(完整word)平方差公式與完全平方公式知識點總結(jié),推薦文檔

1、乘法公式的復(fù)習(xí) 一、平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2-b 2 歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運用公式： 位置變化， x y y x x2 y2 符號變化， x y x y x 2 y2 x 2 y2 指數(shù)變化， x2 y2 x2 y2 x4 y4 系數(shù)變化， 2a b 2a b 4a2 b2 換式變化， xy z m xy z m 22 xy z m 22 xy z m z m 2 2 2 2 x y z zm zmm 2 2 2 2 x y z 2zmm 增項變化， xyzxyz 22 x y z 2 x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y

2、z 22 連用公式變化， x y x y x2 y2 2 2 2 2 x y x y 44 xy 逆用公式變化， x y z 2 x y z x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz 完全平方公式 活用： 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公 式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式： 2 2 2 1. a b 2ab a2 b2 2. a b 2ab a2 b2 3. a b 2 a b 2 2 a2 b2 22 4. a b a b 4ab 靈活運用這些公式， 往往可以處理一些特殊的計算問題， 培養(yǎng) 綜合運用知識的能力。

3、 例 1已知 a b 2， ab 1， 求a2 b2 的值。 例 已知 a b 8 ， ab 2， 求 (a b)2 的值。 解：T (a b)2 a2 2ab b2 (a b)2 a2 2ab b 22 二(a b) (a b) 4ab o o 二(a b) 4ab = (a b) a b 8，ab 2 2 (a b) 8 4 2 56 例 3 已知 a b 4，ab 5，求 a2 b2 的值。 解： a2 b2 a b 2 2ab 42 2 5 26 三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題 (一) 、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)” 例 1 計算 (-2 x2-5)(2 x2-5) 分析：本

4、題兩個因式中“-5 ”相同，“2x2”符號相反，因而“-5 ” 是公式(a+b)( a-b)二二a2-b2中的a,而“ 2x2”則是公式中的b. 例 2 計算(-a2+4b)2 分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2”就是公式中的a, “ 4b”就是公式中的b;若將題目變形為(4 b- a2)2時， 則“4b”是公 式中的a,而“ a2”就是公式中的b.(解略) (二) 、注意為使用公式創(chuàng)造條件 例 3 計算(2x+y-z+5)(2 x-y+z+5). 分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、 “5”兩項同號，“ y”、“z”兩項異號，因而，可運用添括

5、號的技 巧使原式變形為符合平方差公式的形式 2 4 8 例 5 計算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) 分析：此題乍看無公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一項( 2-1), 則可運用公式,使問題化繁為簡 (三) 、注意公式的推廣 計算多項式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到： (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 可敘述為： 多項式的平方， 等于各項的平方和， 加上每兩項乘積 的 2 倍 例 6 計算(2 x+y-3) 2 2 2 2 解：原式=(2x) +y +(-3) +2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3) 22 =4

6、x +y +9+4xy-12 x-6 y (四) 、注意公式的變換，靈活運用變形公式 例 7 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2y)2 的值. 22 例 10 計算(2a+3b) -2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算， 但逆 用完全平方公式，則運算更為簡便. 四、怎樣熟練運用公式： 熟悉常見的幾種變化 有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計 算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點. 常見的幾種變化是： 1、 位置變化 女口( 3x+5y) (5y 3x)交換3x和5y的位置后即 可

7、用平方差公式計算了. 2、 符號變化 女如 ( 2m 7n) (2m 7n)變?yōu)橐?2m+7n) (2m 7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？) 3、 數(shù)字變化 女口 98X 102, 992, 912等分別變?yōu)?1002) (100+2, (100-1) 2, (90+1) 2后就能夠用乘法公式加以解答了. 4、 系數(shù)變化 女口( 4n+= ) (2m n )變?yōu)?2 (2n+1) (2n n ) 2 4 4 4 后即可用平方差公式進行計算了. (四)、注意公式的靈活運用 有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭?使計算更簡便.如計算(a2+1) 2

8、(a2 1) 2,若分別展開后再相乘， 則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算， 則非常簡便.即 原式=(a2+1) (a2 1) 2= (a4 1) 2=a8 2a4+1. 對數(shù)學(xué)公式只會順向(從左到右)運用是遠遠不夠的，還要注意 逆向(從右到左)運用.如計算(1 1) (1 土) (1 4 )( 1 2 3 4 右)(1 掃)，若分別算出各因式的值后再行相乘， 不僅計算繁難， 9 10 而且容易出錯.若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公 式，則可巧解本題. 即原式=(1 寸)(1+2) (1 三)(1+彳)XX( 1 -1) (1+-1) 2 2 3 3 10 10 =丄 X

9、 3 X 2 X 4 XX 9 X 11 =丄 X 耳二耳. 2 2 3 3 10 10 2 10 20 有時有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變 式，乘法公式的變式主要有：a2+b2= (a+b) 2 2ab，a2+b2= (a b) 2+2ab 用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效. _ 2 2 2 2 如已知 m+n=7, mr=- 18,求 m+n , m- mi+ n 的值. 面對這樣的問題就可用上述變式來解， 即 m+n2二二(m+n) 2-2mr=72-2x( 18) =49+36=85, m mr+ n2= (m+n) 2 3mrr72 3x( 18) =

10、103. 下列各題，難不倒你吧？！ 1、 若 a+l=5,求(1) a2+A , (2) (a-丄)2的值. a a a 2、 求(2+1) (22+1) (24+1) (28+1) ( 216+1) (232+1) (264+1) +1 的末位數(shù)字. (答案：1. (1) 23; (2) 21. 2. 6 ) 五、乘法公式應(yīng)用的五個層次 2 2 2 2 乘法公式：(a + b)(a b)=a b , (a 士 b)=a 士 2ab + b , (a 士 b)(a 2 士 ab+ b2)=a3 士 b3. 第一層次一一正用 即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用. 例1計算 (2x

11、y)(2x y). 第二層次一一逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用. 例2計算 第三層次一一活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù) 使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式. 例 3 化簡：(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8 + 1) + 1. 分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有規(guī)律，如果再增 添一個因式“ 2- 1 ”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解. 解原式=(2 1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1 =(22 - 1)(2 2 + 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) +仁216. 第四層次一一變

12、用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式 _ 2 2 2 3 3 3 的一些恒等變形式，如 a + b =(a + b) 2ab, a + b =(a + b) 3ab(a + b)等，則求解十分簡單、明快. 例 5 已知 a + b=9, ab=14,求 2a2 + 2b2 的值. 2 2 2 V a + b=9, ab=14,.2a + 2b =2(a + b) 2ab=2(9 2 14)=106 , 第五層次 - 綜合后用 ：將(a + b) 2=a2 + 2ab+ b2和(a b)2=a2 解: 2ab + b 綜合， 可得(a + b)2+ (a b)2=2(a2 + b2); (a

13、 + b)2 (a b) 2=4ab; 新穎、簡捷. 例 6 計算：(2x + y z + 5)(2x y + z + 5). 解：原式 =1 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5) 2-1 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5) 2 4 4 =(2x + 5)2 (y z) 2=4x2 + 20 x + 25 y2 + 2yz z2 乘法公式的使用技巧： 提出負(fù)號：對于含負(fù)號較多的因式，通常先提出負(fù)號，以避免 負(fù)號多帶來的麻煩。 例1、運用乘法公式計算： (1) (-1+3x)(-1-3x) ; (2) (-2m-1) 2 改變順序：運用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排 列順

14、序，可以使公式的特征更加明顯. 例2、運用乘法公式計算： 11 1a 2 (1)行亠二匕)(-4b - 3 )； ( 2) (x-1/2)(x 2+1/4)(X+1/2) 逆用公式 將幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得 合理地利用這些公式處理某些問題顯得 a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得 anbn=(ab) n,等等，在解 題時常會收到事半功倍的效果。 例3、計算： (1)(x/2+5) 2-(X/2-5) 2; (2)(a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完 全相同的項調(diào)到各因式的

15、前面，視為一組；符號相反的項放在后面， 視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。 計算：(1)(x+y+1)(1-x-y); ( 2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 先提公因式，再用公式 例2.計算：8X 4X 2 4 簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的 X的系數(shù)成 倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個多 項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)? 4x丿，則可利用乘法公式。 4 三.先分項，再用公式 例 3.計算：2X 3y 2 2X 3y 6 簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著 手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，X的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法 公式。進而分析如何將常數(shù)進行變化。若將