)”為ax2 y2， x2 y2 ， x x2 y2a的“伴隨點(diǎn)”橫坐標(biāo)為y)，錯(cuò)誤；y2x2 y2 x x2 y2 x，同理可得縱坐標(biāo)為y，故a ( x，2設(shè)單位圓上的點(diǎn)p

9、 的坐標(biāo)為 (cos ，sin )，則 p 的“伴隨點(diǎn)”的坐標(biāo)為p (sin ， cos )，則有 sin2 ( cos )2 1，所以 p也在單位圓上，即單位圓的“伴隨曲線”是它自身，正確；設(shè)曲線 c 上點(diǎn) a 的坐標(biāo)為 (x， y)，其關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)a1(x， y)也在曲線c 上，所以點(diǎn)yx， y x的“伴隨點(diǎn)”a ，a 的“伴隨點(diǎn)”ax2 y2x2 y2 ，點(diǎn) a11x2 y2x2 y2 ， a與 a1關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，正確；反例：例如y 1 這條直線，則a(0，1) ，b(1， 1)， c(2， 1)，這三個(gè)點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”分別，是 a (1， 0)，b 121 ， c 1，252

10、 ，而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上，下面給出嚴(yán)格證5明：x 2 y2 ，設(shè)點(diǎn) p(x，y)在直線 l ：ax by c 0 上，p 點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為p( x0，y0)，則0x y xy0 x2 y2 ， y0x x2 y2，00解得x0y 22.x0 y0 y0代入直線方程可知，a bx0 c 0，0000x2 y2x2 y2化簡(jiǎn)得 ay0 bx0 c(x2 y2 0.00)當(dāng) c 0 時(shí)， c(x2 y200)是一個(gè)常數(shù)，點(diǎn)p的軌跡是一條直線；00當(dāng) c 0 時(shí)， c(x2 y2)不是一個(gè)常數(shù)，點(diǎn)p的軌跡不是一條直線.所以，一條直線的“伴隨曲線”不一定是一條直線，錯(cuò)誤.綜上，真命題是.高考必會(huì)題型

11、題型一與新定義有關(guān)的創(chuàng)新題型例 1已知函數(shù)y f (x)(x r).對(duì)函數(shù)y g(x)(x i)，定義g(x)關(guān)于 f(x)的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”為函數(shù) y h(x)( xi )，yh( x)滿(mǎn)足：對(duì)任意x i，兩個(gè)點(diǎn) (x，h(x)，( x，g(x) 關(guān)于點(diǎn) (x，f( x)對(duì)稱(chēng) . 若 h(x) 是 g(x)4 x2關(guān)于 f(x)3x b 的“對(duì)稱(chēng)函數(shù)”，且h( x)>g(x)恒成立，則實(shí)數(shù)b 的取值范圍是 .答案(210， )2解析由已知得 h x 4 x2所以 h(x) 6x 2b4x2. h(x)>g(x)恒成立，3x b，即 6x 2b4x2 >4 x2，3x b>

12、4 x2恒成立 .在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出直線y3x b 及半圓 y4 x2(如圖所示 )，可得b 10>2，即 b>210，故答案為 (210， ).點(diǎn)評(píng)解答這類(lèi)題目關(guān)鍵在于解讀新定義，利用定義的規(guī)定去判斷和求解是這類(lèi)題目的主要解法 .變式訓(xùn)練1若函數(shù)y f(x) 在定義域內(nèi)給定區(qū)間 a， b上存在x0(a x0 b)，滿(mǎn)足f (x0) f b f a b a，則稱(chēng)函數(shù)y f(x)是 a， b上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn).例如 y |x|是 2，2 上的“平均值函數(shù)”，0 就是它的均值點(diǎn).若函數(shù) f(x) x2 mx1 是 1，1 上的“平均值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍

13、是 .答案(0， 2)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x) x2 mx1 是1， 1 上的 “ 平均值函數(shù) ” ，所以關(guān)于x 的方程x2f 1 f 1mx 12在區(qū)間 ( 1，1) 內(nèi)有實(shí)數(shù)根，即x2 mx 1 m 在區(qū)間 ( 1， 1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，即x2 mx m 1 0，解得 x m 1 或 x 1.又 1 不屬于 ( 1，1)，所以 x m 1 必為均值點(diǎn)，即1m 1 1，即 0 m 2，所以實(shí)數(shù)m 的取值范圍是(0， 2).題型二綜合型函數(shù)創(chuàng)新題例 2以 a 表示值域?yàn)閞 的函數(shù)組成的集合，b 表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)(x)組成的集合： 對(duì)于函數(shù) (x)，存在一個(gè)正數(shù)m，使得函數(shù)(x)的值域包含于區(qū)間

14、m， m.例如，當(dāng)1( x)x3，2( x) sin x 時(shí)， 1(x) a， 2(x) b.現(xiàn)有如下命題：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閐，則“ f( x)a”的充要條件是“? b r，? a d， f(a)b”；函數(shù) f(x) b 的充要條件是f(x)有最大值和最小值；若函數(shù)f(x)， g(x)的定義域相同，且f (x) a，g( x) b，則 f(x) g( x)? b；若函數(shù)f(x) aln( x2) 2 x(x> 2， a r )有最大值，則f(x) b.x 1其中的真命題是 .( 寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))答案解析因?yàn)?f(x) a，所以函數(shù)f(x)的值域是r，所以滿(mǎn)足 ? br ，?

15、 a d， f(a) b，同時(shí)若? b r，? ad ，f(a) b，則說(shuō)明函數(shù)f(x)的值域是r ，則 f (x) a，所以 正確；令 f( x)1 x， x (1， 2 ，取 m 1，則 f(x)? 1， 1 ，但是 f( x)沒(méi)有最大值， 所以 錯(cuò)誤；因?yàn)?f(x) a，g(x) b 且它們的定義域相同(設(shè)為 m，n) ， 所以存在區(qū)間 a，b? m，n，使得 f(x)在區(qū)間 a， b上的值域與g(x)的值域相同，所以存在x0? a， b，使得 f(x0)的值接近無(wú)窮，所以f(x) g(x)? b，所以 正確；因?yàn)楫?dāng)x> 2 時(shí)，函數(shù) yln( x 2)的值域是 r，所以函數(shù)f(x

16、)若有最大值， 則 a 0，此時(shí) f( x) 2 x.因?yàn)閷?duì) ? xr ，x2 12|x|，所以 1 2 x 1x 12x 12.11即 f(x) 22，故 f(x) b，所以 正確.點(diǎn)評(píng)此類(lèi)題目包含了與函數(shù)有關(guān)的較多的概念、性質(zhì)及對(duì)基本問(wèn)題的處理方法.解答這類(lèi)題目，一是要細(xì)心，讀題看清要求；二是要熟練掌握函數(shù)的基本性質(zhì)及其判斷應(yīng)用的方法，掌握基本函數(shù)的圖象與性質(zhì)等.變式訓(xùn)練2如果 yf(x)的定義域?yàn)閞，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，存在實(shí)數(shù)a 使得 f(x a) f( x)成立，則稱(chēng)此函數(shù)具有“p(a) 性質(zhì)” . 給出下列命題：函數(shù) y sin x 具有“ p(a)性質(zhì)”；若奇函數(shù)y f(x)具

17、有“ p(2)性質(zhì)”，且f(1) 1，則 f(2 015) 1；若函數(shù)y f(x)具有“ p(4)性質(zhì)”，圖象關(guān)于點(diǎn)(1， 0)成中心對(duì)稱(chēng)，且在( 1， 0)上單調(diào)遞減，則 y f(x)在( 2， 1)上單調(diào)遞減，在(1， 2)上單調(diào)遞增；若不恒為零的函數(shù)y f(x)同時(shí)具有“ p(0) 性質(zhì)”和“ p(3) 性質(zhì)”， 則函數(shù) y f(x)是周期函數(shù).其中正確的是 ( 寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)).答案解析 因?yàn)?sin ( x) sin x sin (x) ，所以函數(shù)ysin x 具有 “ p( a)性質(zhì)” ，所以 正確；因?yàn)槠婧瘮?shù)y f(x) 具有“ p(2)性質(zhì) ”， 所以 f( x2) f

18、( x) f(x)，所以 f( x4) f(x)，周期為4， 因?yàn)?f(1) 1，所以 f(2 015) f(3) f(1) 1.所以 不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y f(x)具有 “p(4)性質(zhì) ”， 所以 f( x4) f( x)，所以 f( x)的圖象關(guān)于直線x 2 對(duì)稱(chēng)， 即 f(2 x) f(2 x)，因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)(1， 0)成中心對(duì)稱(chēng)，所以 f(2 x) f (x)，即 f(2 x) f ( x)， 所以得出f(x) f( x)， f(x)為偶函數(shù)，因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)(1， 0)成中心對(duì)稱(chēng)，且在 ( 1， 0)上單調(diào)遞減，所以圖象也關(guān)于點(diǎn)( 1，0)成中心對(duì)稱(chēng)， 且在 ( 2， 1)上單調(diào)遞減；

19、根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性得出在(1， 2)上單調(diào)遞增，故 正確；因?yàn)榫哂?“ p(0)性質(zhì) ”和“ p(3)性質(zhì) ” ，所以 f( x) f( x)， f(x 3) f( x) f(x)， 所以 f( x)為偶函數(shù)，且周期為3，故 正確.高考題型精練1. 對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a 0，使得 x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f(x) f(2a x)，則稱(chēng) f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)，下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()a. f(x) cos(x 1)b. f(x) xc.f(x) tan xd. f(x) x3答案a解析 由題意知，若 f(x)是準(zhǔn)偶函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x a， a 0，選項(xiàng) b ，c，d

20、 中，函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸；函數(shù) f(x) cos(x1) ，有對(duì)稱(chēng)軸，且 x 0 不是對(duì)稱(chēng)軸，選項(xiàng) a 正確 . 故選 a.2，2ab 2.設(shè) f(x)的定義域?yàn)閐，若 f(x)滿(mǎn)足條件： 存在 a，b ? d，使 f(x)在 a，b上的值域是，4則稱(chēng) f( x)為“倍縮函數(shù)” . 若函數(shù)f(x) ln(ex t) 為“倍縮函數(shù)”，則t 的范圍是 () a. 1，b.(0 ， 1)11c. 0， 2d. 0， 4答案d解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x) ln(ext)為“ 倍縮函數(shù) ”，所以存在 a， b? d，使 f(x)在 a， b上的值域是 a， b ，22因?yàn)楹瘮?shù)f(x) ln(e x t) 為增函數(shù)，

21、aln e所以a a t2，ea t e 2 ，b 即b2ln eb t ，eb t e 2 ，x即方程 exe 2 t 0 有兩個(gè)不等的正根， 1 2 4t0，1即 t 0，解得 t 的范圍是0， 4 .3. 設(shè)函數(shù) y f(x)的定義域?yàn)閐，若對(duì)于任意x1，x2 d 且 x1x2 2a，恒有 f(x1)f(x2) 2b， 則稱(chēng)點(diǎn) (a， b)為函數(shù) y f( x) 圖象的對(duì)稱(chēng)中心.研究并利用函數(shù)f (x) x3 3x2 sin x 的對(duì)稱(chēng)中心，可得f(1) f(2) f(4 0304 031f(等于()2 0162 016) 2 016) 2 016a. 16 124b.16 124c.8

22、 062d.8 062答案c解析如果 x1x2 2，則 f(x1) f(x2) x3 3x2 sinx1 x3 3x2 sinx2 x3 3x2sinx111(2 x1)3 3(2 x1)2 sin(2 x1) 4.2211令 s f(1) f(2) f(4 030 ) f(4 031)，2 0162 0162 0162 016又 s f(4 031 ) f(4 030) f(1)，2 0162 0162 016兩式相加得2s 4× 4 031 ，所以 s 8 062. 故選 c.4. 函數(shù) f(x)在a， b 上有定義，若對(duì)任意x1， x2 a， b，有 fx1 x212 2 f(

23、x1) f( x2) ，則稱(chēng)f(x)在a， b上具有性質(zhì)p.設(shè) f(x)在1 ， 3 上具有性質(zhì)p，現(xiàn)給出如下命題：f(x)在1 ， 3 上的圖象是連續(xù)不斷的；f(x2)在1，3 上具有性質(zhì)p；若 f( x)在 x 2 處取得最大值1，則 f(x) 1，x 1 ， 3 ；對(duì)任意x，x ，x ，x 1 ，3 ，有 f x1 x2 x3 x4 1412344 f(x1) f(x2)f(x3) f (x4). 其中真命題的序號(hào)是 ()a. b. c.d. 答案d解析令 f(x)1， x1，0， 1<x<3，1， x3，可知對(duì) ? x1， x21 ， 3 ，都 有 f x1 x2 1f (

24、x) f(x) ，2212但 f(x)在1 ， 3 上的圖象不連續(xù)，故不正確； 令 f(x) x，則 f(x)在1 ， 3 上具有性質(zhì)p，但 f(x2) x2 在1 ，3 上不具有性質(zhì)p，因?yàn)?(x1 x2 22 x2x2 x2 2x1x221241222 x2 x212 42x12) 2 f(x1)f(x2) ，故 不正確；對(duì)于 ，假設(shè)存在 x0 1 ，3 ，使得 f(x0) 1， 因?yàn)?f( x)max f(2) 1， x 1 ， 3 ，所以 f( x0)<1. 又當(dāng) 1 x0 3 時(shí)，有 14 x0 3，由 f(x)在1 ， 3 上具有性質(zhì) p，得x0 4 x0f(2) f 1f(

25、 x) f(4 x)，2200由于 f( x0)<1 ， f(4 x0) 1，與上式矛盾. 即對(duì) ? x 1 ， 3，有 f( x) 1，故 正確. 對(duì)于 ，對(duì)? x1， x2， x3， x4 1 ， 3 ，x1 xf2 x 43 x4 fx1 x222x3 x4 2f1x1 x2 22 fx3 x4 21 122 2f x1 f x2 1f x3 f x4 41 f(x1)f(x2) f(x3) f(x4) ，故 正確.5.已知函數(shù)f(x) 1 |2x1|，x0 ，1. 定義： f1(x) f(x)，f 2(x) f f1(x) ，fn(x) ffn 1(x) ， n 2， 3， 4，

26、滿(mǎn)足fn(x) x 的點(diǎn) x 0 ， 1 稱(chēng)為 f(x)的 n 階不動(dòng)點(diǎn) .則 f(x)的 n 階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ()a. nb.2 n2c.2(2n 1)d.2 n答案d解析函數(shù) f (x) 1 |2x1|122x， 0 x ，12 2x， x 1， 21當(dāng) x 0， 2 時(shí)， f1 (x) 2x x? x 0，當(dāng) x 121 時(shí)， f1(x) 2 2x x? x2，3f 1(x)的 1 階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.當(dāng) x 0， 14時(shí)， f1(x) 2x， f2(x)4x x? x 0，當(dāng) x112245，時(shí)， f1 (x) 2x， f2(x)2 4x x? x ，42132當(dāng) x，時(shí)， f1 (

27、x) 2 2x， f2 (x) 4x 2 x? x 3，當(dāng) x 341 時(shí)， f1 (x) 2 2x， f2 (x) 4 4x x? x 4.5.f 2(x)的 2 階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為22，以此類(lèi)推，f(x)的 n 階不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2n6.若集合 a 1 ，2，3，k ，b 4 ，7，a4 ，a2 3a ，其中 a n *，k n*，f：x y 3x 1， xa， yb 是從定義域a 到值域 b 的一個(gè)函數(shù)，則a k .答案7解析由對(duì)應(yīng)法則知1 4，2 7，3 10， k 3k 1，又 an *， a4 10， a2 3a 10， 解得 a 2(舍去 a 5)，所以 a4 16，于是 3k1 1

28、6， k 5. ak 7.7. 如果定義在r 上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有 x1f(x1) x2f(x2) x1f(x2)x2f(x1)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為“ h 函數(shù)” . 給出下列函數(shù)：2xln|x|， x 0，y x； y e 1； y 2x sin x； f(x)0，x 0.以上函數(shù)是“h 函數(shù)”的所有序號(hào)為 . 答案解析 由已知 x1f(x1) x2f(x2) x1f(x2) x2f(x1)得(x1 x2) ·f (x1) f(x2) 0，所以函數(shù) f(x)在 r上是增函數(shù) .對(duì)于 ，y x2 在( ，0)上為減函數(shù)，在 (0， )上為增函數(shù)，其

29、不是 “h 函數(shù)” ；對(duì)于 ， y ex 1 在 r 上為增函數(shù)，所以其為 “h 函數(shù) ” ；對(duì)于 ，由于 y 2cos x 0 恒成立，所以y 2xsin x 是增函數(shù)，所以其為“ h 函數(shù)” ；對(duì)于 ，由于其為偶函數(shù)，所以其不可能在r 上是增函數(shù)，所以不是“h 函數(shù)”.綜上知，是 “ h 函數(shù) ”的序號(hào)為 .8. 已知二次函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為b，b(0<b<a 1)，f(0) b2.定義 card(a)：集合 a1 a1a中的元素個(gè)數(shù).若“ .答案(1， 2)x a，card az 4”是“ f( x)>0 ”的充要條件，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是解析由條件可得f(x

30、) (1 a2)(xb)(xbx a，)，結(jié)合知 a>1，所以 f( x)1 a1 acard a z 4開(kāi)口向下，所以f(x)>0 的解集為b，b，且 0<b<1. 結(jié)合數(shù)軸分析，知4b<1 a1 a1 a1 a3，即 3a 3<b 4a 4，又 0<b<a 1，所以 3a 3<b<a1，得 1<a<2.9. 設(shè) f(x)是定義在 (0， )上的函數(shù)，且f(x) 0，對(duì)任意a 0， b0，若經(jīng)過(guò)點(diǎn) (a， f(a)， (b， f (b)的直線與x 軸的交點(diǎn)為 (c，0)，則稱(chēng) c 為 a，b 關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)，

31、記為 mf (a，b). 例如，當(dāng) f(x)1(x 0)時(shí)，可得m (a， b) c ab，即 m (a， b)為 a， b 的算術(shù)平均數(shù).f2f(1) 當(dāng) f(x) ( x0)時(shí)， mf (a， b)為 a， b 的幾何平均數(shù)；2ab(2) 當(dāng) f(x) ( x0)時(shí)， mf (a， b)為 a， b 的調(diào)和平均數(shù).a b(以上兩空各只需寫(xiě)出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可)答案(1)x(2) x解析設(shè) a(a， f(a)， b(b， f( b)， c(c，0)，則三點(diǎn)共線.(1) 依題意， cab，則求得 f aa f b ，b故可以選擇f (x)x(x 0).(2) 依題意， c 2ab ，求得

32、f a f b ，a bab故可以選擇f (x) x(x 0).10. 對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在區(qū)間m a， b( 其中 a<b)，使得 y|y f(x)， x m m，則稱(chēng)區(qū)間m 為函數(shù) f(x) 的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”. 給出下列4 個(gè)函數(shù)：f(x) (x 1)2； f(x) |2x 1|；f(x) cos x2x； f(x) e .其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)是答案 .( 填出所有滿(mǎn)足條件的函數(shù)序號(hào))解析據(jù)已知定義，所謂的“ 穩(wěn)定區(qū)間 ”即函數(shù)在區(qū)間a， b內(nèi)的定義域與值域相等.問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)y f(x)的圖象與直線y x 是否相交，若相交則兩交點(diǎn)所在區(qū)間即為函數(shù)的 “ 穩(wěn)定區(qū)間

33、”.數(shù)形結(jié)合依次判斷， 均符合條件，而 不符合條件 .綜上可知， 均為存在 “ 穩(wěn)定區(qū)間 ” 的函數(shù) .x11. 若函數(shù) f(x)在定義域d 內(nèi)的某個(gè)區(qū)間i 上是增函數(shù)， 且 f(x) f x在 i 上是減函數(shù)， 則稱(chēng) yf(x)在 i 上是“非完美增函數(shù)” . 已知f(x) ln x， g(x) 2x(1) 判斷 f(x)在(0， 1 上是否為“非完美增函數(shù)”；2aln x(a r). x(2) 若 g(x)在1 ， )上是“非完美增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .解(1) 易知 f (x)1 x0 在(0 ，1 上恒成立， 所以 f( x) ln x 在(0，1 上是增函數(shù) .f(x) f

34、 x xln x，求導(dǎo)得f (x)1 ln xx立，所以 f(x)ln xxx2，因?yàn)?x (0， 1 ，所以 ln x 0，即 f (x) 0 在(0， 1 上恒成在(0 ，1 上是增函數(shù) .由題意知， f(x) 在(0， 1 上不是 “非完美增函數(shù)”.(2) 若 g(x) 2x2 aln x(a r )在1 ， )上是 “非完美增函數(shù)” ，則 g(x) 2x2aln xx在1 ， )上單調(diào)遞增， g(x) g x 2 2 aln x1， )上單調(diào)遞減 . xxx2x在2 若 g(x)在1 ， )上單調(diào)遞增，則g (x) 2 2xa0 在1 ， )上恒成立，即a 2 xx2x 在1 ， )上

35、恒成立 .令 h(x) 22x， x 1 ， )，因?yàn)?h (x) 2 2 0 恒成立，xx2所以 h(x)在1 ， )上單調(diào)遞減， h( x)max h(1) 0，所以 a0.3若 g(x)在1 ， )上單調(diào)遞減，則g (x) 4xa 1 ln xx2 0 在1 ， )上恒成立，即 4 ax axln x 0 在1 ， )上恒成立 .令 t( x) 4 axaxln x，x 1 ， )，因?yàn)?t( x) aln x，由 知 a 0，所以 t ( x)0 恒成立，所以t(x) 4 axaxln x 在1 ， )上單調(diào)遞減，則t(x)max t(1) a 4.要使 t(x) 4 axaxln x

36、 0 在1 ， )上恒成立，則a4 0，即 a 4，此時(shí) g (x) 4 a 1 ln x3x綜合 知，實(shí)數(shù)a 的取值范圍為0， 4. 12.已知函數(shù)f(x) ax ln x，g(x) ex.(1) 當(dāng) a0 時(shí)，求 f (x)的單調(diào)區(qū)間；x mx2 0 在1 ， )上恒成立 .(2) 若不等式g(x)有解，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；x(3) 定義：對(duì)于函數(shù)y f(x)和 yg(x)在其公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x0，稱(chēng)|f(x0) g(x0)|的值為兩函數(shù)在x0 處的差值 .證明：當(dāng)a 0 時(shí)，函數(shù)y f(x)和 y g(x)在其公共定義域內(nèi)的所有差值都大于2.1(1) 解f(x)的定義域是 (0，

37、 )， f (x) a x(x 0).當(dāng) a 0 時(shí)， f ( x)0，f(x)在(0， )上單調(diào)遞增；當(dāng) a 0 時(shí)，由 f (x) 0，解得 x 1，a則當(dāng) x (0， 1a)時(shí)， f ( x)0， f(x)單調(diào)遞增，當(dāng) x (1)時(shí)， f (x)0， f(x)單調(diào)遞減 . ， a綜上，當(dāng)a 0 時(shí)， f(x)在(0， )上單調(diào)遞增；當(dāng) a 0 時(shí)， f(x)在(0， 1a) 上單調(diào)遞增，在(1， )上單調(diào)遞減 .a(2) 解由題意： ex x mx有解，即exx xm 有解，因此只需m x exx， x (0， )有解即可 .設(shè) h(x) x exx，h (x) 1 exxexx2x 1

38、 e (x12x).x12x 2122 1，且 x (0， )時(shí) ex 1，1 ex(x1) 0，即 h( x) 0，2x故 h(x) 在(0， )上單調(diào)遞減 .h(x) h(0) 0，故 m 0.(3) 證明當(dāng) a 0 時(shí)， f(x)ln x， f(x)與 g(x)的公共定義域?yàn)?0， )，|f(x) g(x)| |ln x e | exx ln x ex x (ln x x).設(shè) m(x) ex x 0，則 m (x) ex 1 0， x (0， )，m(x)在(0， )上單調(diào)遞增， m(x) m(0) 1.又設(shè) n(x) ln x x， x (0， )， n (x) 11，x當(dāng) x (0， 1)時(shí)， n (x) 0， n(x)單調(diào)遞增， 當(dāng) x (1，