2022年初中數(shù)學(xué)專題特訓(xùn)第二十講：多邊形與平行四邊形

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)其次十講多邊形與平行四邊形【基礎(chǔ)學(xué)問回憶】一.多邊形：1.定義：在平面內(nèi),由如干條不在同始終線上的線段相連組成的圖形叫做多邊形,各邊相等也相等的多邊形叫做正多邊形2.多邊形的內(nèi)外角和：nn 3的 內(nèi)角和事外角和為正幾邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為,每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為3.多邊形的對(duì)角線：多邊形的對(duì)角線為連接多邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段,從幾邊形的一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身有條對(duì)角線,將多邊形分成個(gè)三角形,一個(gè)幾邊形共有條對(duì)邊線【趙老師提示：1.三角形為邊數(shù)最少的多邊形2.全部的正多邊形都為軸對(duì)稱圖形,正n 邊形共有條對(duì)稱軸,邊數(shù)為數(shù)的正多邊形也為中心對(duì)稱圖形】二.平面圖形的密

2、鋪：1.定義：用.完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接,彼此之間地鋪成一起,這就為平面圖形的密鋪,稱作平面圖形的2.密鋪的方法：用同一種正多邊形密鋪,可以用.或用兩正多邊形密鋪,組合方式有：和.和.和合等幾種【趙老師提示：密 鋪的圖形在一個(gè)拼接處的特點(diǎn)：幾個(gè)圖形的內(nèi)角拼接在一起時(shí),其和等于并使相等的邊相互平合】三.平行四邊1.定義：兩組對(duì)邊分別的四邊形為平行四邊形,平行四邊形abcd 可寫成2.平行四邊形的特質(zhì)：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行四邊形的兩組對(duì)角分別平行四邊形的對(duì)角線【趙老師提示：1.平行四邊形為對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心為過對(duì)角線交點(diǎn)的任始終線被一組對(duì)邊的 線段該直線將原平行四邊形分成全等

3、的兩個(gè)部分】3.平行四邊形的判定：用定義判定兩組對(duì)邊分別的四邊形為平行四邊形一組對(duì)它的四邊形為平行四邊形兩組對(duì)角分別的四邊形為平行四邊形對(duì)角線的四邊形為平行四邊形【趙老師提示：特殊的：一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形和一組對(duì)邊相等.一組對(duì)角相等的四邊形兩個(gè)命題都不被保證為平行四邊形】4.平行四邊形的面積：運(yùn)算公式x同底（等底）同邊（等邊）的平行四邊形面積【趙老師提示：夾在兩平行線間的平行線段兩平行線之間的距離處】【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】考點(diǎn)一：多邊形內(nèi)角和.外角和公式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1（ 2021.南京） 如圖, 1. 2.3. 4 為五邊形abcde的 4 個(gè)外

4、角 如 a=120°,就 1+ 2+ 3+ 4=思路分析：依據(jù)題意先求出5 的度數(shù),然后依據(jù)多邊形的外角和為360°即可求出1+ 2+3+ 4 的值解：由題意得,5=180°-eab=60° ,又多邊形的外角和為360°, 1+ 2+ 3+ 4=360°- 5=300°故答案為： 300°點(diǎn)評(píng)：此題考查了多邊形的外角和等于360°的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的和等于180°的性質(zhì),為基礎(chǔ)題,比較簡(jiǎn)潔對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1（ 2021.廣安） 如圖, 四邊形 abcd 中,如去掉一個(gè)60°的角得到一個(gè)五邊形,就

5、 1+ 2=度1 240考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角專題：數(shù)形結(jié)合分析：利用四邊形的內(nèi)角和得到b+ c+ d的度數(shù),進(jìn)而讓五邊形的內(nèi)角和減去b+ c+ d 的度數(shù)即為所求的度數(shù)解：四邊形的內(nèi)角和為（4-2）×180°=360°,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 b+ c+ d=360°-60 °=300°,五邊形的內(nèi)角和為（5-2） ×180°=540°, 1+ 2=540°-300 °=240°,故答案為240點(diǎn)評(píng)：考查多邊形的內(nèi)角和學(xué)問；求得b+ c+ d 的度數(shù)

6、為解決此題的突破點(diǎn)考點(diǎn)二：平面圖形的密鋪例 2（ 2021.貴港）假如僅用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌,那么以下正多邊形不能夠?qū)⑵矫婷茕伒臑椋ǎ゛ 正三角形b正四邊形c正六邊形d正八邊形思路分析： 分別求出各個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù),再利用鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除 360°即可作出判定解： a .正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°-360 °÷3=60°,為 360°的約數(shù),能鑲嵌平面,不符合題意；b.正四邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180 °-360 °÷4=90 °,為 360 °的約數(shù),能鑲

7、嵌平面,不符合題意；c.正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180 °-360 °÷6=120 °,為 360 °的約數(shù),能鑲嵌平面,不符合題意；d.正八邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180 °-360 °÷8=135 °,不為 360 °的約數(shù),不能鑲嵌平面,符合題意；應(yīng)選 d 點(diǎn)評(píng)： 此題考查平面密鋪的問題,用到的學(xué)問點(diǎn)為：一種正多邊形能鑲嵌平面,這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為360°的約數(shù)；正多邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)=180°-360 °÷邊數(shù)對(duì)應(yīng)訓(xùn)練考點(diǎn)三：平行四邊形的性質(zhì)

8、例 3（2021.阜新）如圖,四邊形abcd 為平行四邊形,be 平分 abc ,cf 平分 bcd ,be .cf 交于點(diǎn) g如使 ef=14ad ,那么平行四邊形abcd應(yīng)滿意的條件為（）a abc=60°b ab ：bc=1 ： 4c ab ：bc=5 ： 2d ab ： bc=5 ： 8思路分析： 依據(jù)四邊形abcd 為平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)邊平行且相等,然 后依據(jù) 兩直線平行內(nèi)錯(cuò) 角相等,得到aeb= ebc ,再由be平分 abc得 到abe= ebc,等量代換后依據(jù)等角對(duì)等邊得到ab=ae ,同理可得dc=df ,再由 ab=dc1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

9、料 - - - 歡迎下載得到 ae=df ,依據(jù)等式的基本性質(zhì)在等式兩邊都減去ef 得到 af=de ,當(dāng) ef=ad 時(shí),4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) ef=x ,就 ad=bc=4x ,然后依據(jù)設(shè)出的量再表示出af ,進(jìn)而依據(jù)ab=af+ef用含 x 的式子表示出ab 即可得到ab 與 bc 的比值解答：解：四邊形abcd為平行四邊形,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ad bc , ab=cd , ad=bc , aeb= ebc , 又 be 平分 abc , abe= ebc , abe= aeb ,ab=ae ,同理可得： dc=df ,ae=df

10、 ,ae-ef=de-ef ,即 af=de ,1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) ef=4ad 時(shí),設(shè) ef=x ,就 ad=bc=4x ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載af=de=1 （ ad-ef ） =1.5x ,2ae=ab=af+ef=2.5x,ab ： bc=2.5 ：4=5 ： 8應(yīng)選 d 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),角平分性的定義以及等式的基本性質(zhì),利用了等量代換的數(shù)學(xué)思想,要求同學(xué)把所學(xué)的學(xué)問融匯貫穿,敏捷運(yùn)用例 4 （ 2021.廣安）如圖,四邊形 abcd 為平行四邊形, 點(diǎn) e 在 ba 的延長(zhǎng)線上, 且 be

11、=ad , 點(diǎn) f 在 ad 上, af=ab ,求證： aef dfc思路分析：由四邊形abcd為平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì),即可得ab=cd , ab cd ,又由平行線的性質(zhì),即可得 d= eaf ,然后由 be=ad ,af=ab ,求得 af=cd , df=ae ,繼而利用sas 證得： aef dfc 證明：四邊形abcd 為平行四邊形,ab=cd , ab cd , d= eaf ,af=ab , be=ad ,af=cd , ad-af=be-ab, 即 df=ae ,在 aef 和 dfc 中,aedfeafd,afdc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

12、aef dfc （ sas ）點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與全等三角的判定此題難度不大, 留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3（ 2021.永州）如圖,平行四邊形abcd 的對(duì)角線相交于點(diǎn)o,且 ab ad,過 o 作 oe bd交 bc 于點(diǎn) e如 cde 的周長(zhǎng)為10,就平行四邊形abcd的周長(zhǎng)為3 20考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)分析：由四邊形abcd為平行四邊形,依據(jù)平行四邊形的對(duì)角線相互平分.對(duì)邊相等,即可得 ob=od ,ab=cd ,ad=bc ,又由 oe bd ,即可得 oe 為 bd 的垂直平分線,然后依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),即可得 be=de ,又由

13、cde 的周長(zhǎng)為10,即可求得平行四邊形abcd 的周長(zhǎng)解：四邊形abcd為平行四邊形,ob=od , ab=cd , ad=bc ,oe bd ,be=de , cde 的周長(zhǎng)為10, 即 cd+de+ec=10 ,平行四邊形abcd的周長(zhǎng)為：ab+bc+cd+ad=2（ bc+cd ） =2 （ be+ec+cd ） =2（de+ec+cd ） =2×10=20故答案為： 20點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)此題難度適中, 留意把握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用4（ 2021.大連）如圖,.abcd 中,點(diǎn) e.f 分別在 ad .bc 上,且 ed=bf

14、, ef 與 ac 相交于點(diǎn) o,求證： oa=oc 4考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：依據(jù)ed=bf ,可得出ae=cf ,結(jié)合平行線的性質(zhì),可得出aeo= cfo ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fco= eao ,繼而可判定aeo cfo ,即可得出結(jié)論證明：四邊形abcd 為平行四邊形,ad=cb , aeo= cfo, fco= eao ,又 ed=bf ,ad-ed=bc-bf,即 ae=cf ,aecf精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在 aeo 和 cfo 中,aeocfo,fcoeao精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

15、 - 歡迎下載 aeo cfo ,oa=oc 點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì),依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出ed=bf 及 aeo= cfo ,fco= eao 為解答此題的關(guān)鍵考點(diǎn)四：平行四邊形的判定例 5（2021.資陽）如圖,abc 為等腰三角形,點(diǎn)d 為底邊 bc 上異于 bc 中點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn), ade= dac ,de=ac 運(yùn)用這個(gè)圖（不添加幫助線）可以說明以下哪一個(gè)命題為假命題？（）a 一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形 b有一組對(duì)邊平行的四邊形為梯形 c一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形為平行四邊形d對(duì)角線相等的四邊形為矩形思路分析： 已知條件應(yīng)分析一組邊相等,一組角對(duì)

16、應(yīng)相等的四邊不為平行四邊形,依據(jù)全等三角形判定方法得出b= e, ab=de ,進(jìn)而得出一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形不為平行四邊形,得出答案即可解： a 一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形,依據(jù)等腰梯形符合要求,得出故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；b有一組對(duì)邊平行的四邊形為梯形,如另一組對(duì)邊也平行,就此四邊形為平行四邊形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；c一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形為平行四邊形, abc 為等腰三角形,ab=ac , b= c,de=ac , ad=ad , ade= dac ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載deac即adedac ,adad ade dac , e=c

17、, b= e, ab=de ,但為四邊形abde不為平行四邊形,故一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形不為平行四邊形,因此c 符合題意,故此選項(xiàng)正確；d對(duì)角線相等的四邊形為矩形,依據(jù)等腰梯形符合要求,得出故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； 應(yīng)選： c點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了平行四邊形的判定方法以及全等三角形的判定,結(jié)合已知選項(xiàng), 得出已知條件應(yīng)分析一組邊相等,一組角對(duì)應(yīng)相等的四邊不為平行四邊形為解題關(guān)鍵例 6（ 2021.湛江） 如圖, 在平行四邊形abcd 中,e.f 分別在 ad .bc 邊上, 且 ae=cf 求證：（ 1） abe cdf；（2）四邊形bfde 為平行四邊形思路分析：（ 1）由四邊形abcd為

18、平行四邊形,依據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等,對(duì)角相等,即可證得 a= c, ab=cd ,又由 ae=cf ,利用 sas ,即可判定 abe cdf ；（2）由四邊形abcd為平行四邊形,依據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等,即可得ad bc , ad=bc ,又由ae=cf ,即可證得de=bf ,然后依據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形,即可證得四邊形bfde 為平行四邊形證明：（ 1）四邊形abcd 為平行四邊形, a= c,ab=cd , 在 abe 和 cdf 中,abcdac,aecf abe cdf （ sas）；（2）四邊形abcd為平行四邊形,ad bc , ad=bc ,ae=cf

19、,ad-ae=bc-cf,即 de=bf ,四邊形 bfde 為平行四邊形點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定此題難度不大, 留意數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載形結(jié)合思想的應(yīng)用,留意嫻熟把握定理的應(yīng)用對(duì)應(yīng)訓(xùn)練5（ 2021.泰州）以下四個(gè)命題：一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形為平行四邊形；對(duì)角線相互垂直且相等的四邊形為正方形；順次連接矩形四邊中點(diǎn)得到的四邊形為菱形；正五邊形既為軸對(duì)稱圖形又為中心對(duì)稱圖形其中真命題共有（） a 1 個(gè)b 2 個(gè)c3 個(gè)d 4 個(gè)考點(diǎn)：平行四邊形的判定；三角形中位線定理；菱形的判定；正方形的判定；命題與定理；軸對(duì)稱圖形；

20、中心對(duì)稱圖形分析： 依據(jù)平行四邊形的各種判定方法.正方形的各種判定方法.菱形的各種判定方法以及正多邊形的軸對(duì)稱性逐項(xiàng)分析即可解：一組對(duì)邊平行,且一組對(duì)角相等,就可以判定另外一組對(duì)邊也平行,所以該四邊形為平行四邊形,故該命題正確；對(duì)角線相互垂直且相等的四邊形不肯定為正方形,也可以為一般的四邊形（例如箏形, 如下列圖）,故該命題錯(cuò)誤；由于矩形的對(duì)角線相等,所以連接矩形的中點(diǎn)后都為對(duì)角線的中位線,所以四邊相等, 所以為菱形,故該命題正確；正五邊形只為軸對(duì)稱圖形不為中心對(duì)稱圖形,故該命題錯(cuò)誤；所以正確的命題個(gè)數(shù)為2 個(gè),應(yīng)選 b 點(diǎn)評(píng)： 此題考查菱形的判定,平行四邊形的判定以及正方形的判定定理以及真假

21、判定,正確的命題叫真命題, 錯(cuò)誤的命題叫做假命題判定命題的真假關(guān)鍵為要熟識(shí)課本中的性質(zhì)定理6（2021.沈陽）已知, 如圖, 在.abcd中,延長(zhǎng) da 到點(diǎn) e,延長(zhǎng) bc 到點(diǎn) f,使得 ae=cf ,連接 ef,分別交ab , cd 于點(diǎn) m , n,連接 dm , bn （1）求證： aem cfn；（2）求證：四邊形bmdn為平行四邊形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)專題：證明題分析：（ 1）先依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出ad bc , dab= bcd ,再依據(jù)平行線的性質(zhì)及補(bǔ)角的性質(zhì)得出e=f, eam= fcn,從

22、而利用asa 可作出證明；（2）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及（1）的結(jié)論可得bm dn ,就由有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可證明證明：（ 1）四邊形 abcd 為平行四邊形, dab= bcd , eam= fcn,又 ad bc , e=f在 aem 與 cfn 中,eamfcnaecf,ef aem cfn ；（2）四邊形abcd為平行四邊形,ab = cd ,又由（ 1）得 am=cn ,bm dn ,四邊形 bmdn為平行四邊形點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì),全等三角形的判定,屬于基礎(chǔ)題,比較簡(jiǎn)潔【聚焦山東中考】1（ 2021.煙臺(tái)）如圖為2021 年倫敦奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念幣的

23、圖案,其外形近似看作為正七邊形,就一個(gè)內(nèi)角為度（不取近似值） ；90017考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角分析：依據(jù)正多邊形的定義可得：正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等,就每一個(gè)外角也都相等,第一由多邊形外角和為360°可以運(yùn)算出正七邊形的每一個(gè)外角度數(shù),再用180°-一個(gè)外角的度數(shù) =一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)解：正七邊形的每一個(gè)外角度數(shù)為：360°÷7= （ 360 ） °7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就內(nèi)角度數(shù)為：180°-（故答案為：900 73607） °=（9007） °,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

24、迎下載點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正多邊形的內(nèi)角與外角,關(guān)鍵為把握正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等2（ 2021.泰安）如圖,在平行四邊形abcd 中,過點(diǎn)c 的直線 ce ab ,垂足為e,如ead=53° ,就 bce 的度數(shù)為（）a 53°b 37°c47°d 123 °2考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)分析： 設(shè) ec 于 ad 相交于 f 點(diǎn), 利用直角三角形兩銳角互余即可求出efa 的度數(shù), 再利用平行四邊形的性質(zhì)：即兩對(duì)邊平行即可得到內(nèi)錯(cuò)角相等和對(duì)頂角相等,即可求出bce 的度數(shù)解：在平行四邊形abcd 中,過點(diǎn)c 的直線 ceab , e=90

25、6;, ead=53° , efa=90° -53 °=37°, dfc=37四邊形 abcd為平行四邊形,ad bc , bce= dfc=37° 應(yīng)選 b 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和對(duì)頂角相等,依據(jù)題意得出e=90°和的對(duì)頂角相等為解決問題的關(guān)鍵3（ 2021.聊城）如圖,四邊形abcd為平行四邊形,點(diǎn)e 在邊 bc 上,假如點(diǎn)f 為邊 ad上的點(diǎn),那么cdf 與 abe 不肯定全等的條件為（）a df=beb af=cec cf=aed cf ae考點(diǎn)： 平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定分析：依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和

26、全等三角形的判定方法逐項(xiàng)分析即可解： a .當(dāng) df=be 時(shí),有平行四邊形的性質(zhì)可得：ab=cd , b= d,利用 sas 可判定cdf abe ；b.當(dāng) af=ce 時(shí),有平行四邊形的性質(zhì)可得：be=df ,ab=cd , b= d,利用 sas 可判定 cdf abe ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c.當(dāng) cf=ae 時(shí),有平行四邊形的性質(zhì)可得：ab=cd , b= d,利用 ssa 不能可判定cdf abe ；d.當(dāng) cf ae 時(shí),有平行四邊形的性質(zhì)可得：ab=cd , b= d, aeb= cfd,利用aas 可判定 cdf abe 應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行

27、四邊形的性質(zhì)和重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理,一般兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理,即aas .asa .sas.sss,但 aaa .ssa,無法證明三角形全等,此題為一道較為簡(jiǎn)潔的題目4（ 2021.煙臺(tái)） .abcd 中,已知點(diǎn)a （ -1, 0）, b （2, 0）, d （0, 1）就點(diǎn)c 的坐標(biāo)為4（ 3, 1）考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)專題：運(yùn)算題分析： 畫出圖形, 依據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出dc ab ,dc=ab=3 ,依據(jù) d 的縱坐標(biāo)和cd=3即可求出答案解：如圖,平行四邊形abcd中,已知點(diǎn)a （-1, 0）, b（ 2,0）, d（ 0, 1）,ab=cd=2- （

28、 -1） =3, dc ab ,c 的橫坐標(biāo)為3,縱坐標(biāo)和d 的縱坐標(biāo)相等,為1,c 的坐標(biāo)為（ 3,1）,故答案為：（ 3, 1）點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用,能依據(jù)圖形進(jìn)行推理和求值為解此題的關(guān)鍵,此題主要考查同學(xué)的觀看才能,用了數(shù)形結(jié)合思想5（ 2021.濟(jì)南）（1）如圖 1,在 .abcd 中,點(diǎn) e, f 分別在 ab ,cd 上, ae=cf 求證： de=bf （2）如圖 2,在 abc 中,ab=ac ,a=40°,bd 為 abc 的平分線, 求 bdc 的度數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角

29、形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)專題：證明題分析：（ 1）依據(jù)四邊形abcd為平行四邊形,利用平行四邊形的性質(zhì)得到一對(duì)邊和一對(duì)角的對(duì)應(yīng)相等,在加上已知的一對(duì)邊的相等,利用“sas”,證得 ade cbf,最終依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）第一依據(jù)ab=ac ,利用等角對(duì)等邊和已知的a 的度數(shù)求出 abc和 c 的度數(shù),再依據(jù)已知的bd 為 abc 的平分線,利用角平分線的定義求出dbc 的度數(shù),最終依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出bdc 的度數(shù)解答：（ 1）證明：四邊形abcd 為平行四邊形,ad=bc , a= c, 在 ade 和 cbf 中,adcbac,aecf ade cb

30、f （ sas）,de=bf ；（2）解： ab=ac , a=40°,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 abc= c= 180402=70 °,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 bd 為 abc 的平分線, dbc= 1 abc=35° ,2 bdc=18°0- dbc- c=75°點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,角平分線的定義以及全等三角形的性質(zhì)與判定,嫻熟把握定理與性質(zhì)為解此題的關(guān)鍵6（ 2021.威海）（1）如圖, .abcd的對(duì)角線 ac , bd 交于點(diǎn) o,直

31、線 ef 過點(diǎn) o,分別交 ad , bc 于點(diǎn) e, f求證： ae=cf （2）如圖,將.abcd （紙片）沿過對(duì)角線交點(diǎn)o 的直線 ef 折疊,點(diǎn)a 落在點(diǎn) a 1 處,點(diǎn) b 落在點(diǎn) b1 處,設(shè) fb1 交 cd 于點(diǎn) g, a 1b1 分別交 cd , de 于點(diǎn) h, i求證： ei=fg 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）分析：（ 1）由四邊形abcd 為平行四邊形,可得ad bc, oa=oc ,又由平行線的性質(zhì),可得 1=2,繼而利用asa ,即可證得aoe cof,就可證得ae=cf （2）

32、依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì),易得a 1e=cf , a 1= a= c, b 1=b= d ,繼而可證得 a 1ie cgf,即可證得ei=fg 證明：（ 1）如圖,四邊形abcd 為平行四邊形,ad bc , oa=oc , 1= 2,在 aoe 和 cof 中,1oa2oc,34 aoe cof（ asa ）,ae=cf ；（2）四邊形abcd為平行四邊形, a= c, b= d , 由（ 1）得 ae=cf ,由折疊的性質(zhì)可得：ae=a 1e, a 1=a , b 1= b,a 1e=cf, a 1=a= c, b1= b= d , 又 1=2, 3= 4, 5= 3, 4= 6,

33、5= 6,在 a 1ie 與 cgf 中,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1c56,a1ecf a 1ie cgf （ aas ）,ei=fg 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì).折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中,留意把握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系,留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用7（ 2021.濰坊）如圖,已知平行四邊形abcd ,過 a 點(diǎn)作 am bc 于 m ,交 bd 于 e,過 c 點(diǎn)作 cn ad 于 n ,交 bd 于 f,連接 af .ce（1）求證：四邊形aecf 為平行四邊形；（2）當(dāng) aecf 為菱形, m 點(diǎn)為 bc 的中點(diǎn)時(shí),求ab ： ae 的值

34、7考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形專題：幾何綜合題分析：（ 1）依據(jù)平行四邊形的性質(zhì).垂直的定義.平行線的判定定理可以推知ae cf；然后由全等三角形的判定定理asa 推知 ade cbf；最終依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 知 ae=cf ,所以對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形；（2）如圖,連接ac 交 bf 于點(diǎn) 0由菱形的判定定理推知.abcd 為菱形,依據(jù)菱形的鄰 邊相等知ab=bc ；然后結(jié)合已知條件“m為 bc 的中點(diǎn), am丄 bc”證得 ade cbf（asa ）,所以 ae=cf （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,從而證得 a

35、bc 為正三角形；最終在精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3rt bcf 中,利用銳角三角函數(shù)的定義求得cf： bc=tan cbf=3,利用等量代換知精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ae=cf , ab=bc ） ab ： ae=3 解答：（ 1）證明四邊形abcd為平行四邊形（已知） ,bc ad （平行四邊形的對(duì)邊相互平行）； 又 am 丄 bc （已知）,am ad ；cn 丄 ad （已知）,am cn ,ae cf；又由平行得 ade= cbd ,又 ad=bc （平行四邊形的對(duì)邊相等）,在 ade 和 cbf 中,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

36、歡迎下載daebcf90 adcb,adefbc ade cbf （ asa ）,ae=cf （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）,四邊形 aecf 為平行四邊形（對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）；（2）如圖,連接ac 交 bf 于點(diǎn) 0,當(dāng) aecf 為菱形時(shí),就 ac 與 ef 相互垂直平分,bo=od （平行四邊形的對(duì)角線相互平分）,ac 與 bd 相互垂直平分,.abcd 為菱形（對(duì)角線相互垂直平分的平行四邊形為菱形）,ab=bc （菱形的鄰邊相等） ；m 為 bc 的中點(diǎn), am 丄 bc （已知）, abm cam ,ab=ac （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）, abc 為等邊三角形, ab

37、c=60° , cbd=3°0 ；在 rt bcf 中, cf： bc=tan cbf=3 ,3又 ae=cf , ab=bc ,ab ： ae=3 點(diǎn)評(píng)： 此題綜合考查明白直角三角形.全等三角形的判定與性質(zhì).菱形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等學(xué)問點(diǎn)證明（2）題時(shí),證得 .abcd 為菱形為解題的難點(diǎn)【備考真題過關(guān)】精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.挑選題1（ 2021.肇慶）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等,就這個(gè)多邊形為（）a 四邊形b五邊形c六邊形d八邊形 1考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角分析：第一設(shè)此多邊形為n 邊形,由多邊形的外角和為360

38、6;,即可得方程180（ n-2）=360,解此方程即可求得答案解：設(shè)此多邊形為n 邊形,多邊形的外角和為360°,180（ n-2） =360, 解得： n=4 這個(gè)多邊形為四邊形應(yīng)選 a 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的學(xué)問此題難度不大, 留意多邊形的外角和為360 °, n 邊形的內(nèi)角和等于180 °（ n-2）2（ 2021.玉林）正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都為（）a 60°b 80°c100 °d 120 °2考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角專題：常規(guī)題型分析：先利用多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）.180°求出正六

39、邊形的內(nèi)角和,然后除以6 即可；或：先利用多邊形的外角和除以正多邊形的邊數(shù),求出每一個(gè)外角的度數(shù),再依據(jù)相鄰的內(nèi)角與外角為鄰補(bǔ)角列式運(yùn)算解：（ 6-2） .180°=720,°所以,正六邊形的每個(gè)內(nèi)角都為720°÷6=120°,或： 360°÷6=60°, 180 °-60 °=120 °應(yīng)選 d 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角,利用正多邊形的外角度數(shù).邊數(shù).外角和三者之間的關(guān)系求解為此類題目常用的方法,而且求解比較簡(jiǎn)便3（2021.深圳）如下列圖,一個(gè)60°角的三角形

40、紙片,剪去這個(gè)60°角后, 得到一個(gè)四邊形,就 1+ 2 的度數(shù)為（）a 120 °b 180 °c 240 °d 300 °3考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角；三角形內(nèi)角和定理分析：三角形紙片中, 剪去其中一個(gè)60°的角后變成四邊形,就依據(jù)多邊形的內(nèi)角和等于360度即可求得 1+ 2 的度數(shù) 解：依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載四邊形除去 1, 2 后的兩角的度數(shù)為180°-60 °=120°,就依據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理得：1+ 2=360°-120 °=

41、240°應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)：主要考查了三角形及四邊形的內(nèi)角和為360 度的實(shí)際運(yùn)用與三角形內(nèi)角和180 度之間的關(guān)系4（ 2021.南寧）如圖,在平行四邊形abcd中, ab=3cm , bc=5cm ,對(duì)角線ac , bd 相交于點(diǎn) o,就 oa 的取值范疇為（）a 2cmoa 5cmb2cm oa 8cmc1cm oa 4cmd 3cm oa 8cm4考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系分析：由在平行四邊形abcd中,ab=3cm ,1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bc=5cm ,依據(jù)平行四邊形對(duì)角線相互平分與三角形三邊關(guān)系,即可求得oa=oc=2cmac 8cm,繼

42、而求得oa 的取值范疇解：平行四邊形abcd 中, ab=3cm ,bc=5cm ,1ac ,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oa=oc=ac ,2cm ac 8cm,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1cm oa 4cm 應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系此題比較簡(jiǎn)潔, 留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,留意把握平行四邊形對(duì)角線相互平分定理的應(yīng)用5（ 2021.杭州）已知平行四邊形abcd 中, b=4 a ,就 c= （）a 18°b 36°c72°d 144 °5考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)專題：

43、運(yùn)算題分析：關(guān)鍵平行四邊形性質(zhì)求出c= a , bc ad ,推出 a+ b=180°,求出 a 的度數(shù),即可求出c解：四邊形abcd為平行四邊形, c= a ,bc ad , a+ b=180°, b=4 a , a=36°, c= a=36°, 應(yīng)選 b 點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形性質(zhì)和平行線的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查同學(xué)運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)進(jìn)行推理的才能,題目比較好,難度也不大6（ 2021.巴中）不能判定一個(gè)四邊形為平行四邊形的條件為（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 兩組對(duì)邊分別平行b 一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等c一組對(duì)邊平行且相等

44、d 兩組對(duì)邊分別相等 6考點(diǎn)：平行四邊形的判定分析： 依據(jù)平行四邊形的判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形；兩組對(duì)邊分別相等的四邊形為平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形；對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形,即可選出答案解：依據(jù)平行四邊形的判定,a .d.c 均符合為平行四邊形的條件,b 就不能判定為平行四邊形應(yīng)選 b 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查同學(xué)對(duì)平行四邊形的判定的把握情形對(duì)于判定定理：“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形為平行四邊形”應(yīng)用時(shí)要留意必需為“一組 ”,而 “一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等 ”的四邊形不肯定為平行四邊形7（ 2021.廣元

45、）如以a （-0.5, 0）.b（ 2,0）.c（ 0, 1）三點(diǎn)為頂點(diǎn)要畫平行四邊行,就第四個(gè)頂點(diǎn)不行能在（）a 第一象限b其次象限c第三象限d第四象限 7考點(diǎn)：平行四邊形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)專題：數(shù)形結(jié)合分析：令點(diǎn)a 為（ -0.5, 4）,點(diǎn) b（ 2,0）,點(diǎn) c（ 0,1）,以 bc 為對(duì)角線作平行四邊形,以 ac 為對(duì)角線作平行四邊形,以 ab 為對(duì)角線作平行四邊形,從而得出點(diǎn)d 的三個(gè)可能的位置,由此可判定出答案解：依據(jù)題意畫出圖形,如下列圖：分三種情形考慮：以cb 為對(duì)角線作平行四邊形abd1c ,此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)d1 落在第一象限；以 ac為對(duì)角線作平行四邊形abcd2,此時(shí)

46、第四個(gè)頂點(diǎn)d2 落在其次象限；以 ab為對(duì)角線作平行四邊形acbd3,此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)d3 落在第四象限,就第四個(gè)頂點(diǎn)不行能落在第三象限應(yīng)選 c點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)及坐標(biāo)的性質(zhì),利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,同學(xué)做題時(shí)留意應(yīng)以每條邊為對(duì)角線分別作平行四邊形,不要遺漏8（ 2021.益陽）如圖,點(diǎn)a 為直線 l 外一點(diǎn),在l 上取兩點(diǎn)b. c,分別以a .c 為圓心,bc .ab 長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)d ,分別連接ab .ad .cd ,就四邊形abcd 肯定為（）a 平行四邊形b矩形c菱形d梯形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8考點(diǎn)：平行四邊形的判定；作圖復(fù)雜作圖分析

47、：利用平行四邊形的判定方法可以判定四邊形abcd 為平行四邊形解：別以a .c 為圓心, bc. ab 長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)d,ad=bcab=cd四邊形 abcd為平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形為平行四邊形）應(yīng)選 a 點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定,解題的關(guān)鍵為熟記平行四邊形的判定方法9（ 2021.德陽）如圖,點(diǎn)d 為 abc 的邊 ab 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)f 為邊 bc 上的一個(gè)動(dòng)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點(diǎn)（不與點(diǎn)b 重合）以 bd . bf 為鄰邊作平行四邊形bdef ,又 ap be（點(diǎn) p.e 在直精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載線

48、ab 的同側(cè)）,假如 bd= 1 ab ,那么 pbc 的面積與 abc 面積之比為（）41313a b cd45549考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)分析：第一過點(diǎn)p 作 ph bc 交 ab 于 h ,連接 ch , pf,易得四邊形apeb ,bfph 為平行四邊形,又由四邊形bdef 為平行四邊形,設(shè)bd=a ,就 ab=4a ,可求得 bh=pf=3a ,又由 s hbc =s pbc, s hbc ： sabc =bh ：ab ,即可求得pbc 的面積與 abc面積之比解答：解：過點(diǎn)p 作 phbc 交 ab 于 h,連接 ch , pf, apbe ,四邊形 apeb 為平行四邊形,

49、peab , pe=ab ,四邊形 bdef 為平行四邊形,ef bd , ef=bd , 即 efab ,p, e,f 共線, 設(shè) bd=a ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bd=1ab ,4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pe=ab=4a , 就 pf=pe-ef=3a,ph bc ,s hbc =spbc,pfab ,四邊形 bfph 為平行四邊形,bh=pf=3a ,s hbc ： s abc =bh ： ab=3a ： 4a=3： 4,s pbc： s abc =3： 4 應(yīng)選 d 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)與三角形面積比的求解方法此題難度

50、較大, 留意精確作出幫助線,留意等高三角形面積的比等于其對(duì)應(yīng)底的比1（ 2021.孝感）如圖,在菱形abcd中, a=60 °, e.f 分別為 ab , ad 的中點(diǎn), de. bf 相交于點(diǎn)g,連接 bd , cg 有以下結(jié)論：其中正確的結(jié)2 bgd=120 °； bg+dg=cg ； bdf cgb ； sabd =ab論有（）a 1 個(gè)b 2 個(gè)c 3 個(gè)d 4 個(gè)考點(diǎn) ：菱 形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；專題 ：綜 合題；分析：先 判定出 abd .bdc 為等邊三角形,然后依據(jù)等邊三角形的三心（重心.內(nèi)心.垂心）合一的性質(zhì),結(jié)合菱形對(duì)

51、角線平分一組對(duì)角,三角形的判定定理可分別進(jìn)行各項(xiàng)的判定解答：解 ： 由菱形的性質(zhì)可得 abd .bdc 為等邊三角形, dgb= gbe+ geb=30 °+90 °=120°,故 正確； dcg= bcg=30 °, de ab ,可得dg=cg （ 30°角所對(duì)直角邊等于斜邊精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一半）.bg=cg,故可得出bg+dg=cg ,即 也正確； 第一可得對(duì)應(yīng)邊bg fd ,由于 bg=dg , dg fd ,故可得 bdf 不全等 cgb ,即 錯(cuò)誤；,即 正確2 sabd =ab .de=ab .（be） =ab .ab=ab綜上可得 正確,共