哈爾濱工程大學試卷2019級《高等數(shù)學下》期末試題

1、班級：學號：姓名：裝訂線第 1 頁共 4 頁第 2 頁共 4 頁一、選擇題（每小題3 分, 共 15 分）1. 設(shè)函數(shù)222222221()sin,0( , )0,0 xyxyxyf x yxy, 則. (a) ( , )f x y在點(0,0)處不連續(xù)(b) ( , )f x y的偏導函數(shù)在點(0,0)處連續(xù)(c) ( , )f x y的偏導函數(shù)在點(0,0)處的極限存在(d) ( , )f x y在點(0,0)處可微2. 設(shè) 函 數(shù)( , )zf x y具 有 二 階 連 續(xù) 偏 導 數(shù) , 在000(,)p xy處 有0()0,xfp0()0,yfp00()()0,xxyyfpfp00(

2、)()2xyyxfpfp, 則. (a) 點0p 是函數(shù) z 的極大值點(b) 點0p 是函數(shù) z的極小值點(c) 點0p 不是函數(shù) z的極值點(d) 無法判定3. 設(shè)d是xoy面上以(1,1),( 1,1),( 1,1)為頂點的三角形區(qū)域 , 1d 是d中在第一象限的部分 , 則積分33(cossin )ddx yxy. (a) 132cossinddxy(b) 132ddx y(c) 1334(cossin)ddx yxy(d) 0 4. 設(shè)為 曲 面222(0)xyrr上01z的 部 分 , 則 曲 面 積 分2222esin()dxyxys. (a) 0 (b) 2e sinrrr(c

3、) 4 r(d) 22e sinrrr5. 下列級數(shù)中 , 條件收斂的是. (a) 1( 1)1nnnn(b) 1( 1)nnn(c) 21( 1)nnn(d) 31sinnn二、填空題（每小題3分, 共 30 分）1. 由方程1xyz所確定的函數(shù)( , )zz x y在點(1,1,1)處的全微分dz. 2. 函數(shù)22uxyz 在點(2, 1,1)處方向?qū)?shù)的最大值為. 3. 曲線221()44zxyy在點(2,4,5)處的切線方程為. 4. 設(shè)22(4)d ddixyx y , 其中22( , )|4dx yxy, 則i的值為. 5. 二次積分32211dsindxxyy的值為.6. 設(shè) 空

4、間 立 體由 球 面1222zyx所 圍 成, 上 任 一 點 的 體 密 度是222( , , )x y zxyz , 則此空間立體的質(zhì)量為. 7. 設(shè) 曲 線是 球 面2221xyz與 平面0 xyz的 交 線, 則 曲 線 積 分2dxs的值為. 8. 矢 量 場232(3)()(2)ax yz iyxzjxyz k在 點 (1,0,0) 處 的 旋 度(1,0,0)rot|a. 9. 常數(shù)項級數(shù)112nnn的和為. 哈爾濱工程大學本科生考試試卷（2016-2017 年第二學期）2017-7-3 課程編號 : 201411002課程名稱 : 微積分 a（二） a 卷裝訂線第 3 頁共 8

5、 頁第 4 頁共 8 頁10. 設(shè)( )f x是 周 期 為4的 周 期 函 數(shù) , 它 在 2,2) 上 的 表 達 式 為32,20( ),02xf xxx, ( )s x為)(xf的傅里葉級數(shù)的和函數(shù) , 則(10)s. 三、計算題（每小題8 分, 共 40 分）1. 設(shè)函數(shù)(2,sin)zfxy yx, 其中( , )f u v具有二階連續(xù)偏導數(shù) , 求2zx y. 2. 計算曲線積分22dd4lx yy xxy, 其中l(wèi)是圓周4) 1(22yx, 方向為逆時針方向. 3. 計算曲面積分d dd dd dx y zy z xz x y , 其中為曲面22zxy 介于0z和1z之間部分的

6、下側(cè) .4. 將函數(shù)21( )32f xxx展開成 x的冪級數(shù) , 并給出收斂域 . 5. 設(shè)( )f x是周期為2的周期函數(shù) , 它在,)上的表達式為( )2xf x, 將( )f x展開成周期為2的傅里葉級數(shù) .四、應用題（ 10 分）在橢球面2222221(0,0,0)xyzabcabc內(nèi)做一個內(nèi)接的長方體 (各邊分別平行于坐標軸 ), 求其體積最大值 . 五、證明題（ 5 分）設(shè)函數(shù)( )f z連續(xù), 是由球面2221xyz所圍成的閉區(qū)域 . 證明: 121( )d( )(1)dfzvf zzz. 微積分 a（二） a 卷期末考試答案及評分標準（2017 年 7 月 3 日）一、單項選

7、擇題（每小題3 分, 共 15 分）1. d; 2. c; 3. a; 4. d; 5. b. 二、填空題（每小題3 分, 共 30 分）1. ddxy; 6. 45; 2. 2 6 ; 7. 23; 3. 245101xyz; 或34zxy或524zxy或245xtyzt8. (0,1, 3)或3jk; 4. 8; 9. ln 2; 5. 1(1cos4)2; 10. 5. 三、計算題（每小題8 分, 共 40 分）1. 解答: 122coszfyx fx; .4 分21112221222( 1)sin coscos ( 1)sin zffxfxyx ffxx y11122222(2sinc

8、os )sincoscosfxyx fyxx fx f . .4 分2. 解答: 設(shè)224ypxy, 224xqxy, 有222224(4)qpyxxyxy. .2 分班級：學號：姓名：裝訂線第 5 頁共 4 頁第 6 頁共 4 頁做小橢圓222: 4lxy, 方向為逆時針方向 , 并記由 l 所圍成的區(qū)域為 d , 則. 2分22dd4lx yy xxylll210ddlx yy x. 2分22dd. .2 分3. 解答: 補面22:1,1zxy, 方向取上側(cè) . .2分設(shè)為由曲面和圍成的閉區(qū)域 , 22:1d xy, 則有(1 1 1)d1d dvx y.2分103dd d1d dzddz

9、x yx y(222:zdxyz ) （或211003ddd1d drdr rzx y）322. .4 分4. 解答: 2111( )3212f xxxxx2分01( 1)(| 1)1nnnxxx. 2分1001111( 1) ()( 1)( |2)2222212nnnnnnnxxxxx.2分21( )32f xxx100( 1)( 1)2nnnnnnnxx101( 1) (1)(| 1)2nnnnxx. . 2分5. 解答: 0a =1( )df xx1d2xx, . . 2 分na1( )cosdfxnx x1cosd2xnx x11cosdcosd022nx xxnx x, . . 2分

10、nb1( )sindf xnx x1sind2xnx x1()d cos2xnxn11()coscosd22xnxnx xnn( 1)nn. . . . 2 分當, 3 ,x時, 函數(shù)間斷 , 因此( )fx=1( 1)sin2nnnxn(;, 3 ,)xx. . 2 分四、應用題（ 10 分）裝訂線第 7 頁共 8 頁第 8 頁共 8 頁解答: 設(shè)長方體在第一卦限中的頂點坐標為( , , )x y z, 則2222221xyzabc成立, 且長方體的體積為8vxyz, 于是問題可歸結(jié)為求目標函數(shù)8vxyz在約束條件2222221xyzabc(0,0,0)xyz下的最大值 . . . .2 分構(gòu)造拉格朗日函數(shù)222222( , , )8(1)xyzl x y zxyzabc, 則2222222222802802801xyzxlyzaylxzbzlxycxyzlabc. 4分在第一卦限只有一組解333