2022年雙曲線知識點

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載雙曲線： 留意 ：1.雙曲線的定義中,常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿意的約束條件：,這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來懂得；2. 如去掉定義中的“肯定值”,常數(shù)滿意約束條件：（）,就動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；如（）,就動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；3. 如常數(shù)滿意約束條件：,就動點軌跡為以f1.f2 為端點的兩條射線（包括端點）；4如常數(shù)滿意約束條件：,就動點軌跡不存在；5如常數(shù),就動點軌跡為線段f1f2 的垂直平分線；學(xué)問點二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點在軸上時,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：,其中；2當(dāng)焦點在軸上時,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

2、,其中.留意： 1 只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點,對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時、 才能得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中,都有；3雙曲線的焦點總在實軸上,即系數(shù)為正的項所對應(yīng)的坐標(biāo)軸上. 當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時,焦點在軸上,雙曲線的焦點坐標(biāo)為,；當(dāng)?shù)南禂?shù)為正時,焦點在軸上,雙曲線的焦點坐標(biāo)為,.學(xué)問點三：雙曲線的簡潔幾何性質(zhì)雙曲線（ a 0, b 0）的簡潔幾何性質(zhì)（ 1）對稱性： 對于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（ a 0,b 0）,把 x 換成 x,或把 y 換成 y,或把 x .y 同時換成 x. y ,方程都不變,所以雙曲線（ a 0,b 0）為以 x 軸. y 軸為對稱軸的軸對稱圖形,且為

3、以原點為對稱中心的中心對稱圖形,這個對稱中心稱為雙曲線的中心；（ 2）范疇 ：雙曲線上全部的點都在兩條平行直線x= a 和 x=a 的兩側(cè),為無限延長的；因此雙曲線上點的橫坐標(biāo)滿意x -a或 x a；（ 3）頂點： 雙曲線與它的對稱軸的交點稱為雙曲線的頂點；雙曲線（ a 0,b 0）與坐標(biāo)軸的兩個交點即為雙曲線的兩個頂點,坐標(biāo)分別為a1（ a,0）,a2（ a,0）,頂點為雙曲線兩支上的點中距離最近的點； 兩個頂點間的線段a1a2 叫作雙曲線的實軸；設(shè) b1（0, b）, b2（ 0, b）為 y 軸上的兩個點,就線段b1b2 叫做雙曲線的虛軸； 實軸和虛軸的長度分別為|a 1a2|=2a ,

4、|b 1b2|=2b ；a 叫做雙曲線的實半軸長,b 叫做雙曲線的虛半軸長；留意： 雙曲線只有兩個頂點,而橢圓有四個頂點,不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆；雙曲線的焦點總在實軸上；實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線；（ 4）離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比叫做雙曲線的離心率,用e 表示,記作；222由于c a 0,所以雙曲線的離心率；由 c =a +b , 可得, 所以決精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載定雙曲線的開口大小,越大, e 也越大,雙曲線開口就越開闊；所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度；等軸雙曲線,所以離心率；（ 5）漸近線：經(jīng)過點a2.a

5、1 作 y 軸的平行線x=± a,經(jīng)過點b1.b2 作 x 軸的平行線y= ± b,四條直線圍成一個矩形（如圖）,矩形的兩條對角線所在直線的方程為；我們把直線叫做雙曲線的漸近線；留意：雙曲線與它的漸近線無限接近,但永不相交；學(xué)問點五：雙曲線的漸近線：（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：如雙曲線方程為,就其漸近線方程為留意：（ 1）已知雙曲線方程,將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”,然后因式分解即得漸近線方程；（ 2）已知漸近線方程求雙曲線方程：如雙曲線漸近線方程為,就可設(shè)雙曲線方程為,依據(jù)已知條件,求出即可；（ 3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（,焦點在軸上,焦點在

6、y 軸上）（ 4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線相互垂直,為,因此等軸雙曲線可設(shè)為.學(xué)問點六：雙曲線圖像中線段的幾何特點：雙曲線,如圖：（ 1）實軸長,虛軸長、 焦距,（ 2）離心率：；（ 3）頂點到焦點的距離：,；（ 4）中結(jié)合定義與余弦定理,將有關(guān)線段.和角結(jié)合起來.1如何確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對稱中心在坐標(biāo)原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,雙曲線的方程才為標(biāo)準(zhǔn)方程形式；此時,雙曲線的焦點在坐標(biāo)軸上；2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量a. b.c 的幾何意義2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中,a.b.c 三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān),為由雙曲線本身所確定的,分別表示雙曲線的實半軸長.虛半軸長和半焦距長,

7、均為正數(shù),且三個量的大小關(guān)系為：c a, c b,且 c 2=b2+a2； 3如何由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程判定焦點位置精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22雙曲線的焦點總在實軸上,因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程,判定焦點位置的方法為：看x .y的系數(shù),假如x項的系數(shù)為正的,那精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載么焦點在x 軸上；假如y2 項的系數(shù)為正的,那么焦點在y 軸上；留意：對于雙曲線,a 不肯定大于b,因此不能像橢圓那樣精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標(biāo)軸上；224方程 ax +by =c（ a.b.c 均不為零）表示

8、雙曲線的條件22方程 ax +by =c 可化為,即,所以只有a.b 異號,方程表示雙曲線；當(dāng)時,雙曲線的焦點在x 軸上；當(dāng)時,雙曲線的焦點在y 軸上；5求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置,從而確定方程的類型,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再由條件確定方程中的參數(shù).的值；其主要步驟為“先定型,再定量”；定義法：由題目條件判定出動點的軌跡為什么圖形,然后再依據(jù)定義確定方程；留意：如定義中“差的肯定值”中的肯定值去掉,點的集合成為雙曲線的一支,先確定方程類型,再確定參數(shù)a.b,即先定型,再定量；如兩種類型都有可能,就需分類爭論；6如何解決與焦點三角形pf 1f2（ p 為雙曲線上的點

9、）有關(guān)的運算問題？與焦點三角形有關(guān)的運算問題時,?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）.三角形面積公式相結(jié)合的方法進行運算與解題,將有關(guān)線段.,有關(guān)角結(jié)合起來,建立.之間的關(guān)系 .7如何確定離心率e 的取值情形與雙曲線外形的關(guān)系？：離心率,由于 c2=a2+b2 ,用 a.b 表示為,當(dāng) e 越大時,越大,即漸近線夾角（含x 軸）越大,故開口越大；反之,e 越小,開口越小；離心率反映了雙曲線開口的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載大小,且e 1；類型一：雙曲線的定義1已知 o1： x+52222+y =4, o2： x 5 +y =9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

10、迎下載（ 1）如動圓p 與 1, 2 均內(nèi)切,求動圓圓心p 點的軌跡； （ 2）如動圓q與 1, 2 均外切,求動圓圓心q點的軌跡；解析：（ 1）設(shè) p 半徑為 r, o1 與 o2 相離, |po1|=r 2, |po2|=r 3 |po1| |po2 |=1 ,又 |o 1o2|=10由雙曲線的定義,p 點的軌跡為以o1, o2 為焦點, 2a=1, 2c 10 的雙曲線的右支；（ 2）設(shè) q半徑為 r ,就 |qo1|=r+2 , |qo2|=r+3 |qo2| |qo1|=1 ,又 |o 1o2|=10由雙曲線的定義,q點的軌跡為以o1, o2 為焦點, 2a=1,2c 10 的雙曲線

11、的左支；22舉一反三：【變式 1】已知定點f1 2、0 .f22、0,平面內(nèi)滿意以下條件的動點p 的軌跡為雙曲線的為（）a|pf 1| |pf 2|=精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載± 3b |pf 1| |pf 2|= ± 4c|pf 1| |pf 2|= ± 5 d |pf 1| |pf 2|=± 4 【答案】 a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【變式2】已知點f10、 13 .f20、13,動點 p 到 f1 與 f2 的距離之差的肯定值為26,就動點p 的軌跡方程為（）a y=0 b y=0（ x 13 或 x 13）

12、 c x=0（ |y| 13） d以上都不對【答案】c【變式3】已知點px、y的坐標(biāo)滿意,就動點p 的軌跡為（）a橢圓b雙曲線中的一支c兩條射線d以上都不對答案： b類型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：2 求與雙曲線有公共焦點,且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；解法一：依題意設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,又雙曲線過點,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載：故所求雙曲線的方程為. 解法二： 依題意設(shè)雙曲線方程為,將點代入,解得,所以雙曲線方程為. 【變式1】求與橢圓有共同的焦點,且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；【答案】依題意設(shè)雙曲線方程為由已知得,又雙曲線過點,故所求雙曲線的方程為.【變式

13、2】求中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,且頂點在軸,焦距為10,的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【答案】3已知雙曲線的兩個焦點f1.f2 之間的距離為26,雙曲線上一點到兩焦點的距離之差的肯定值為24,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 解析：由題意得2a=24, 2c=26 ； a=12,c=13, b2=132 122=25；當(dāng)雙曲線的焦點在x 軸上時,雙曲線的方程為； 當(dāng)雙曲線的焦點在y 軸上時,雙曲線的方程為；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22總結(jié)升華：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就為求a .b的值,同時仍要確定焦點所在的坐標(biāo)軸；雙曲線所在的坐標(biāo)軸,不像橢圓精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那樣看

14、x2.y2 的分母的大小,而為看x2 .y2 的系數(shù)的正負；【變式】求中心在原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,且虛軸長與實軸長的比為,焦距為10 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【答案】由已知設(shè)、,就依題意,解得.當(dāng)雙曲線的焦點在x 軸上時,雙曲線的方程為當(dāng)雙曲線的焦點在y 軸上時,雙曲線的方程為.類型三：雙曲線的幾何性質(zhì)4方程表示雙曲線,求實數(shù)m的取值范疇；解析： 由題意得或或；實數(shù)m的取值范疇為；總結(jié)升華： 方程 ax2+by2=1 表示雙曲線時,a.b 異號；【變式1】k 9 為方程表示雙曲線的（）2a充分必要條件b充分不必要條件c必要不充分條件d既不充分又不必要條件【答案】 b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

15、- - 歡迎下載2【變式3】已知雙曲線8kx ky=2 的一個焦點為,就 k 的值等于（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載a 2b 1c 1d【答案】 c【變式4】（2021 湖南）設(shè)雙曲線的漸近線方程為,就的值為a 4b 3c 2d1【答案】 c【變式 1】求以下雙曲線方程的漸近線方程；：（ 1）；（ 2）；（ 3）【答案】（1）；（ 2）；（ 3）【變式2】中心在坐標(biāo)原點, 離心率為的圓錐曲線的焦點在y 軸上,就它的漸近線方程為（）abcd【答案】 d總結(jié)升華：求雙曲線的方程,關(guān)鍵為求.,在解題過程中應(yīng)熟識各元素（.及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系,并留意方程思想的應(yīng)用；如已知雙曲線的漸近線方程,可設(shè)雙曲線方程為（） .【變式1】中心在原點,一個焦點在0、3,一條漸近線為的雙曲線方程為（）a.b .c.d.【答案】 d類型四：雙曲線的離心率：7已知為雙曲線的左.右焦點 、 過且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于a.b 兩點 、 如為正三角形 、 求雙曲線的離心率；解析： ,為正三角形,【變式1】已知雙曲線-=1 與 x 軸正半軸交于a 點, f 為它的左焦點,設(shè)b 點坐標(biāo)為 0、b,且 ab b