高中數(shù)學(xué)第2章平面解析幾何2.5橢圓及其方程2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案(含解析)新人教

1、2.5 橢圓及其方程2.5.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1掌握橢圓的定義，會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問題 ( 重點(diǎn) ) 2掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ( 重點(diǎn) ) 3理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題( 難點(diǎn) )1通過橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2借助于標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星是探月二期工程的技術(shù)先導(dǎo)星，其主要目的是釋放月球車為“嫦娥三號(hào)”任務(wù)實(shí)現(xiàn)月球軟著陸進(jìn)行部分關(guān)鍵技術(shù)試驗(yàn)，并對(duì)“嫦娥三號(hào)”著陸區(qū)進(jìn)行高精度成像“嫦娥二號(hào)”進(jìn)入太空軌道繞月球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其軌道就是以月球?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)的橢圓，本節(jié)我

2、們將學(xué)習(xí)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1橢圓的定義(1) 定義：如果f1，f2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)常數(shù)，且2a|f1f2| ，則平面內(nèi)滿足|pf1| |pf2| 2a的動(dòng)點(diǎn)p的軌跡稱為橢圓(2) 相關(guān)概念：兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|f1f2| 稱為橢圓的焦距思考 1：橢圓定義中，將“大于|f1f2| ”改為“等于|f1f2| ”或“小于 |f1f2| ”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？ 提示 2a與 |f1f2| 的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)的軌跡如下表：條件結(jié)論2a|f1f2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓2a|f1f2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段f1f22a|f1f2|動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡

3、不存在2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置在x軸上在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2y2b21 (ab0)y2a2x2b21 (ab0) 圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)( c,0)(0 ，c) a，b，c的關(guān)系a2b2c2思考 2：確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程需要知道哪些量？ 提示 a，b的值及焦點(diǎn)所在的位置思考 3：根據(jù)橢圓方程，如何確定焦點(diǎn)位置？ 提示 把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，x2，y2的分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上1思考辨析 ( 正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1) 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓( ) (2) 橢圓x216y2251 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ( 3,0) ( ) (3)y2a2x2b21(ab) 表示焦點(diǎn)

4、在y軸上的橢圓( ) 答案 (1) (2) (3) 提示 (1) 需 2a|f1f2| (2) (0 ，3)(3) ab0 時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓2以下方程表示橢圓的是( ) ax2y21 b2x23y2 6 cx2y21 d2x23y26 b 只有 b符合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式可化為x23y221 3以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，兩焦點(diǎn)的距離是2，且過點(diǎn) (0,2) 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) ax25y241 bx23y241 cx25y241 或x23y241 dx29y241 或x23y241 c 若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則c1，b2，得a25，此時(shí)橢圓方程是x25y241；若焦點(diǎn)在y軸上，則a2，c

5、1，則b2 3，此時(shí)橢圓方程是x23y241 4橢圓x29y241 的左、 右焦點(diǎn)f1，f2，點(diǎn)p在橢圓上， 若|pf1| 4，則|pf2| 2 由橢圓的定義知|pf1| |pf2| 6，所以 |pf2| 6|pf1| 642 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例 1】根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,5) 、(0 ， 5) ，橢圓上一點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)的距離和為26(2) 經(jīng)過點(diǎn)p1，32，兩焦點(diǎn)間的距離為2，焦點(diǎn)在x軸上(3) 過( 3,2) 且與x29y24 1 有相同的焦點(diǎn) 解(1) 橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2a2x2b21(ab0) 2a26,2c10，a1

6、3，c5b2a2c2 144所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2169x21441(2) 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0) ，焦點(diǎn)在x軸上， 2c2，a2b21，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)p1，32，1b2194b2 1，解之得b23，a24橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y231(3) 由方程x29y24 1 可知，其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 5，0) ，即c5設(shè)所求橢圓方程為x2a2y2b2 1(ab0) ， 則a2b2 5， 因?yàn)檫^點(diǎn) ( 3,2) ， 代入方程為9a24a25 1(ab0)，解得a215(a23 舍去 ) ，b2 10，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x215y2101利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 先確

7、定焦點(diǎn)位置；(2) 設(shè)出方程； (3) 尋求a，b，c的等量關(guān)系； (4) 求a，b的值，代入所設(shè)方程提醒： 若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(mn，m0，n0) 跟進(jìn)訓(xùn)練 1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1) 焦點(diǎn)在x軸上，且a4，c2；(2) 經(jīng)過點(diǎn)p13，13，q0，12 解(1) a216，c24，b216412，且焦點(diǎn)在x軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y2121(2) 法一：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0)，依題意，有132a2132b21，0122b21，解得a215，b214，因?yàn)閍

8、b0，所以方程組無解當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2x2b21(ab0) ，依題意，有132a2132b21，122a2 01，解得a214，b215，所以所求方程為y214x2151法二：設(shè)所求橢圓的方程為mx2ny2 1(m0，n0，且mn) ，依題意得19m19n 1，14n1，解得m5，n4，故所求方程為5x24y21，即y214x215 1橢圓的定義及其應(yīng)用 探究問題 1如何用集合語言描述橢圓的定義？ 提示 pm|mf1| |mf2| 2a,2a|f1f2| 2如何判斷橢圓的焦點(diǎn)位置？ 提示 判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即

9、“誰大在誰上”3橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b，c三個(gè)量的關(guān)系是什么？ 提示 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a表示橢圓上的點(diǎn)m到兩焦點(diǎn)間距離的和的一半，可借助圖形幫助記憶a，b，c(都是正數(shù) ) 恰是構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，a是斜邊，所以ab，ac，且a2b2c2( 如圖所示 ) 【例 2】 設(shè)p是橢圓x225y27541 上一點(diǎn)，f1，f2是橢圓的焦點(diǎn)， 若f1pf260，求f1pf2的面積 解由橢圓方程知，a225，b2754，c2254，c52，2c5在pf1f2中，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1| |pf2|cos 60 ，即 25|pf1|2|pf2|2|pf1| |pf2| 由橢

10、圓的定義，得10|pf1| |pf2| ，即 100|pf1|2|pf2|22|pf1| |pf2| ，得3|pf1| |pf2| 75，所以 |pf1| |pf2| 25，所以sf1pf212|pf1| |pf2| sin 60 25341 將本例中的“f1pf260”改為“f1pf230”其余條件不變， 求f1pf2的面積 解由橢圓方程知，a225，b2754，c2254，c52， 2c5在pf1f2中，|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1| |pf2| cos 30 ，即 25|pf1|2|pf2|23|pf1| |pf2| 由橢圓的定義得10|pf1| |pf2| ，即 1

11、00|pf1|2|pf2|22|pf1| |pf2| ，得 (2 3)|pf1| |pf2| 75，所以 |pf1| |pf2| 75(23) ，所以sf1pf212|pf1| |pf2| sin 30 754(2 3) 2將橢圓的方程改為“x2100y2641”其余條件不變，求f1pf2的面積 解|pf1| |pf2| 2a 20，又 |f1f2| 2c12由余弦定理知：(2c)2|pf1|2|pf2|22|pf1| |pf2| cos 60 ，即： 144 (|pf1| |pf2|)23|pf1| |pf2| 所以 |pf1| |pf2| 2563，所以sf1pf212|pf1| |pf2

12、| sin 60 6433橢圓定義的應(yīng)用技巧(1) 橢圓的定義具有雙向作用，即若 |mf1| |mf2| 2a(2a|f1f2|) ， 則點(diǎn)m的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)m到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a(2) 橢圓的定義能夠?qū)σ恍┚嚯x進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過程因此，解題過程中遇到涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，應(yīng)先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解拓展延伸：橢圓中的焦點(diǎn)三角形橢圓上一點(diǎn)p與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)f1，f2構(gòu)成的pf1f2，稱為焦點(diǎn)三角形解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形的問題，通常要利用橢圓的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí)求解與橢圓有關(guān)的軌跡問題【例 3】如圖，圓c： (x1)2y225 及點(diǎn)

13、a(1,0) ，q為圓上一點(diǎn)，aq的垂直平分線交cq于m，求點(diǎn)m的軌跡方程 解由垂直平分線性質(zhì)可知|mq| |ma| ，|cm| |ma| |cm| |mq| |cq| |cm| |ma| 5m點(diǎn)的軌跡為橢圓，其中2a5，焦點(diǎn)為c( 1,0) ，a(1,0) ，a52，c1，b2a2c22541214所求軌跡方程為：x2254y22141求解與橢圓相關(guān)的軌跡問題的方法 跟進(jìn)訓(xùn)練 2已知兩圓c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓c1內(nèi)部且和圓c1相內(nèi)切，和圓c2相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程 解如圖所示，設(shè)動(dòng)圓圓心為m(x，y) ，半徑為r，由題意動(dòng)圓m內(nèi)切于圓c1，|mc1

14、| 13r圓m外切于圓c2，|mc2| 3r|mc1| |mc2| 16|c1c2| 8，動(dòng)圓圓心m的軌跡是以c1、c2為焦點(diǎn)的橢圓，且 2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求軌跡方程為x264y2481(1)平 面 內(nèi) 到 兩 定 點(diǎn)f1、f2的 距 離 之 和 為 常 數(shù) ， 即 |mf1| |mf2|2a2a|f1f2| ，軌跡為橢圓2a|f1f2| ，線段f1f22a|f1f2| ，不存在(2) 求橢圓的方程，可以利用定義求出參數(shù)a，b，c其中的兩個(gè)量；也可以用待定系數(shù)法構(gòu)造三者之間的關(guān)系，但是要注意先確定焦點(diǎn)所在的位置，其主要步驟可歸納為“先定位，后定量”(3) 當(dāng)焦點(diǎn)位

15、置不確定時(shí)，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn) ，因?yàn)樗ń裹c(diǎn)在x軸上 (mn) 或焦點(diǎn)在y軸上 (mn) 兩類情況，所以可以避免分類討論，從而達(dá)到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的1橢圓x225y21 上一點(diǎn)p到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2， 則點(diǎn)p到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為( ) a5 b6 c7 d8 d 由橢圓定義知點(diǎn)p到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是1028 2到兩定點(diǎn)f1( 2,0) 和f2(2,0) 的距離之和為4 的點(diǎn)的軌跡是( ) a橢圓b線段c圓d以上都不對(duì)b|mf1| |mf2| |f1f2| 4，點(diǎn)m的軌跡為線段f1f2 3橢圓x216y2321 的焦距為8 由方程得a2 32，b216，c2a2b216c4,2c8 4已知橢圓x216y291 的左、 右焦點(diǎn)分別為f1、f2，過點(diǎn)f1的直線l交橢圓于a、b兩點(diǎn)，則abf2的周